高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：8.8 曲线与方程 Word版含答案_20210103224744

1、淘宝店铺：漫兮教育第八节曲线与方程轨迹与轨迹方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系知识点曲线与方程1曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线c上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线2求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点m的坐标(2)写出适合条件p的点m的集合pm|p(m)(3)用坐标表示条件p(m)，列出方程f(x，y)0.(4)化方程f(x，y)0为最简形式(5)说明以化简后的方程的

2、解为坐标的点都在曲线上3曲线的交点设曲线c1的方程为f1(x，y)0，曲线c2的方程为f2(x，y)0，则c1，c2的交点坐标即为方程组的实数解若此方程组无解，则两曲线无交点易误提醒(1)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响自测练习1方程(a1)xy2a10(ar)所表示的直线()a恒过定点(2,3)b恒过定点(2,3)c恒过点(2,3)和点(2,3)d都是平行直线解析：把点(2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a1)xy2a10.验证知(2,3)适合方程

3、，而(2,3)不一定适合方程，故选a.答案：a2平面上有三个点a(2，y)，b，c(x，y)，若，则动点c的轨迹方程为_解析：，由，得·0，即2x·0，动点c的轨迹方程为y28x.答案：y28x3已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点a(1,0)，b(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_解析：设抛物线焦点为f，过a，b，o作准线的垂线aa1，bb1，oo1，则|aa1|bb1|2|oo1|4，由抛物线定义得|aa1|bb1|fa|fb|，|fa|fb|4，故f点的轨迹是以a，b为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)答案：1(y0)考点一直接法求轨迹方程

4、|1(2016·津南一模)平面直角坐标系中，已知两点a(3,1)，b(1,3)，若点c满足12(o为原点)，其中1，2r，且121，则点c的轨迹是()a直线b椭圆c圆 d双曲线解析：设c(x，y)，因为12，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即解得又121，所以1，即x2y5，所以点c的轨迹为直线，故选a.答案：a2(2016·南昌模拟)方程(x2y22x)0表示的曲线是()a一个圆和一条直线 b一个圆和一条射线c一个圆 d一条直线解析：本题考查曲线与方程、数形结合思想依题意，题中的方程等价于xy30或注意到圆x2y22x0上的点均位于直线xy30的左下方区域，即圆x

5、2y22x0上的点均不满足xy30，不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线xy30，故选d.答案：d3在直角坐标平面xoy中，过定点(0,1)的直线l与圆x2y24交于a，b两点若动点p(x，y)满足，则点p的轨迹方程为_解析：设ab的中点为m，则，m.又因为omab，的方向向量为，所以·0，x2y(y2)0，即x2(y1)21.答案：x2(y1)21直接法求轨迹方程的常见类型(1)题目给出等量关系，求轨迹方程可直接代入即可得出方程(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程可利用已知条件寻找等量关系，得出方程考点二定义法求轨迹方程|已知点f(1,0)，圆e：(x1)2y28，点

6、p是圆e上任意一点，线段pf的垂直平分线和半径pe相交于q.(1)求动点q的轨迹的方程；(2)若直线l与圆o：x2y21相切，并与(1)中轨迹交于不同的两点a，b，当·，且满足时，求aob面积s的取值范围解(1)连接qf(图略)|qe|qf|qe|qp|pe|2(2>|ef|2)，点q的轨迹是以e(1,0)，f(1,0)为焦点，长轴长2a2的椭圆，即动点q的轨迹的方程为y21.(2)依题结合图形(图略)知直线l的斜率不可能为零，所以设直线l的方程为xmyn(mr)直线l即xmyn0与圆o：x2y21相切，1，得n2m21.又点a，b的坐标(x1，y1)，(x2，y2)满足：消去

7、x并整理，得(m22)y22mnyn220.由一元二次方程根与系数的关系，得y1y2，y1y2.其判别式4m2n24(m22)(n22)8(m2n22)8，又由求根公式得y1,2.·x1x2y1y2(my1n)(my2n)y1y2(m21)y1y2mn(y1y2)n2.saob|sin aob |x1y2x2y1|(my1n)y2(my2n)y1|n(y2y1)|n|···1，且，saob·.定义法求轨迹方程的思路(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程(2)定义法和待定系数法适

8、用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况利用条件把待定系数求出来，使问题得解1已知动圆过定点f(0,2)，且与定直线l：y2相切(1)求动圆圆心的轨迹c的方程；(2)若ab是轨迹c的动弦，且ab过点f(0,2)，分别以a，b为切点作轨迹c的切线，设两切线交点为q，求证：aqbq.解：(1)依题意，圆心的轨迹是以f(0,2)为焦点，l：y2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线的距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x28y.(2)证明：因为直线ab与x轴不垂直，设直线ab的方程为ykx2，a(x1，y1)，b(x2，y2)由得x28kx160.所以x1x28k，x1x216.抛物线方程为y

9、x2，求导得yx.所以过抛物线上a，b两点的切线斜率分别是k1x1，k2x2，k1·k2x1·x2x1·x21.所以aqbq.考点三代入法求轨迹方程|在圆o：x2y24上任取一点p，过点p作x轴的垂线段pd，d为垂足设m为线段pd的中点(1)当点p在圆o上运动时，求点m的轨迹e的方程；(2)若圆o在点p处的切线与x轴交于点n，试判断直线mn与轨迹e的位置关系解(1)设m(x，y)，则p(x,2y)点p在圆x2y24上，x2(2y)24，即点m的轨迹e的方程为y21.(2)当直线pn的斜率不存在时，直线mn的方程为x2或x2.显然与轨迹e相切当直线pn的斜率存在时，

10、设pn的方程为ykxt(k0)直线pn与圆o相切，2，即t24k240.又直线mn的斜率为，点n的坐标为，直线mn的方程为y，即y(kxt)由得(1k2)x22ktxt240.(2kt)24(1k2)(t24)4(t24k24)0，直线mn与轨迹e相切综上可知，直线mn与轨迹e相切代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动点坐标p(x，y)(2)寻求与所求动点p(x，y)与已知动点q(x，y)的关系(3)建立p，q两坐标的关系表示出x，y.(4)将x，y代入已知曲线方程中化简求解2已知f1，f2分别为椭圆c：1的左，右焦点，点p为椭圆c上的动点，则pf1f2的重心g的轨迹方程为()a.1(y0

11、)b.y21(y0)c.3y21(y0)dx21(y0)解析：依题意知f1(1,0)，f2(1,0)，设p(x0，y0)，g(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得即代入1得重心g的轨迹方程为3y21(y0)答案：c27.分类讨论思想在由方程讨论曲线类型中的应用【典例】已知两个定点a1(2,0)，a2(2,0)，动点m满足直线ma1与ma2的斜率之积是定值(m0)求动点m的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线c的形状思路点拨依题直接写出方程后，结合方程结构特征分类判断曲线类型，注意分类标准的确定解设动点m(x，y)，依题意有·(m0)，整理得1(x±2)，即为动点m的轨

12、迹方程当m>0时，轨迹是焦点在x轴上的双曲线；当m(4,0)时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆；当m4时，轨迹是圆；当m(，4)时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆且点a1(2,0)，a2(2,0)不在曲线上方法点评由曲线方程讨论曲线类型时，常用到分类讨论思想，其分类的标准有两类：(1)二次项系数为0的值(2)二次项系数相等的值跟踪练习在同一坐标系中，方程a2x2b2y21与axby20(a>b>0)表示的曲线大致是()解析：a>b>0得>>0，方程a2x2b2y21，即1表示的是焦点在y轴上的椭圆；方程axby20，即y2x表示的是焦点在x轴的负半轴上的抛物线上，

13、结合各选项知，选d.答案：da组考点能力演练1“点m在曲线y24x上”是“点m的坐标满足方程2y0”的()a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既非充分也非必要条件解析：点m的坐标满足方程2y0，则点m在曲线y24x上，是必要条件；但当y>0时，点m在曲线y24x上，点m的坐标不满足方程2y0，不是充分条件答案：b2若m，n为两个定点，且|mn|6，动点p满足·0，则p点的轨迹是()a圆b椭圆c双曲线 d抛物线解析：·0，pmpn.点p的轨迹是以线段mn为直径的圆答案：a3(2016·梅州质检)动圆m经过双曲线x21的左焦点且与直线x2相切，则圆心m的

14、轨迹方程是()ay28x by28xcy24x dy24x解析：双曲线x21的左焦点f(2,0)，动圆m经过f且与直线x2相切，则圆心m到点f的距离和到直线x2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y28x.答案：b4(2016·沈阳质检)已知点o(0,0)，a(1，2)，动点p满足|pa|3|po|，则p点的轨迹方程是()a8x28y22x4y50b8x28y22x4y50c8x28y22x4y50d8x28y22x4y50解析：设p点的坐标为(x，y)，则3，整理得8x28y22x4y50，故选a.答案：a5若曲线c上存在点m，使m到平面内两点a(5,0)，b(5,0

15、)距离之差的绝对值为8，则称曲线c为“好曲线”以下曲线不是“好曲线”的是()axy5 bx2y29c.1 dx216y解析：m点的轨迹是双曲线1，依题意，是“好曲线”的曲线与m点的轨迹必有公共点四个选项中，只有圆x2y29与m点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与m点的轨迹都有公共点，所以圆x2y29不是“好曲线”答案：b6(2016·聊城一模)在平面直角坐标系中，o为坐标原点，a(1,0)，b(2,2)，若点c满足t()，其中tr，则点c的轨迹方程是_解析：设c(x，y)，则(x，y)，t()(1t,2t)，所以消去参数t得点c的轨迹方程为y2x2.答案：y2x27已知f是抛物线yx2

16、的焦点，p是该抛物线上的动点，则线段pf中点的轨迹方程是_解析：本题考查曲线的方程因为抛物线x24y的焦点f(0,1)，设线段pf的中点坐标是(x，y)，则p(2x,2y1)在抛物线x24y上，所以(2x)24(2y1)，化简得x22y1.答案：x22y18已知动点p(x，y)与两定点m(1,0)，n(1,0)连线的斜率之积等于常数(0)则动点p的轨迹c的方程为_解析：由题设知直线pm与pn的斜率存在且均不为零，所以kpm·kpn·，整理得x21(0，x±1)即动点p的轨迹c的方程为x21(0，x±1)答案：x21(0，x±1)9在直角坐标系x

17、oy中，动点p与定点f(1,0)的距离和它到定直线x2的距离之比是.(1)求动点p的轨迹的方程；(2)设曲线上的三点a(x1，y1)，b，c(x2，y2)与点f的距离成等差数列，线段ac的垂直平分线与x轴的交点为t，求直线bt的斜率k.解：(1)设p(x，y)由已知，得，两边同时平方，化简得y21，故动点p的轨迹的方程是y21.(2)由已知得|af|(2x1)，|bf|×(21)，|cf|(2x2)，因为2|bf|af|cf|，所以(2x1)(2x2)2××(21)，所以x1x22.故线段ac的中点坐标为，其垂直平分线的方程为y(x1)因为a，c在椭圆上，所以代入

18、椭圆，两式相减，把代入化简，得y1y2.把代入，令y0，得x，所以点t的坐标为.所以直线bt的斜率k.10在平面直角坐标系xoy中，动点p(x，y)到f(0,1)的距离比到直线y2的距离小1.(1)求动点p的轨迹w的方程；(2)过点e(0，4)的直线与轨迹w交于两点a，b，点d是点e关于x轴的对称点，点a关于y轴的对称点为a1，证明：a1，d，b三点共线解：(1)由题意可得动点p(x，y)到定点f(0,1)的距离和到定直线y1的距离相等，所以动点p的轨迹是以f(0,1)为焦点，以y1为准线的抛物线所以动点p的轨迹w的方程为x24y.(2)证明：设直线l的方程为ykx4，a(x1，y1)，b(x

19、2，y2)，则a1(x1，y1)由消去y，整理得x24kx160.则16k264>0，即|k|>2.x1x24k，x1x216.直线a1b：yy2(xx2)，所以y(xx2)y2，即y(xx2)x，整理得yxx，即yx.直线a1b的方程为yx4，显然直线a1b过点d(0,4)所以a1，d，b三点共线b组高考题型专练1(2014·高考广东卷)已知椭圆c：1(ab0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆c的标准方程；(2)若动点p(x0，y0)为椭圆c外一点，且点p到椭圆c的两条切线相互垂直，求点p的轨迹方程解：(1)依题意知c，a3，b2a2c24，椭圆c的标准方程为1.(2)若过点p(x0，y0)的切线的斜率不存在或者斜率为零，则易知点p的坐标为(3,2)或(3，2)或(3，2)或(3，2)若过点p(x0，y0)的切线的斜率存在且不为0，设切点分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)，切线pa的斜率为k，p