考点36 椭圆-备战2020年高考数学（文）考点一遍过_20210103224740

1、考点36 椭 圆（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （3）理解数形结合的思想.（4）了解椭圆的简单应用.一、椭圆的定义平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.定义式：.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.二、椭圆的标准方程焦点在轴上，；焦点在轴上，.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：.三、椭圆的图形及其简单几何性质i)图形焦点在轴上 焦点在轴上

2、 ii)标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆，对称轴：轴，轴，对称中心：原点，注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出与，然后利用计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.四、必记结论1设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，p点在短轴端点处；当时，有最大值a，p点在长轴端点处2已知过焦点f1的弦ab，则的周长为4a考向一 椭圆定义的应用1椭圆定

3、义的集合语言:往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理. 以椭圆 上一点和焦点f1 (c，0)，f2 (c，0)为顶点的中，若，注意以下公式的灵活运用： （1）；（2）；（3）. 2解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.典例1 已知f1，f2是椭圆的两个焦点，点p在椭圆上（1）若点p到焦点f1的距离等于1，则点p到焦点f2的距离为_；（2）过f1作直线与椭圆交于a，b两点，则的周长为_；（3）若，则点p到焦点f1的距离为_【答案】（1）3；（2）8；（3

4、）【解析】由椭圆的标准方程可知：，故，（1）由椭圆的定义可得|pf1|pf2|2a，又|pf1|1，所以|pf2|413（2）的周长（3）在中，由余弦定理可得，即，由椭圆的定义可得，两式联立解得 1已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的周长为，则的值是abcd考向二 求椭圆的标准方程求椭圆的方程有两种方法: （1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是： 第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）. 第二步，设方程.根据上述判断设方

5、程为或.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.典例2 椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2，0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为a bc或 d或【答案】c【解析】由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a=2b，又椭圆经过点(2，0)，则若焦点在x轴上，则a =2，b=1，椭圆方程为;若焦点在y轴上，则a=4，b=2，椭圆方程为，故选c2已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点，

6、且，则的方程为abcd考向三 椭圆的几何性质及应用1与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了. 2椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a，c，代入公式.（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）. 典例3 已知椭圆的方程为2x23y2m，(m>0)，则此椭圆的离心率

7、为a bc d【答案】b【解析】由题意，得椭圆的标准方程为1，a2，b2，c2a2b2，e2，即e.故选b3已知椭圆(ab0)的两焦点分别为f1，f2，若椭圆上存在点p，使得f1pf2120°，则椭圆的离心率的取值范围是_1椭圆：的焦距为a b2c d12“”是“方程表示椭圆”的a充要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件3已知椭圆上的一点p到左焦点f1的距离为6，点m是线段的中点，o为坐标原点，则|om|=a3 b4c7 d144已知椭圆的焦点分别为，点，在椭圆上，于，则椭圆方程为abcd5已知椭圆c的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长是短轴长的2倍，抛物线y2=

8、-8x的焦点与椭圆c的一个顶点重合，则椭圆c的标准方程为a bc或 d或6已知椭圆x2+my2=1的离心率e(，1)，则实数m的取值范围是a(0，) b(，+)c(0，)(，+) d(，1)(1，)7已知点，.若椭圆上存在点，使得为等边三角形，则椭圆的离心率是abcd8若椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于点，则abcd9已知点m是椭圆上一点，f1，f2是椭圆的焦点，且满足mf1·mf2=0，则的面积为a1 b3 c2 d410已知是椭圆：的左焦点，为上一点，则的最小值为a bc d11已知是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为过的

9、椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为abcd12已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为a bc d13已知、为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在四个不同点满足的面积为，则椭圆的离心率的取值范围为abcd14若椭圆的一个焦点坐标为(0，2)，则实数=_15已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为直径的圆与椭圆相切，则椭圆的长轴长是_16已知f1，f2为椭圆的两个焦点，过f1且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于a，b两点，若为正三角形，则椭圆的离心率为. 17如图，a，b分别为椭圆的左、右顶点，点p在椭圆上， 是面积为4的等腰

10、直角三角形，则b=. 18在椭圆上有两个动点，为定点，则的最小值为_19阿基米德(公元前287年公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆c的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆c的离心率为，面积为，则椭圆c的标准方程为_.20设分别为椭圆的右顶点和上顶点，已知椭圆过点，当线段长最小时椭圆的离心率为_21求适合下列条件的椭圆的标准方程:（1）焦点分别为(0，-2)，(0，2)，经过点(4，32);（2）对称轴为坐标轴，经过点p(-6，0)和q(0，8).22已知椭圆c的方程为.（1）求

11、k的取值范围； （2）若椭圆c的离心率，求的值.23已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）为椭圆上一点，且，求的面积.24在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：（ab0）的焦距为2（1）若椭圆c经过点（，1），求椭圆c的标准方程；（2）设a（2，0），f为椭圆c的左焦点，若椭圆c上存在点p，满足，求椭圆c的离心率的取值范围25如图，过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，点和点分别为椭圆的右顶点和上顶点，（1）求椭圆的离心率；（2）过右焦点作一条弦，使，若的面积为，求椭圆的方程1（2017浙江）椭圆的离心率是

12、abcd2（2018新课标全国文）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为abcd3（2019年高考全国卷文数）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=a2b3c4d84（2019年高考全国卷文数）已知椭圆c的焦点为，过f2的直线与c交于a，b两点若，则c的方程为abcd5（2017新课标全国文）已知椭圆c：的左、右顶点分别为a1，a2，且以线段a1a2为直径的圆与直线相切，则c的离心率为abcd6（2017新课标全国文）设a，b是椭圆c：长轴的两个端点，若c上存在点m满足amb=120°，则m的取值范围是abcd7（2018新课标全国文）已知，是椭圆的两个焦点

13、，是上的一点，若，且，则的离心率为abc d8（2019年高考全国卷文数）设为椭圆c:的两个焦点，m为c上一点且在第一象限若为等腰三角形，则m的坐标为_.9（2019年高考浙江卷）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_10（2018浙江）已知点p(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点a，b满足=2，则当m=_时，点b横坐标的绝对值最大11（2019年高考全国卷文数）已知是椭圆的两个焦点，p为c上一点，o为坐标原点（1）若为等边三角形，求c的离心率；（2）如果存在点p，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围12（2

14、019年高考天津卷文数）设椭圆的左焦点为f，左顶点为a，上顶点为b.已知（o为原点）.（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点f且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为p，圆c同时与x轴和直线l相切，圆心c在直线x=4上，且，求椭圆的方程.变式拓展1【答案】d【解析】设椭圆的长轴长为，焦距为，则，由椭圆定义可知，的周长为，解得，故选d.【名师点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查利用椭圆定义求椭圆的焦点三角形问题，在处理椭圆的焦点与椭圆上一点线段（焦半径）问题，一般要充分利用椭圆定义来求解，属于基础题.解题时，由椭圆的定义知的周长为，可求出的值，再结合、的关系求出的值，即的值.2【答案】c【解析】因

15、为，所以，又，所以在直角三角形中，因为，所以，所以椭圆的方程为：.【名师点睛】本题考查焦半径、椭圆的定义、椭圆的标准方程等知识，考查运算求解能力.在直角三角形中利用勾股定理求，再由椭圆的定义求的值.3【答案】【解析】由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，所以底角小于等于30°，即，故椭圆的离心率的取值范围是.故答案为：.【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆离心率的取值范围的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.求解时，由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，

16、即得椭圆的离心率的取值范围.考点冲关1【答案】b【解析】由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且，所以，因此，故.所以焦距为2.故选b.2【答案】c【解析】方程表示椭圆，即且，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选c.【名师点睛】本题考查了椭圆的概念与充要条件的判断，易错点为椭圆中，属于较为基础题.先求得方程表示椭圆的m的取值范围，再利用充分必要条件去判断可得答案.3【答案】c【解析】由椭圆的定义得pf1+pf2=2a=20，|pf1|=6，|pf2|=14，又|of1|=|of2|，|mf1|=|pm|，.故选c.4【答案】c【解析】椭圆的焦点分别为，点a，b在椭圆上，于，可得，结合，解得

17、，所以所求椭圆方程为：，故选c【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查求解时，利用椭圆的性质，根据，可得，求解，然后写出椭圆方程5【答案】d【解析】由于椭圆的长轴长是短轴长的倍，即有，又抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，得椭圆经过点，若焦点在轴上，则，椭圆方程为；若焦点在轴上，则，椭圆方程为.椭圆的标准方程为或故选d6【答案】c【解析】椭圆x2+my2=1的标准方程为.又<e<1，所以0<.当椭圆的焦点在x轴上时，a2=1，b2=，则m>当椭圆的焦点在y轴上时，a2=，b2=1，则0<m<.所以实数m的取值范围是0<

18、;m<或m>.【名师点睛】椭圆的性质分两类:(1)与坐标系无关的，如轴长、焦距、离心率;(2)与坐标系有关的，如顶点坐标、焦点坐标.7【答案】c【解析】过点c作x轴垂线，垂足为d，根据正三角形性质可知d为a，b的中点，则c点坐标为（1，），将c点的坐标代入椭圆方程得，解得m6，所以椭圆的离心率为：故选c【名师点睛】本题主要考查了椭圆方程和离心率的求解，解题的关键是充分利用正三角形的性质，求出c点的坐标8【答案】d【解析】因为离心率为，所以，因为过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于点，所以得点，即，从而所以，故选d.【名师点睛】本题考查椭圆离心率以及通经，考查基本分析求解能力，属中档题.

19、根据离心率得关系，再求点坐标，最后根据余弦定理求结果.9【答案】a【解析】因为mf1·mf2=0，所以mf1mf2，所以.由题意得，即，即，解得.所以的面积.选a10【答案】d【解析】设椭圆的右焦点为，易知，由，得，根据椭圆的定义可得，所以.11【答案】b【解析】如图，延长交椭圆于点，设椭圆右焦点为，连接.根据题意，所以，根据椭圆定义，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以椭圆离心率为，故选b.【名师点睛】本题考查椭圆的定义，几何性质，余弦定理等，属于中档题.根据椭圆几何性质可把椭圆内每条线段的长度用表示，然后利用余弦定理，在两个三角形里分别表示同一角的余弦，

20、得到关系，求出离心率.12【答案】d【解析】由题意得椭圆的短轴长为，解得，则，设，则，即， ，故选d13【答案】d【解析】设，则，若存在四个不同点满足，则，即，解得，故选d.【名师点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组14【答案】9【解析】由题意可得m5，则椭圆1中的a，b，所以c，即有2，解得m9故答案为：9【名师点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查焦点坐标的运用，以及运算能力，属于基础题由题意可得椭圆焦点在y轴上，从而可得2，解方程可得m15【答案】4【解析】设椭

21、圆的短半轴长为，半焦距为.由以为直径的圆与椭圆相切，可得，又由，所以，即椭圆的长轴长为，故选b【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据以为直径的圆与椭圆相切，得到是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16【答案】【解析】方法一：e=.因为为等边三角形，所以|af1|f1f2|f2a|=12，所以e=.方法二：不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0)，f1(c，0)，f2(-c，0)，由得|y|=，即|af1|=|bf1|=，|ab|=.因为为正三角形，所以·=2c，得(a2-c2)=2ac，即e2+2e-=0.又0<

22、e<1，解得e=.17【答案】【解析】已知是等腰直角三角形，而|ob|=a，过点p作phob于点h，则ph=oh=ob=a，所以其面积s=|ob|×|ph|=×a×a=a2.故由题意可得a2=4，解得a=4，故p(2，2).由点p在椭圆上可得，+=1，解得b2=，所以b=.18【答案】【解析】由题意得设椭圆上一点，则，又，当时，取得最小值【名师点睛】解答圆锥曲线中的最值问题时，可将所求的最值表示成某一参数的表达式，然后再根据不等式或函数的知识求解，由于解题中要涉及复杂的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，适当运用换元等方法进行求解19【答案】【解析】依题意

23、设椭圆c的方程为，则椭圆c的面积为，又，解得，.则椭圆c的标准方程为，故答案为：.【名师点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，一般要结合已知条件求出、的值，再利用椭圆焦点位置得出椭圆的标准方程，考查运算求解能力，属于中等题.20【答案】【解析】由椭圆过得：，由椭圆方程可知：，又（当且仅当，即时取等号），当时，线段长最小，.本题正确结果为.【名师点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用基本不等式求解和的最小值，根据等号成立条件可得到椭圆之间的关系，从而使问题得以求解.21【答案】（1）y236+x232=1；（2）y264+x236=1.【解析】（1）因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标

24、准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).方法一:由椭圆的定义知，所以a=6.又c=2，所以b=a2-c2=42，所以椭圆的标准方程为y236+x232=1.方法二:因为所求椭圆过点(4，32)，所以18a2+16b2=1.又a2-b2=c2=4，所以a2=36，b2=32，所以椭圆的标准方程为y236+x232=1.（2）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点p，q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，则短半轴长b=6，长半轴长a=8，且短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为y264+x236=1.22【答案】（1）；（2）2

25、或8【解析】（1）方程表示椭圆，.（2）当9kk1时，依题意可知a=，b=，c=，又，当9kk1时，依题意可知b=，a=，c=，又，综上，k的值为2或8 23【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为，解得，椭圆的标准方程为（2）在中，由余弦定理得，又由椭圆的定义得，【名师点睛】利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值时，可利用定义和余弦定理可求得，再结合进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积24【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题设，椭圆的焦距，即，所以，因为椭圆经过点，所以，即，化简、整理得

26、，解得（负值已舍去）.故求椭圆的标准方程为.（2）易知，设，于是.因为，即， 所以，即.联立，并注意到，解得.因为，所以.于是，即，亦即.所以，即.故椭圆的离心率的取值范围是.【思路点拨】（1）由题意得，代入已知点，可得，的方程，解方程即可得到所求的椭圆方程；（2）设，运用两点的距离公式，化简整理，即可得到点的轨迹方程，由题意和圆相交的条件，结合离心率公式，即可得到所求范围.25【答案】（1）；（2）【解析】（1），解得，故（2）设，由（1）知椭圆方程可化简为易求直线的斜率为，故可设直线的方程为：由消去得，于是的面积，因此椭圆的方程为，即.【名师点睛】本题考查椭圆的离心率以及通过弦长公式求椭圆

27、的相关量，属于一般题.（1）由可得，计算进而得答案.（2）设直线的方程，联立方程组，利用根与系数的关系，代入的面积公式计算整理即可.直通高考1【答案】b【解析】椭圆的离心率，故选b2【答案】c【解析】由题可得，因为，所以，即，所以椭圆的离心率，故选c【名师点睛】该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中a,b,c的关系求得结果.3【答案】d【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选d【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点

28、即可列出关于的方程，从而解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除a，同样可排除b，c，从而得到选d4【答案】b【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有在中，由余弦定理推论得在中，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选b法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有在和中，由余弦定理得，又互补，两式消去，得，解得所求椭圆方程为，故选b【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养5【答案】a【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切

29、，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选a6【答案】a【解析】当时，焦点在轴上，要使c上存在点m满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使c上存在点m满足，则，即，得，故的取值范围为，故选a7【答案】d【解析】在中，设，则，又由椭圆定义可知，则，故选d【名师点睛】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.8【答案】【解析】由已知可得，设点的坐标为，则，又，解得，解得（舍去），的坐标为【名师点睛】本题考