信号与系统考试试题及答案

1、长沙理工大学拟题纸课程编号1 拟题教研室（或老师）签名教研室主任签名符号说明：)sgn(t为符号函数，)(t为单位冲击信号，)(k为单位脉冲序列，)(t为单位阶跃信号，)(k为单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1. 已知)()4()(2tttf，求_)( tf。)( 4)(2)(tttf2. 已知4,2,4,3)(,1 , 2,2, 1)(khkf，求_)()(khkf。4,6,8 , 3,4,10,3)()(khkf3. 信号通过系统不失真的条件为系统函数_)( jh。0)(tjkejh4. 若)(tf最高角频率为m，则对)4(tf取样的最大间隔是_。mt4maxmax5

2、. 信号tttf30cos220cos4)(的平均功率为_。101122222nnfp6. 已知一系统的输入输出关系为)3()(tfty，试判断该系统是否为线性时不变系统_ _ _ _ _ _。故系统为线性时变系统。7. 已知信号的拉式变换为) 1)(1(1)(2sssf，求该信号的傅立叶变换)( jf=_。故傅立叶变换)( jf不存在。8. 已知一离散时间系统的系统函数2121)(zzzh，判断该系统是否稳定_。故系统不稳定。9. dtttt) 1()2(2_。3 10. 已知一信号频谱可写为)(,)()(3aeajfj是一实偶函数， 试问)(tf有何种对称性_。关于 t=3 的偶对称的实信

3、号。二、计算题（共50 分，每小题 10 分）1. 已知连续时间系统的单位冲激响应)(th与激励信号)(tf的波形如图a-1 所示，试由时域求解该系统的零状态响应)(ty，画出)(ty的波形。图 a-1 1. 系统的零状态响应)()()(thtfty，其波形如图a-7 所示。12340t246)(th图 a-7 2. 在图 a-2 所示的系统中，已知)()5. 0()(),2()(21kkhkkhk，求该系统的单位脉冲响应)(kh。)(kf)(ky)(1kh)(2kh图 a-2 2. )2() 5. 0()()5 .0()2()()()()()(221kkkkkkhkhkkhkk3. 周期信号

4、)(tf的双边频谱如图a-3 所示，写出)(tf的三阶函数表示式。-3-2-11023n2nf图 a-3 3. 写出周期信号)(tf指数形式的傅立叶级数，利用欧拉公式即可求出其三阶函数表示式为tteeeeeftftjtjtjtjntjnn00222cos2cos42222)(000004. 已知信号)1()()(tttf通过一线性时不变系统的响应)(ty如图 a-4 所示， 试求单位阶跃信号)(t通过该系统的响应并画出其波形。)(tyt220图 a-4 4. 因为0)()() 1()()(iitfitftftft故利用线性时不变特性可求出)(t通过该系统的响应为0)()(iitytt波形如图a

5、-8 所示。12340t1235)(tt图 a-8 5. 已知)(tf的频谱函数)1()1()(sgnsgnjf，试求)(tf。5. )(21, 01,2)1()1()(2gsgnsgnjf，因为)(2)(2satg，由对称性可得：)(2)(2)(222ggtsa，因此，有)(2)(tsatf三、综合计算题（共20分，每小题 10 分）1. 一线性时不变因果连续时间系统的微分方程描述为)(3)( 2)(10)( 7)(tftftytyty已知, 1)0( , 1)0(),()(yytetft由 s 域求解：(1)零输入响应)(tyx，零状态响应)(tyf，完全响应)(ty；(2)系统函数)(s

6、h，单位冲激响应)(th并判断系统是否稳定；(3)画出系统的直接型模拟框图。解：1. (1)对微分方程两边做单边拉斯变换得)()32()(10)0(7)(7)0( )0()(2sfssyyssyysysys整理后可得)(10732107)0(7)0( )0()(22sfsssssyysysy零输入响应的s 域表达式为51221078)(2ssssssyx进行拉斯反变换可得0,2)(52teetyttx零状态响应的s 域表达式为57/1223/114/1) 1)(107(32)(10732)(22ssssssssfssssyf进行拉斯反变换可得)()1273141()(52teeetytttf完

7、全响应为0,12193141)()()(52teeetytytytttfx(2)根据系统函数的定义，可得53/723/110732)()()(2ssssssfsyshf进行拉斯反变换即得)()3731()(52teethtt由于系统函数的极点为-2、-5，在左半s 平面，故系统稳定。(3)将系统函数改写为2121107132)(sssssh由此可画出系统的直接型模拟框图，如图a-9 所示1s1s23710)(sf)(sy-2. 一线性时不变因果离散时间系统的差分方程描述为0)()2(2)1(3)(kkfkykyky已知,3)2(,2) 1(),()(yykkf由 z 域求解：(1)零输入响应)

8、(kyx，零状态响应)(kyf，完全响应)(ky；(2)系统函数)(zh，单位脉冲响应)(kh。(3) 若)5()()(kkkf，重求（ 1） 、 （2） 。2. (1)对差分方程两边进行z 变换得)()2() 1()(2)1()( 3)(121zfyyzzyzyzyzzy整理后可得11212211214142314231)2(2) 1(2)1(3)(zzzzzzzyyzyzyx进行 z 变换可得系统零输入响应为)()2(4)1(4)(kkykkx零状态响应的z 域表示式为)21(3/4)1(2/1)1(6/1113311331)()(11112121zzzzzzzzzfzyf进行 z 反变换

9、可得系统零状态响应为)()2(43)1(2161kkykkf系统的完全响应为)(61)2(38)1(27)()()(kkykykykkfx(2)根据系统函数的定义，可得1121212112311)()()(zzzzzfzyzhf进行 z 反变换即得)()2(2) 1()(kkhkk(3) 若)5()()(kkkf， 则系统的零输入响应)(kyx、单位脉冲响应)(kh和系统函数)(zh均不变，根据时不变特性，可得系统零状态响应为)5()2(43)1(2161)()2(43)1(2161)5()()5()(55kkkykykktkkkkff完全响应为)5()2(43) 1(2161)()2(38)

10、 1(2761)5()()()(55kkkktkykykkkkx长沙理工大学拟题纸课程编号2 拟题教研室（或老师）签名教研室主任签名符号说明：)sgn(t为符号函数，)(t为单位冲击信号，)(k为单位脉冲序列，)(t为单位阶跃信号，)(k为单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1. 已知某系统的输入输出关系为)0(2)()()(2xdttdftftty（其中x(0) 为系统初始状态，)(tf为外部激励） ，试判断该系统是（线性、非线性）_（时变、非时变）_系统。线性时变2. 32_)221()32(dtttt。0 3. _)24()22(dttt1)24()22(21dtdtt

11、t4. ,3 ,5,2)(),3()(2)(021kkfkkkfk计算)()(21kfkf=_。12,26,21,9,2)()(21kfkf5. 若信号)(tf通过某线性时不变系统的零状态响应为),(),()(00为常数tkttkftyf则该系统的频率特性)( jh=_，单位冲激响应)(th_。系统的频率特性0)(tjkejh，单位冲激响应)()(0ttkth。6. 若)(tf的最高角频率为)(hzfm，则对信号)2()()(tftfty进行时域取样，其频谱不混迭的最大取样间隔maxt_。maxt为)(6121maxmaxsfftm7. 已知信号的拉式变换为) 1)(1(1)(2sssf，求该

12、信号的傅立叶变换)( jf=_。不存在8. 已知一离散时间系统的系统函数2121)(zzzh，判断该系统是否稳定_。不稳定9. dtttt) 1()2(2_。3 10. 已知一信号频谱可写为)(,)()(3aeajfj是一实偶函数，试问)(tf有何种对称性_。因此信号是关于t=3 的偶对称的实信号。二、计算题（共50 分，每小题 10 分）1. 已知一连续时间系统的单位冲激响应)3(1)(tsath，输入信号tttf,2cos3)(时，试求该系统的稳态响应。二、解：1. 系统的频响特性为3,03, 3/1)(31)()(6gthftjh利用余弦信号作用在系统上，其零状态响应的特点，即)(cos

13、()()cos(0000tjhtt可以求出信号tttf,2cos3)(，作用在系统上的稳态响应为tttft,2cos311)(2. 已知信号)22( tf如图 a-1 所示，试画出)24(tf波形。1-1-2201-1t)22( tf图 a-1 2. )24()22(tftf，根据信号变换前后的端点函数值不变的原理，有)24()22(111tftf)24()22(222tftf变换前信号的端点坐标为2, 221tt，利用上式可以计算出变换后信号的端点坐标为32/ )224(, 12/ )2124(22211tttt由此可画出)24(tf波形，如图a-8 所示。-1-101231t)24(tf3

14、. 已知信号)(tf如图 a-2 所示，计算其频谱密度函数)( jf。)(tf22-20t图 a-2 3. 信号)(tf可以分解为图a-10 所示的两个信号)(1tf与)(2tf之和，其中)2(2)2(2)(1tttf。由于jt1)()(根据时域倒置定理：)()(jftf和时移性质，有jetftjfj 212)(2)2()()(6)()(222satfftjf故利用傅立叶变换的线性特性可得)(62)(2)()()(2221sajejfjfjfj022t)(1tft322)(2tf0图 a-10 4. 某离散系统的单位脉冲响应)()5.0()1()(11kkhkk，求描述该系统的差分方程。4.

15、对单位脉冲响应进行z 变换可得到系统函数为211115 .05.115 .235.01211)(zzzzzzh由系统函数的定义可以得到差分方程的z 域表示式为)()5.23()()5.05. 11 (121zfzzyzzf进行 z 反变换即得差分方程为)1(5.2)(3)2(5.0) 1(5.1)(kfkfkykyky5. 已知一离散时间系统的模拟框图如图a-3 所示，写出该系统状态方程和输出方程。1za1zb-)(kf)(1ky)(2ky)(2kx)(1kx图 a-3 5. 根据图 a-5 中标出的状态变量，围绕输入端的加法器可以列出状态方程为)()() 1(),()()1(2211kfkb

16、xkxkfkaxkx围绕输出端的加法器可以列出输出方程为)()()(),()()(212211kxkxkykxkxky写成矩阵形式为)(11)()(00) 1() 1(2121kfkxkxbakxkx)()(1111)()(2121kxkxkyky三、 综合计算题（共20分，每小题 10 分）1. 已知描述某线性时不变因果离散时间系统的差分方程为0) 1(3)(2)2(81)1(43)(kkfkfkykyky1)2(, 2)1(),()(yykkf在 z 域求解：(1) 系统的单位脉冲响应)(kh及系统函数)(zh；(2) 系统的零输入响应)(kyx；(3) 系统的零状态响应)(kyf；(4)

17、 系统的完全响应)(ky，暂态响应，稳态响应；(5) 该系统是否稳定? . 对差分方程两边进行z 变换得)()32()2() 1()(81)1()(43)(1121zfzyyzzyzyzyzzy整理后可得)(814313281431)2(81) 1(81)1(43)(211211zfzzzzzyyzyzy(1) 根据系统函数的定义，可得1121141114211168143132)()()(zzzzzzfzyzhf进行 z 反变换即得)()41(14)21(16)()(1kzhfkhkk(2) 零输入响应的z 域表达式为112112114118/52114/9814314181381431)2

18、(81) 1(81) 1(43)(zzzzzzzyyzyzyx取 z 反变换可得系统零输入响应为)()41(85)21(49)(kkykkx(3) 零状态响应的z 域表达式为111121121113/404113/1421116)1)(81431(32)(8143132)(zzzzzzzzfzzzzyf取 z 反变换可得系统零状态响应为)(340)41(314)21(16)(kkykkf(4) 系统完全响应)(340)41(2497)21(455)()()(kkykykykkfx从完全响应中可以看出，)()41(2497)21(455kkk随着 k 的增加而趋于零，故为暂态响应，)(340k不

19、随着 k 的增加而趋于零，故为稳态响应。(5) 由于系统的极点为4/1,2/121zz均在单位圆内，故系统稳定。2. 试分析图a-4 所示系统中b、c、d、e 和 f各点频谱并画出频谱图。已知)(tf的频谱)( jf如图 a-6 ，nttnttt02.0),()(。1)(1jh100120100120)(2jh12020)(ty)(tfabcdef)(ttt100cos)( jfa0.12020b、c、d、e 和 f 各点频谱分别为1002, )()(000tnjfnbnnbcnfnftjfjfjf)100(50)(1)()(21)(0)()()(1jhjfjfcd)100()100(21)(

20、ddeffjf)()()()(2jhjfjyjfef长沙理工大学拟题纸课程编号3 拟题教研室（或老师）签名教研室主任签名符号说明：)sgn(t为符号函数，)(t为单位冲击信号，)(k为单位脉冲序列，)(t为单位阶跃信号，)(k为单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1. 若信号)(tf通过某线性时不变系统的零状态响应为),(),()(00为常数tkttkftyf则该系统的频率特性)( jh=_，单位冲激响应)(th_。系统的频率特性0)(tjkejh，单位冲激响应)()(0ttkth。2. 若)(tf的最高角频率为)(hzfm，则对信号)2()()(tftfty进行时域取样，其

21、频谱不混迭的最大取样间隔maxt_。maxt为)(6121maxmaxsfftm3. _)24()22(dttt1)24()22(21dtdttt4. ,3 ,5, 2)(),3()(2)(021kkfkkkfk计算)()(21kfkf=_。12,26,21,9,2)()(21kfkf5. 已知某系统的输入输出关系为)0(2)()()(2xdttdftftty（其中x(0) 为系统初始状态，)(tf为外部激励） ，试判断该系统是（线性、非线性）_（时变、非时变）_系统。线性时变6. 32_)221()32(dtttt。0 7. 已知某连续信号的单边拉式变换为),0)(re(,)9(32)(22

22、2ssssessf求其反变换)(tf=_。)()3sin3cos2()(2ttettf8. 已知),2( ,)(2)(52tdeetytt计算其傅立叶变换)( jy=_。107)(512)(24224jjejjeejyjj9. 已知某离散信号的单边z 变换为) 3( ,)3)(2(2)(2zzzzzzf，求其反变换)(kf=_。)()3(2)()(1ksfzkfkk10. 某理想低通滤波器的频率特性为其他0)(0mtjejh，计算其时域特性)(th=_。)(2121)(21)(0)(00ttsadtedteedtejhthmmttjtjtjtjmm二、计算题（共50 分，每小题 10 分）1.

23、 已知)(tf的频谱函数)1()1()(sgnsgnjf，试求)(tf。1. )(21,01, 2) 1()1()(2gsgnsgnjf，因为)(2)(2satg，由对称性可得：)(2)(2)(222ggtsa，因此，有)(2)(tsatf2. 已知某系统如图a-1 所示，求系统的各单位冲激响应。其中)()(),2()(),1()(23321tethtethtthtt)(tf1kh)(ty2kh3kh图 a-1 2. )()2() 1()1(21)3()1(3)()()2()()() 1()2() 1()()2()()1()()()()()(23)1(2)3(36232323321tetete

24、teetettettettettetettththtththtttttttttt3. 已知信号)(tf和)(tg如图 a-2 所示，画出)(tf和)(tg的卷积的波形。-1110)(tft012)(tgt图 a-2 3. )(tf和)(tg的卷积的波形如图a-9 所示。023123t)()(tgtf图 a-9 4. 已知某连续时间系统的系统函数3572)(2ssssh，画出其直接型系统模拟框图，并写出该系统状态方程的输出方程。4. 将系统函数改写为212135172)(sssssh由此可画出系统的直接型模拟框图，如图a-11 所示。选择积分器的输出作为状态变量，围绕模拟框图输入端的加法器可得到

25、状态方程为1s1s2753)(ty-)(2tx)(1tx)(tf图 a-11 )()(21txtx，)()(5)()(212tftxtxtx围绕模拟框图输出端的加法器可得到输出方程为)(2)(7)(21txtxty5. 试证明：用周期信号)(tft对连续时间带限信号)(tf(最高角频率为m)取样，如图a-3 所示，只要取样间隔mt，仍可以从取样信号)(tfs中恢复原信号)(tf。)(tf)(tft)(tfs)(tftt12/2/tt图 a-3 5. 利用周期信号频谱和非周期信号频谱的关系可以求出)(tft的傅立叶系数为tnsatsatfnn2),4(2)4(2100220由此可以写出周期信号)

26、(tft的傅立叶级数展开式ntjnntjnntensateftf00)4(2)(02对其进行傅立叶变换即得)(tft的频谱密度)( jftntnnsatjf)()4(22)(002取样信号),()()(tftftfts利用傅立叶变换的乘积特性可得ntsnfnsatjfjfjf)()4(2)()(21)(002从)( jfs可以看出，当m20时，)( jfs频谱不混迭，即mt仍可从取样信号)(tft中恢复原信号)(tf。三、综合计算题（共20分，每小题 10 分）1. 已知描述某线性时不变因果连续时间系统的微分方程为)()(2)(10)( 7)(tftftytyty已知, 3)0( , 4)0(

27、),()(yytetft在 s域求解：(1) 系统的单位脉冲响应)(th及系统函数)(sh；(2) 系统的零输入响应)(tyx(3) 系统的零状态响应)(tyf(4) 若) 1()()1(tetft，重求 (1) 、 (2)、 (3)。解：1. 对微分方程两边做单边拉斯变换得)() 12()(10)0(7)(7)0( )0()(2sfssyyssyysysys整理后可得)(10712107)0(7)0( )0()()(2)(2sfsssssyysysysysyfx(1) 根据系统函数的定义，可得532110712)()()(2ssssssfsyshf进行拉斯反变换即得)()3()(52teet

28、htt(2) 零输入响应的s 域表达式为53/1723/5107254)(2ssssssyx取拉斯反变换即得0,31735)(52teetyttx(3) 零状态响应的s 域表达式为575.021125.0)1)(107(12)(10712)(22ssssssssfssssyf取拉斯反变换即得)()75.025.0()(52teeetytttf(4) 若) 1()()1(tetft，则系统单位冲激响应h(t)、系统函数)(sh和零输入响应)(tyx均不变，根据时不变特性，可得系统零状态响应为) 1()75. 025. 0() 1()1(5)1(2)1(teeetytttf2. 在图 a-4 所示

29、系统中，已知输入信号)(tf的频谱)( jf，试分析系统中a、b、c、 d、 e 各点频谱并画出频谱图，求出)(ty与)(tf的关系。1)(1jh1008080100)(2jh11515)(ty)(tfabcde)( jf21010)100cos(t)100cos(t图 a-4 2. a、b、 c、 d 和 e 各点频谱分别为)100()100()100cos()(tftjfa)100()100(21)()(21)(ffjfjfjfab)()()(1jhjfjfbc)100()100(21)(ccdffjf)()()()(2jhjfjyjfdea、 b、 c、d 和 e 各点频谱图如图a-12

30、 所示。将)( jy与)( jf比较可得)(41)(jfjy即)(41)(tfty。长沙理工大学拟题纸课程编号4 拟题教研室（或老师）签名教研室主任签名符号说明：)sgn(t为符号函数，)(t为单位冲击信号，)(k为单位脉冲序列，)(t为单位阶跃信号，)(k为单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1. _)2(132dttet。1. 422132)2(eedttettt2. 若离散时间系统的单位脉冲响应)4()()(kkkh，则系统在 3 ,2,1)(1kkf激励下的零状态响应为_。 3, 5,6,6, 3,1)()(1kkhkf3. 抽取器的输入输出关系为)2()(kfky，

31、试判断该系统特性（线性、时不变）_。线性时变4. 若)()()cos()(ttttf，则其微分)( tf=_。)()()()()sin()( ttttttf5. 连续信号tttf4sin)(的频谱)( jf=_。4,04,)()(8gjf6. )100cos()1()1()(ttttf的频谱)( jf=_。)100()100()100cos()1()1(sasatttft7. 已 知 一 离 散 时 间lti系 统 的 单 位 阶 跃 响 应)()21()(kkgk， 计 算 该 系 统 单 位 脉 冲 响 应)(kh=_。)1()21()()21()1()()(1kkkgkgkhkk8. 若

32、)(),20cos(3)10cos(42)(ttttf)10(0为基频， 则)(tf的 平 均 功 率p=_。16.5)23()23(222222222nnfp9. 若)(tf最高角频率为m，则对)2()4()(tftfty取样，其频谱不混迭的最大间隔是_。mt34maxmax10. 若 离 散 系 统 的 单 位 脉 冲 响 应)()5.0()1()(11kkhkk， 则 描 述 该 系 统 的 差 分 方 程 为_。)1(5.2)(3)2(5 .0)1(5.1)(kfkfkykyky二、计算题（共50 分，每小题 10 分）1. 已知)(tf的波形如图a-1 所示，令)()(tttr。)(

33、tft21341-10图 a-1 (1) 用)(t和)(tr表示)(tf；(2) 画出)42(tf的波形。1、(1)2()4()3()2()1()()(ttrtrttrtrtf(2) 将)42(tf改成)2(2tf，先压缩，再翻转，最后左移2，即得)42(tf，如图 a-8 所示。-11)2( tf0-0.51.52t-1-1.5-21)2(tft-3-2.5-4-2-3.51-11-1t)2(2tf002. 已知某线性时不变（lti ）离散时间系统，当输入为)1(k时，系统地零状态响应为)1()21(kk，试计算输入为)()(2)(kkkf时，系统的零状态响应)(ky。2. 已知某线性时不变

34、（lti）离散时间系统，当输入为)1(k时，系统地零状态响应为)1()21(kk，试计算输入为)()(2)(kkkf时，系统的零状态响应)(ky。3. 已知信号)(tf的频谱如图a-2 所示，求该信号的时域表示式。1-)( jh-6 -5 -44 5 602)( j图 a-2 因为系统函数为222)5()5()(jeggjh因为)(2)(2satg，由傅立叶变换的对称性可得：)(2)(2)(222ggtsa即)()(12gtsa由调制性质，有)5()5(5cos)(222ggttsa由时移性质，有222)5()5()2(5cos)2(2jeggttsa因此)2(5cos)2(2)(ttsath

35、4. 已知一连续时间系统的频响特性如图a-3 所示，输入信号ttttf,4cos2cos35)(，试求该系统的稳态响应)(ty)( jh133图 a-3 4. 利用余弦信号作用在系统的零状态响应的特点，即)(cos()()cos(0000tjhtt在本题中，0)(，因此由上式可以求出信号)(tf作用在系统上的稳态响应为ttjhtjhjhtft2cos254cos)4(2cos)2(3)0(5)(，t5. 已知信号)1()()(tttf通过一 lti 系统的零状态响应为)1()1()(ttty， 试求图 a-4 所示信号)(tg通过该系统的响应)(tyg并画出其波形。011)(tgt图 a-4

36、5. 因为tdftg)()(，所以，利用线性时不变系统的积分特性，可得) 1()1() 1()1()()(ttddytyttg其波形如图a-9 所示。t11012)(tyg图 a-9 三、综合计算题（共20分，每小题 10 分）1. 描述一线性时不变因果连续时间系统的微分方程为)()( 2)(6)( 5)(tftftytyty已知1)0( , 1)0(),()(yytetft由 s 域求解：(1) 零输入响应)(tyx零状态响应)(tyf，完全响应)(ty；(2) 系统函数)(sh，单位冲激响应)(th,并判断系统是否稳定；(3) 画出系统的直接模拟框图（1）因为)2()2()3()3(21)

37、(22ggjh又因为)()(12gtsa，由调制定理，可得)3()3(21)3sin()(122ggjttsa即)3()3(21)3sin()(122ggttsaj由于)2()2()2sin(jt，即)2()2()2sin( tj由频域微分性质，可知：)()(jhtjth，所以有)2sin()3sin()()(tttsajtjth，整理得)2(2)3()(3)2sin()3sin()(1)(tsatsatsatttsatth（2）由于)( jh是一个带通滤波器，下限角频率为2rad/s，上限角频率为4rad/s，因此，只有角频率为3rad/s的信号分量可以通过该滤波器。由)(cos)()cos

38、(0000tjht可知)3(3cos)3(4. 0)3cos(4.0tjht由于5.0)3( jh，0)3(，所以有：)3cos(2 .0)3cos(4.0tt，即)3cos(2.0)(5cos2 .03cos4.0cos6 .01)(ttyttttf2. 在图a-5 所示的系统中，周期信号)(tp是一个宽度为)(t的周期矩形脉冲串，信号)(tf的频谱为)( jf。(1) 计算周期信号)(tp的频谱nf；(2) 计算)(tp的频谱率密度)( jp；(3) 求出信号)(tfp的频谱表达式)( jfp(4) 若信号)(tf的最高频率m，为了使)( jfp频谱不混迭， t 最大可取多大？)(tf)(

39、tp)(tfpt)(tpta22tt图 a-5 1)利用傅立叶级数的计算公式可得到周期信号)(tp的频谱nf为2/2/02/2/2/2/000)(1)(1tttjntjntttjnnejntadtaetdtetftftnsatannta2,22/)2/sin(0000(2)周期信号)(tp的指数函数形式的傅立叶级数展开式为ntjnensatatp02)(0对其进行fourier 变换即得p(t)的频谱密度)( jp为)(22)(00nnsatajpn(3)由于)()()(tptftfp，利用傅立叶变换的乘积特性，可得)(2)(*)(21)(00nfnsatajpjfjfnp(4)从信号)(tf

40、p的频谱表达式)( jfp可以看出，当m20时，)( jfp频谱不混迭，即mt长沙理工大学拟题纸课程编号5 拟题教研室（或老师）签名教研室主任签名符号说明：)sgn(t为符号函数，)(t为单位冲击信号，)(k为单位脉冲序列，)(t为单位阶跃信号，)(k为单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1. _)22()2()(ttt。)1(21)1(21)2()()22()2()(ttttttt2. 若某离散时间lti 系统的单位脉冲响应3, 1 ,2)(kh，激励信号2, 1 ,2, 1)(kf，则该系统的零状态响应_)()(khkf。利用排表法可得6,5, 1,3 ,3,2)(*)(

41、khkf3. 连续时间信号)sin()(ttf的周期0t=_。若对)(tf以hzfs1进行抽样，所得离散序列)(kf=_，该离散序列是否是周期序列_。ktfkfkttsin)()(。不是4. 对连续时间信号延迟0t的延迟器的单位冲激响应为)(0tt，_，积分器的单位冲激响应为)(t_，微分器的单位冲激响应为_。)(t5. 已知一连续时间lti 系统的频响特性jjjh11)(，该系统的幅频特性)( jh_，相频特性)( j=_，是否是无失真的传输系统_。不是)arctan(2)(jejh1)( jh，)arctan(2)(6. 根据 parseval 能量守恒定律，计算dttt2)sin(_。d

42、dgdttt11222221)(21sin7. 已知一连续时间lti 系统得单位冲激响应为)(th，该系统为bibo （有界输入有界输出）稳定系统的充要条件是_。dtth )(8. 已知信号)(tf的最高频率为)/(srads，信号)(2tf的最高频率是_。)/(2sradm。9. 某连续时不变（lti ）离散时间系统，若该系统的单位阶跃响应为)()41(kk，则该系统的单位脉冲响应为_。)1(41)(41) 1()()(1kkkgkgkhkk10. 已知连续时间信号)2/()(sin)(ttttf，其微分)( tf_。)2/()2/()(cos)(tttttf二、计算题（共50 分，每小题

43、10 分）1. 已知某连续时间系统的单位冲激响应)(th与激励信号)(tf的波形如图a-1 所示，试由时域求解该系统的零状态响应)(ty，画出)(ty的波形。1-1-110t)(tf2-t120)(th图 a-1 1. 系统的零状态响应)()()(thtfty，其波形如图a-7 所示。t)(ty02-2123图 a-7 2. 若)(tf得波形如图a-2 所示，试画出) 15 .0(tf的波形。)(tf2-1-0123(1)t图 a-2 2. 将)15.0(tf改写为)2(5 .0tf，先反转， 再展宽， 最后左移 2，即得) 15.0(tf，如图 a-8 所示。t12-2-1(1)0)( tf

44、-301224t)5. 0(tf)2(6)2(012468) 15. 0(tft3. 已知一离散系统的系统函数1232)(232szzzzzh(1) 画出系统的直接型模拟框图；(2) 在模拟框图上标出状态变量，并写出状态方程和输出方程。、(1) 将系统函数改写为321212312)(zzzzzzh，由此可画出系统的直接型模拟框图，如图a-10 所示。1z32)(zf-1z1z2-)(zy)(1kx)(2kx)(3kx4. 已知连续时间lti 因果系统工程微分方程为0),( 4)()(6)( 5)(ttftftytyty输入)()(tetft，初始状态3)0( , 1)0(yy。(1) 利用单边

45、拉式变换的微分特性将微分方程转换为s 域代数方程。(2) 由 s 域代数方程求系统的零输入响应)(tyx和零状态响应)(tyf。4、(1) 对微分方程两边做单边拉斯变换即得s域代数方程为)() 14()(6)0(5)(5)0()0()(2sfssyyssyysysys(2) 整理上述方程可得系统完全响应得s 域表达式为)(651465)0(5)0()0()(22sfsssssyysysy其中零输入响应的s 域表达式为31652)(2sssssyx取拉斯反变换可得0,)(3tetytx零状态响应的s 域表达式为34/132314/1)1)(3)(2(14)(6514)(2ssssssssfsss

46、syf取拉斯反变换可得)(413341)(32teeetytttf5. 已知连续系统的系统函数)(sh的零极点如图a-3 所示，且2)(h。j20-1-3图 a-3 (1) 写出)(sh的表达式，计算该系统的单位冲激响应)(th；(2) 计算该系统的单位阶跃响应)(tg。5、(1) 由零极点分布图及)(h的值可得出系统函数)(sh为315132)3)(1()2(2)3)(1()2()(ssssssssssksh取拉斯反变换可得)()153()(2)(3teetthtt(2) 单位阶跃响应的s 域表达式为35131)3)(1()2(2)()()(ssssssstltshsg取拉斯反变换可得)()

47、53()(3teetgtt三、综合计算题（共20分，每小题 10 分）1. 一离散时间lti 因果系统的差分方程为)1()(2)2(2) 1(3)(kfkfkykyky系统的初始状态,4/1)2(,2/1)1(yy输入)()(kkf。(1) 由 z 域求系统的零输入响应)(kyx和零状态响应)(kyf。(2) 求该系统的系统函数)(zh，并判断系统是否稳定。1、(1) 对差分方程两边进行z变换得)()2()2()1()( 2)1()( 3)(1121zfzyyzzyzyzyzzy整理后可得)(2312231)2(2) 1(2)1(3)(211211zfzzzzzyyzyzy零输入响应的z 域表

48、达式为11211211213112312231)2(2)1(2) 1(3)(zzzzzzzyyzyzyx取 z 反变换可得系统零输入响应为)()2(3) 1()(kkykkx零状态响应的z 域表达式为111121121112/121212/1)1)(231(2231)()2()(zzzzzzzzzzfzzyf取 z 反变换可得系统零状态响应为)(21)2(2) 1(21)(kkykkf(2) 根据系统函数的定义，可得2112312)()()(zzzzfzyzhf由于系统的极点为2, 121zz，均不在单位圆内，故系统不稳定2. 已知某高通的幅频特性和响频特性如图a-4 所示，其中80c，)(

49、jh0cc102)( j图 a-4 (1) 计算该系统的单位冲激响应)(th；(2) 若输入信号tttf120cos2 .060cos5.01)(，求该系统的稳态响应)(ty。2、(1) 因为系统的频率特性为：0)(1)(2tjegjhc。又因为1)(t，)()(2cgtsacc，所以，有)80(80)()()()(1tsattsatthcc由时移性质得)(8080)()()(0001ttsatttthth(2) 由于高通系统的截频为80，信号)(tf只有角频率大于80的频率分量才能通过，故)(120cos2 .0)(0ttty长沙理工大学拟题纸课程编号6 拟题教研室（或老师）签名教研室主任签

50、名符号说明：)sgn(t为符号函数，)(t为单位冲击信号，)(k为单位脉冲序列，)(t为单位阶跃信号，)(k为单位阶跃序列。一、填空（共 30 分，每小题 3 分）1. _)42()3(55dttt。5 .0)3(21)2()3(21)42()3(25555ttdtttdttt2. 已知实信号)(tf的傅立叶变换)()()(jxrjf，信号)()(21)(tftfty的傅立叶变换)( jy为_。3. 已知某连续时间系统的系统函数为11)(ssh，该系统属于_类型。低通4. 如下图 a-1 所示周期信号)(tf，其直流分量 =_。4 10)(tft-6-5 -4-1145 6图 a-1 5. 序

51、列和knn)(=_。由于)()1(0,00, 1kkkkknkn。6. lti 离散系统稳定的充要条件是_。)(zh的全部极点在单位圆内。7. 已 知 信 号)(tf的 最 高 频 率)(0hzf， 对 信 号)2/(tf取 样 时 ， 其 频 率 不 混 迭 的 最 大 取 样 间 隔m a xt=_。maxt为0maxmax121fft。8. 已知一连续系统在输入)(tf作用下的零状态响应)4()(tfty，则该系统为_系统（线性时变性）。线性时变9. 若)(tf最高角频率为m，则对)2()4()(tftfty取样，其频谱不混迭的最大间隔是_。mt34maxmax10. 已知)(kf的 z

52、 变换)2)(21(1)(zzzf，)(zf得收敛域为2),max(21zzz时，)(kf是因果序列。二、计算题（共50 分，每小题 10 分）1. 某线性时不变连续时间系统的单位冲激响应)(th和输入)(tf如图 a-2 所示，从时域求解该系统的零状态响应)(ty。1-1-110t)(tf012)(th图 a-2 1、系统的零状态响应)(*)()(thtfty，如图 a-4 所示。-10-11123t)(ty图 a-4 2. 已知系统)()(2)( tftyty的完全响应为)()32()(2teetytt，求系统的零输入响应和零状态响应。2、对微分方程取拉斯变换得)()(2)0()(sfsy

53、yssy整理得)(212)0()(sfssysy因此有2)0()(sysyx，)(21)(sfssyf取拉斯反变换，得零输入响应为)()0()(2teytytx由给定的系统全响应可知，激励信号应为：)()(tketft，因此，其拉斯变换为1)(sksf，因而有21)2)(1()(21)(skskssksfssyf取拉斯反变换，得零状态响应为)()()(2tkeketyttf因此。系统的全响应为)()0()(22tkeeyketyttt与给定的系统全响应)(32)(2teetytt比较，可得：2k，5)0(y因此，系统的零输入响应为)(5)()0()(22teteytyttx系统的零状态响应为)

54、()(2)()()(22teetkeketyttttf3. 已知n=5 点滑动平均系统的输入输出关系为101nnnkfnky，求系统的单位脉冲响应，并判断系统是否因果、稳定。3. 根据系统的单位脉冲响应的定义，当系统的输入信号)(kf为单位脉冲序列)(k时，其输出)(ky就是系统的单位脉冲响应)(kh，即)5()(51)4()3()2() 1()(51)(1)(10kkkkkkknknkhnn由于)(kh满足0,0)(kkhnkkh115140所以系统是因果、稳定的。4. 已知连续时间系统的系统函数1321)(232sssssh，写出其状态方程和输出方程。4. 根据系统函数画出系统的模拟框图，

55、并选择积分器的输出作为状态变量，如图a-5 所示，围绕模拟框图输入端的加法器可得到状态方程为1s1s32)(tf)(ty-)(2tx)(1tx1s)(3tx图 a-5 )()(21txtx，)()(32txtx，)()(3)(2)()(3213tftxtxtxtx围绕模拟框图输出端的加法器可得到输出方程为)()()(31txtxty5. 在图a-3 所示的系统中，周期信号)(tp是一个宽度为)(t的周期矩形脉冲串，信号)(tf的频谱为)( jf。(1) 计算周期信号)(tp的频谱nf；(2) 计算)(tp的频谱率密度)( jp；(3) 求出信号)(tfp的频谱表达式)( jfp(4) 若信号)

56、(tf的最高频率m，为了使)( jfp频谱不混迭， t 最大可取多大？)(tf)(tp)(tfpt)(tpta22tt图 a-3 5、(1)利用傅立叶级数的计算公式可得到周期信号)(tp的频谱nf为2/2/02/2/2/2/000)(1)(1tttjntjntttjnnejntadtaetdtetftftnsatannta2,22/)2/sin(0000(2)周期信号)(tp的指数函数形式的傅立叶级数展开式为ntjnensatatp02)(0对其进行fourier 变换即得p(t)的频谱密度)( jp为)(22)(00nnsatajpn(3)由于)()()(tptftfp，利用傅立叶变换的乘积

57、特性，可得)(2)(*)(21)(00nfnsatajpjfjfnp(4)从信号)(tfp的频谱表达式)( jfp可以看出，当m20时，)( jfp频谱不混迭，即mt三、综合计算题（共20分，每小题 10 分）1. 描述一线性时不变因果离散时间系统的差分方程为0)()2()1(5)(6kkfkykyky已知3)2(,2)1(),()(yykkf，由 z 域求解：(1) 零输入响应)(kyx零状态响应)(kyf，完全响应)(ky；(2) 系统函数)(zh，单位冲激响应)(kh；(3) 若) 1(2)(kkf，重求（ 1） 、 （2）1. (1) 对差分方程两边进行z 变换得)()2() 1()(

58、)1()( 5)(6121zfyyzzyzyzyzzy整理后可得2121156)(56)2()1()1(5)(zzzfzzyyzyzy零输入响应的z 域表示式为112112113113/72112/95621356)2()1() 1(5)(zzzzzzzyyzyzyx取 z 反变换可得系统零输入响应为)()31(37)21(29)(kkykkx零状态响应的z 域表示式为1111212112/13116/12112/1)1)(56(156)()(zzzzzzzzzfzyf取 z 反变换可得系统零状态响应为)(21)31(61)21(21)(kkykkf系统的完全响应)(21)31(25)21(5

59、)()()(kkykykykkfx(2) 根据系统函数的定义，可得11213113/12112/1561)()()(zzzzzfzyzhf取 z 反变换即得系统单位冲激响应为)()31(31)21(21)(kkhkk(3)若)1(2)(kkf，则系统的零输入响应)(kyx、单位冲激响应)(kh和系统函数)(zh均不变，根据线性时不变特性，可得系统零状态响应为)1(1)31(31)21()(11kkykkf系统全响应为)1( 1)31(31)21()()31(37)21(29)()()(11kkkykykykkkkfx2. 连续时间线性时不变（lti ）系统的微分器的系统函数为：sshc)(1)

60、 若设：11112zztss(2) 则用（ 2）式代替（ 1）式中的 s 来设计离散时间lti 系统的方法称之为双线性变换法。st是在设计过程中须确定的一个大于零的数。（ 1）试画出离散系统的框图。（ 2）确定离散时间系统的频率响应)(jdeh，画出它的幅度及相位响应。2、解： (1) 令)(zhd为离散系统的系统函数，则由题中给出的公式（1）和（ 2）得：)1 (112112)(1111zztzztzhssd因此可知该系统可由两个子系统级联构成，如图a-6 （a）所示：1zst2)(zx)(zy1z（a）可简化为图a-6（ b） ：1zst2)(zx)(zy（b）图 a-6 (2) 由系统函