整式分式复习资料全

1、整式乘除与因式分解一、重点难点：重点是整式的乘法运算，因式分解运算难点是乘法公式的灵活运用和分解因式的方法。二、知识要点【知识点一】幂的运算（1）同底数幂的乘法 : 同底数幂相乘 , 底数不变 , 指数相加 . 即a m a na m n ( m , n 都是正整数)（2）幂的乘方: 幂的乘方 : 底数不变 ,指数相乘. 即(am ) namn (m ,n 都是正整数)（3）积的乘方 : 先把积中的每一个因式分别乘方, 再把所得的结果相乘. 即 (ab) na nb n (n 是正整数 )（4）同底数幂的除法 : 同底数幂相除 , 底数不变 , 指数相减 . （这个也可以看做分式的运算）即am

2、a na m n ( a 0, m ,n 都是正整数，且 m n )零指数幂 : 不等于零的数的零次幂等于1. 即 a01( a 0).推导过程： ama ma m- ma01（这里面注意： a0，因为分母中有 a）负整数指数幂 :不等于零的数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数.即 ap1p( a 0,p 是正整数 ).a例 1.计算 3(a 3 )32(a 4 ) 2 a解: 3(a 3 ) 32( a4 ) 2 a =3a 92a8 a 3a92a95a9点评 : 在整式运算中同样应遵循有括号先算括号（先小括号，再中括号，后大括号，），然后算乘方、再算乘除、最后算加减的原则.例 2：

3、0. 25 2009×42009 8100× 0. 5 300解：0. 252009×42009 8100× 0. 5 300（ 0. 25 ×4） 2009（ 23 ）100×0. 5 30020093001（ 2×0. 5 ）0【知识点二】整式乘法(1) 单项式乘单项式单项式与单项式相乘 , 把它们的系数、相同字母的幂分别相乘 , 对于只在一个单项式里含有的字母, 则连同它的指数作为积的一个因数 . 即： 3a2 b4c× 2x3bc6=(3 ×2)(b 4×b)(c ×c6) &

4、#215;a2× x3 =6a2x3b5c7(2) 单项式乘多项式单项式与多项式相乘 , 就是根据乘法对加法的分配律, 用单项式乘多项式的每一项, 再把所得的积相加 .即： a(m+n)=am+an（单项式计算部分与上面原理相同）(3) 多项式乘多项式多项式与多项式相乘 , 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项 , 再把所得的积相加 . （就是反复多用几次乘法分配律） 。即：（ a+b）(m+n)=am+an+bm+bn。（单项式计算部分与上面原理相同）例 3. 计算： (1) (3a 2b3 c) (2ab 2 ) 2(3a 3b) ； (2)（ 2a3-3a+5）（3-a

5、 2 ）；23解: (1) (3 a 2b3 c)(2 ab2 )2(3a3 b)23= ( 3 a 2b3 c) ( 4 a 2b4 ) (3a3 b)29=3 4(3)(a2 a 2a3 ) (b3b4b) c 2a7b8c2 9(2) （2a3 -3a+5）（3-a 2）=6a32a 59a3a 3155a2=2a59a35a 29a15点评：为防止“漏项”， 应注意将一个多项式的每一项“遍乘”另一个多项式的每一项； 要正确确定积中每项的符号；如有同类项，则应合并同类项，得出最简结果；通常情况下，最后结果应按某一字母的降幂排列.【知识点三】：乘法公式(1) 平方差公式 : 两个数的和与这

6、两个数的积 , 等于这两个数的平方差 .即 a b a b a 2b2 .(2) 完全平方公式 : 两数和 ( 或差 ) 的平方 , 等于它们的平方和 , 加( 或减 ) 它们的积的 2 倍.即:a b 2a22ab b2 ,ab 2a 22abb2例 4.利用乘法公式计算 :4m 32n 4m 32n解:4m 32n4m32n 4m32n 4m3 2n 22= 4m3 2n=16m 29 12n4n2=16m 24n 212n9点评 : 巧妙的将 32n 看作一个整体是解决本题的关键 .【知识点四】 ：整式除法（了解即可，这几年几乎不从这部分里出题）(1)单项式除以单项式: 单项式相除 ,

7、把系数、同底数幂分别相除后, 作为商的因式; 对于只在被除式里含有的字母 , 则连同它的指数一起作为商的一个因式.(2) 多项式除以单项式 : 多项式除以单项式 , 先把这个多项式的每一项分别除以单项式, 再把所得的商相加 .【知识点五】因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化 .2因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法” . （前三个较常考，第四个较难理解，而且大纲里不作要求，近几年不常考，但是用好了会简化许多计算）一、提公因式法 .am+an=a(m+n)二、运用公式法

8、 .a2-b 2=(a+b)(a-b)；a2± 2ab+b2=(a ± b) 2；三、分组分解法 .把需要分解的式子改变顺序，对其中某部分提公因式或运用公式，然后再进行下一步的因式分解（一）分组后能直接提公因式例 5、分解因式： am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式 = (aman)(bmbn)=a( mn)b( mn)每组之间还有公因式！= (m n)(a b)【注】

9、 分组的选择是不唯一的，这道题还可以选择其他的分组方式，试试看。（二）分组后能直接运用公式例 6、分解因式： x2y 2axay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就不能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 =( x2y 2 )(axay )=( xy)( xy)a( xy)=( xy)( xya)例 7、分解因式： a 22abb 2c 2解：原式 =( a22abb2 )c 2=( ab) 2c2=( ab c)(abc)四、十字相乘法 . （这是因式分解的最精华部分，但是大纲里不做要求，是课本中的思考题部分，所以了解即可，但是如果学会了，解题会快很

10、多）（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x2( p q) xpq( xp)( x q) 进行分解。特点：（ 1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 8、分解因式： x2 5x 6分析：将 6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2 × 3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1)× (-6)，从中可以发现只有2 × 3 的分解适合，即2+3=5。12解： x 25x 6 = x 2(2 3) x 2 313= ( x 2)( x 3)例 6、分解因式： x2 7x 6

11、解：原式 = x 2( 1)( 6) x( 1)(6)1-1= ( x1)( x6)1-6（-1 ）+（-6 ） = -7（二）二次项系数不为1 的二次三项式ax 2bxc条件：（ 1） aa1a2a1c1（ 2） c c1c2a2c2（ 3） b a1c2a2 c1ba1c2a2 c1分解结果： ax 2bxc =( a1 x c1 )(a2 xc2 )例 7、分解因式： 3x 2 11x 10分析：1 -23-5（-6 ） +（ -5 ）= -11解： 3x211x10 =( x2)(3x5)（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式： a2 8ab 128b2分析：将 b 看成常

12、数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1 -16b8b+(-16b)= -8b解： a 28ab128b2 = a 2 8b( 16b)a 8b(16b)=(a8b)(a16b)（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、 2x27 xy 6 y 2例 10、 x 2 y 23xy 21-2y把 xy 看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 =( x2 y)( 2x3y)解：原式 =( xy1)( xy2)【典型题】232例 1.设 mm20，求 m 3m 2000 的值2m 32及2变形分析：由m无法

13、求 m，所以要把 mm2000mm 2 032 0222m ，解：由mm ，得 m m， m222022原式m· mm200032（ 2m）· m 3m 20002 2 2mm 3m 20002 2（ mm） 2000 2× 2 2000 2004评析：要多探索方法，寻求新颖简捷的方法例2.化简求值： （ m n）（mn） （mn）2 （mn）2，其中 m ， n 152325分析：先应用乘法公式化简，再代入求值解： 5（mn）（ m n） 2（ m n） 23（mn）2222222 5（mn） （ m mnn） （ m mn n ）2232222222mn m

14、mn n m mnn 55242363 10n2 2mn1当 m 2，n5时，原式 10n22mn 2n（ 5nm）1126 2× 5×（ 5×52） 5×（ 3） 5评析：本题用到平方差及完全平方公式，注意应用公式要准确【注】这类习题一定要先化简，在代数求值，以后的分式部分也要这样做例 3. 已知（ ab）2 11，（ab） 25，求（ 1）a2b2；（2）ab分析：利用完全平方公式变形即可222解：由（ a b） 11，得 a 2abb 11222由（ ab） 5，得 a 2ab b 52222，得 2a 2b 16故 a b 83，得 4ab 6故

15、 ab 2例 4 abc 的三边 a、b、c 有如下关系式： c2 a2 2ab2bc0，求证这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解（还有些题是对某部分因式分解）。证明： c2 a22ab 2bc 0，（ ac）（ac） 2b（ac） 0，（ a c）（a2bc） 0又 a、 b、 c 是 abc 的三条边， a2bc0， ac0，即 a c， abc 为等腰三角形。例 5 简便计算 2001× 19992001× 1999=（2000+1）（2000-1 ）=20002-1 ×2000+1×2000+1

16、5;（ -1 ）=20002-1（用平方差公式也可以直接得到这一步）=4000000-1=3999999例 6计算 am+5bn+1· a-m+6bn-1解： am+5bn+1·a-m+6bn-1分析： 无论指数多繁杂同底数幂结合是关键。=(a m+5· a-m+6)(bn+1·bn-1 )=am+5-m+6bn+1+n-1=a11b2n例 7计算 (-1) 2k+1· (- ) 2k解： (-1) 2k+1· (- ) 2k分析： (-1) 的奇次幂是 -1=(-1) ·(- )2 k（-1 ）的偶次幂是 +1=-1 &#

17、183; ( ) k利用 amn (a m) n 将(- ) 2k=-( ) k =变形 (- ) 2k=(- )2 k=( ) k例 8用简便方法计算： (1) (-9) 3·(- ) 3· ( ) 3分析：本题逆用积的乘方公式， 即同指数的若干个幂的积等于它们底数乘积之幂。ambmcm=(abc) m解： (1) (-9)3·(- ) 3·( ) 3=(-9)( - )( )3=(9 × × ) 3=23=8例 9如果 2· 8n· 16n=222, 求 n 的值分析： 依据相等的2 个幂，如其底数相同，则其指

18、数相等的原理解方程。解： 2 · 8n· 16n=222又 左边 =2· 8n· 16n=2· (2 3) n· (2 4) n=2· 23n· 24n=21+3n+4n =2 1+7n 2 1+7n=222 , 1+7n=22 n=3例 10已知 x12, 求 x21的值xx 2解：（ x1）2 =x2-2x · 1 +( 1 ) 2 = x 2-2+(1 )2=4xxxx2 1x =4+2=6x 2例 11 如果 a 2 b 2 2a 4b 50 ，求 a、b 的值解： a 2 b 22a 4b 5（

19、 a-1 ）2 +（ b+2）2=0例 12所以 a-1=0 b+2=0所以 a=1b=-2两个连续整数的平方差必是奇数解：设这两个连续整数是 n 和 n+1则 这两个数的平方差是（n+1）2 -n 2=(n+1+n)(n+1-n)=2n+1因为 n是整数所以 2n+1 是奇数则结论成立。分式一、重点难点：重点是提高分式部分化简求值的运算能力，注意分式什么时候无意义，什么时候值为 0；会解分式方程，会用分式方程解决实际问题。难点是计算要快速准确，解方程记得检验是否是增根。二、知识要点【知识点一】分式的基础知识AA1. 分式：整式 A除以整式 B，可以表示成 B 的形式，如果除式 B 中含有字母

20、，那么称 B 为分式若AAAB0，则 B 有意义；若 B=0，则 B 无意义；若 A=0，B0，则 B 0.2分式的基本性质 ：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变用式子表示为 AA?C ,AAC(C 0).BB ? CBBC3. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分4通分 ：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.【注】通分的关键是确定n 个分式的最简公分母，约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式例 1下列各式，哪些是整式，哪些是分式？例 2 分别求出使下列式子有意义的 x 的值。解: 分式

21、有意义，只要分母不为 0 就可以第一个： x-3 0 x 3第二个： x -3 0 x 3第三个： x20x0x3例 3如果分式的值为零，那么 x 等于3x9解：依题意得 3x-9 0x 3x -3=0x=3综合起来， x=-3 （x=3 的时候分式分母为0，无意义）例 4例 5 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数。【知识点二】 分式的运算【注：这部分中考必有一道题，计算一定要大量练习，要保证准的基础上，提高速度。】（1）分式乘除法：概括：与分数乘除法的法则类似，分式的乘除法的法则是：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把

22、除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。经观察、类比不难发现例 6（ a2(a - b)2a2- b2b）=解：原式 =a(a b)abb(a - b)例 7.先化简，再求值。【中考题型，一定要先化简，再代数，切记。】（2）分时加减法同分母的分式加减法与同分母分数加减法的法则类似，同分母的分式加减法的法则是：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式加减法与异分母分数加减法的法则类似，异分母的分式加减法的法则是：异分母的分式相加减， 先通分，化为同分母的分式， 然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。例 8例 9【知识点三】分式方程概念：含有分式的等式（方程）叫分式方程。【注

23、】对于分式方程，当分式中分母的值为零时没有意义，所以分式方程不允许未知数取那些分母为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了。换言之，方程中未知数允许取值的围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。因为解分式方程可能会出现增根，所以解分式方程时，验根是必要步骤。（验跟是只有分式方程中才特有的，但是必须的）验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误； 另一种是把求得未知数的值代入分式的分母， 看分母的值只否为零，这种方法不能检查

24、解方程过程中出现的计算错误。例 10621(x 1)(x 2)x 2解： 方程两边同时乘以 ( x1)(x2)得62(x1)( x1)(x2)整理，得x 2x60解这个方程，得x 13x 22经检验， x2 是原方程的增根，应舍去. 所以原方程的根是x3例 11年 1 月 1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1/3 。小丽家去年 12 月份的水费是 15 元，而今年 7 月份的水费则是30 元。已知小丽家今年7 月份的用水量比去年 12 月份的用水3量多 5m，求该市今年居民用水的价格。主要的等量关系是：3小丽家今年 7 月份的用水量小丽家去年12 月份的用水量 =5m所以，首先要表示出

25、小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出。解：设该市去年居民用水的价格x 元/ m 3 ，则今年的水价为（ 1+1/3 ）x 元 / m 3，根据题意，得30 -15 5（1 1）x x 3解这个方程，得x=1.5经检验， x=1.5 是所列方程的根。1.5 ×（ 1+1/3 ）=2（元）所以，该市今年居民用水的价格2 元 / m 3。例 12 x 2 1x10x 2x解：原方程变为（x1 ）2+（ x1 ） -2=0xx所以 x1=-2x1=x =-1x2或 x1=1这个方程无解x=x =-1 是这个方程的跟。经检验， x12例 13如果方程 xkx2 有增根 x

26、1, 则 k=_x 211x解：解这种题，不要先带 x 的值，因为带进去分母为 0，分式无意义，所以，先通分，在通分时，等式两边乘以 0，对等式是没有影响的，所以，原方程可化为：（ x+k）-x(x+1)=2(x 2-1)整理 3x2-k-2=0此时，带入 x=1，求 k 的值， k=1例 14若 113，求 5x3xy5 y 的值 .xyx2xyy解：因为113所以 y-x=3xyxy5x3xy5 y（5 x - y） 3xy5(-3xy)3xy- 12xy12x2xyy=(x - y) - 2xy(-3xy)- 2xy- 5xy5【巩固练习】【整式部分】1、计算：（1）（ 3a 2 ） 3

27、 ·（ 2a 3 ） 2 ；（2） 3xy 2 z·（x 2 y） 2 （3） 21a 2 b 3 ÷7a 2 b；（4）7a5b 2 c 3 ÷（ 3a 3 b）；（5）( x)2( x)32x ( x)4( x) x4÷ x（ ）（12）（2 a3 ba -b）63423、若n ， n ，则n 的值是；若 n+1，则x_.2524 3202163、已知(3x 2 y3 ) ? (4xm y4 )(5xy n )2.4x5y10 求 m、 n 的值4、 (11 )(112 )(114 )(118 )115 （提示：用平方差公式）222225、

28、已知 ab9 ， ab3 ，求 a23abb2 的值6、在长为 a m，宽为 b m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为m2 ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为 1m的弯曲小路（如图 6），则此时余下草坪的面积为m2 7、若 a、 b、 c 为 ABC的三边，且满足 a2b2 c2 ab acbc，试判断 ABC的形状。8、已知 xy8 ， xy12 ，求：（1） x2 yxy2 （2） x2xyy 2 （3） xy 的值。9、利用因式分解说明： 367612 能被 140 整除10、因式分解（ 1） 2xax 2 yay（ 2） 7a23bab21a（ 3） a

29、2 xa2 y b2 x b2 y ；（ 4） mx mx2n nx（ 5） a2b22ab a21（ 6） (ab)2 (a b)2a 4b4（ 7） y 26y 9x29（ 8） x22xy y2ax ay(9)2x 2-7x 3；(10)6x2-7x-5 ；(11)-3x 2 7x-2 ；(12)5x2 6xy-8y 2【注】 后四个是用十字相乘法因式分解，尽量做11、已知 xyz0 ，求 (x2y2z2 ) 24y2 z2 的值。12、已知：a、 b、 c为ABC的三边，并且满足a2(b)b2(a)c2(ab) 0cc求证：ABC 是等腰三角形。【分式部分】1、 已知： 3x-4y-z = 0, 2x+y-8z = 0,求 x 2y2z