抛物线高考真题

1、20102014年高考真题备选题库1 （2014 湖南， 5 分）如图，正方形abcd 和正方形defg 的边长分别为a，b(a0)经过 c，f 两点，则ba_. 解析：由正方形的定义可知bccd，结合抛物线的定义得点d 为抛物线的焦点，所以|ad|pa，dp2， 0 ，fp2b， b ，将点f 的坐标代入抛物线的方程得b22pp2b a22ab，变形得ba22ba10，解得ba12或ba12(舍去 )，所以ba12. 答案： 12 2 （ 2014 新课标全国，5 分）已知抛物线c：y28x 的焦点为f，准线为l，p 是 l 上一点， q 是直线 pf 与 c 的一个交点，若fp4fq，则

2、|qf|() a.72b.52c3 d2 解析：过点 q 作 qql 交 l 于点 q， 因为fp 4fq， 所以 |pq|pf|34，又焦点f 到准线 l 的距离为4，所以 |qf|qq|3.故选c. 答案： c 3 （ 2014 新课标全国，5 分）设 f 为抛物线c：y23x 的焦点，过f 且倾斜角为30的直线交c 于 a，b 两点， o 为坐标原点，则oab 的面积为 () a.334b.9 38c.6332d.94解析：易知抛物线中p32，焦点 f34， 0 ，直线 ab 的斜率 k33，故直线 ab 的方程为y33x34，代入抛物线方程y23x，整理得x2212x9160.设 a(

3、x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2212.由抛物线的定义可得弦长|ab|x1x2p2123212，结合图象可得o 到直线ab 的距离 dp2 sin 3038，所以 oab 的面积 s12|ab| d94. 答案： d 4 （ 2014 辽宁， 5 分）已知点a(2,3)在抛物线c：y22px 的准线上，过点a 的直线与c 在第一象限相切于点b，记 c 的焦点为f，则直线 bf 的斜率为 () a.12b.23c.34d.43解析： a(2,3)在抛物线y22px 的准线上，p2 2， p4， y28x，设直线ab 的方程为xk(y3)2，将与y28x 联立，即xky32，y28x得

4、y28ky24k160，则 (8k)24(24k 16)0，即 2k23k20，解得 k2 或 k12(舍去)，将 k2 代入解得x8y8，即 b(8，8)，又 f(2,0)， kbf8 08 243，故选 d. 答案： d 5 （ 2014 山东， 14 分）已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，a 为 c 上异于原点的任意一点，过点a 的直线 l 交 c 于另一点b，交 x 轴的正半轴于点d，且有 |fa|fd|.当点 a的横坐标为3 时， adf 为正三角形(1)求 c 的方程；(2)若直线 l1l，且 l1和 c 有且只有一个公共点e，证明直线ae 过定点，并求出定点坐标； ab

5、e 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解：由题意知fp2，0 . 设 d(t,0)(t0)，则 fd 的中点为p2t4，0 . 因为 |fa|fd|，由抛物线的定义知3p2tp2，解得 t3p 或 t 3(舍去 )由p2t43，解得 p2. 所以抛物线c 的方程为y24x. (2)由 (1)知 f(1,0)，设 a(x0，y0)(x0y0 0)，d(xd,0)(xd0)，因为 |fa|fd|，则 |xd1|x01，由 xd0 得 xdx02，故 d(x02,0)故直线 ab 的斜率 kaby02. 因为直线l1和直线 ab 平行，设直线 l1的方程为yy02xb，

6、代入抛物线方程得y28y0y8by00，由题意 64y2032by00，得 b2y0. 设 e(xe，ye)，则 ye4y0，xe4y20. 当 y20 4 时， kaeyey0 xex04y0y04y20y2044y0y204，可得直线ae 的方程为yy04y0y204(xx0)，由 y204x0，整理可得y4y0y204(x 1)，直线 ae 恒过点 f(1,0)当 y204 时，直线ae 的方程为 x1，过点 f(1， 0)，所以直线ae 过定点 f(1,0)由知直线ae 过焦点 f(1,0)，所以 |ae| |af|fe| (x01)1x01 x01x02. 设直线 ae 的方程为xm

7、y1，因为点 a(x0，y0)在直线 ae 上，故 mx0 1y0. 设 b(x1，y1)直线 ab 的方程为 yy0y02(xx0)，由于 y0 0，可得 x2y0y2x0，代入抛物线方程得y28y0y84x00. 所以 y0y18y0，可求得y1 y08y0，x14x0 x04. 所以点 b 到直线 ae 的距离为d4x0 x04 m y08y011 m24x0 1x04x01x0. 则 abe 的面积 s12 4x01x0 x01x02 16， 当且仅当1x0 x0， 即 x01 时等号成立所以 abe 的面积的最小值为16. 6 （ 2014 陕西， 13 分）如图，曲线c 由上半椭圆

8、c1：y2a2x2b21(ab0，y 0)和部分抛物线c2：y x2 1(y 0)连接而成， c1与 c2的公共点为a，b，其中 c1的离心率为32. (1)求 a，b 的值；(2)过点 b 的直线 l 与 c1， c2分别交于点p，q(均异于点a，b)，若 apaq，求直线l的方程解： (1)在 c1，c2的方程中，令y0，可得b1，且 a(1， 0)，b(1,0)是上半椭圆c1的左、右顶点设 c1的半焦距为c，由ca32及 a2c2 b21 得 a2. a2，b 1. (2)由 (1)知，上半椭圆c1的方程为y24x21(y 0) 易知，直线l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x

9、 1)(k 0) ，代入 c1的方程，整理得(k2 4)x2 2k2xk240.(*) 设点 p 的坐标为 (xp，yp)，直线 l 过点 b， x1 是方程 (*) 的一个根由根与系数的关系，得xpk24k24，从而 yp8kk2 4，点 p 的坐标为k24k24，8kk24. 同理，由ykx1k0，y x21y0得点 q 的坐标为 (k 1， k2 2k)ap2kk2 4(k， 4)，aq k(1，k 2)apaq，apaq0，即2k2k24k4(k2) 0，k0 ， k4(k 2)0，解得 k83. 经检验， k83符合题意，故直线 l 的方程为 y83(x1)7 （2013 新课标全国

10、， 5 分）设抛物线 c：y22px(p0)的焦点为f，点 m 在 c 上，|mf |5.若以 mf 为直径的圆过点(0,2)，则 c 的方程为 () ay24x 或 y28xby22x 或 y28xcy24x 或 y216xd y2 2x 或 y2 16x解析：本题考查抛物线与圆的有关知识，意在考查考生综合运用知识的能力由已知得抛物线的焦点fp2，0 ， 设点 a(0,2)， 抛物线上点m(x0， y0)， 则afp2， 2 ，amy202p， y02 .由已知得，afam0，即 y208y0160，因而 y0 4，m8p，4 . 由|mf|5 得，8pp22165，又 p0，解得 p2 或

11、 p8，故选 c. 答案：c 8 （ 2013 北京， 5 分）若抛物线y22px 的焦点坐标为(1,0)，则 p_，准线方程为_解析：本题主要考查抛物线的方程及其简单的几何性质，意在考查考生的运算求解能力因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p21，p2，准线方程为xp2 1. 答案： 2x 1 9 （ 2013 江西， 5 分）抛物线x22py(p0)的焦点为f，其准线与双曲线x23y231 相交于 a，b 两点，若 abf 为等边三角形，则p _. 解析：本题考查抛物线、双曲线的标准方程及简单的几何性质，意在考查考生的数形结合思想以及转化与化归的能力由 x22py(p0)得焦点 f0，p

12、2，准线 l 为 yp2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x23y231 的交点 a 12p22，p2，b12 p22，p2，所以 |ab|12p2，则 |af|ab|12p2，所以p|af|sin 3，即p12p232，解得 p6. 答案： 6 10 （2013 湖南， 13 分）过抛物线e：x22py(p0)的焦点 f 作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且 k1k22，l1与 e 相交于点a，b，l2与 e 相交于点c，d，以 ab，cd为直径的圆m，圆 n(m，n 为圆心 )的公共弦所在直线记为l. (1)若 k10，k20，证明：fmfn0，k20，k1 k2，所以 0k1

13、k2k1k2221. 故fmfn0，所以点m 到直线 l 的距离d|2pk21pk1p|5p|2k21k1 1|5p 2 k1142785. 故当 k114时， d 取最小值7p85.由题设，7p85755，解得 p8. 故所求的抛物线e 的方程为 x2 16y. 11 （2012 山东， 5 分）已知双曲线c1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为2.若抛物线c2：x22py(p0)的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2，则抛物线c2的方程为 () ax2833ybx21633ycx28yd x2 16y解析：双曲线的渐近线方程为ybax，由于caa2b2a21ba22，所以ba3，所以

14、双曲线的渐近线方程为y 3x.抛物线的焦点坐标为(0，p2)，所以p222，所以 p8，所以抛物线方程为x2 16y. 答案： d 12 （2011 新课标全国，5 分）已知直线l 过抛物线c 的焦点，且与c 的对称轴垂直，l与 c 交于 a，b 两点， |ab|12，p 为 c 的准线上一点，则abp 的面积为 () a18 b24 c36 d 48 解析：设抛物线方程为y22px，则焦点坐标为(p2，0)，将 xp2代入 y22px 可得 y2p2，|ab|12， 即 2p12， p6.点 p 在准线上，到 ab 的距离为 p6， 所以 p ab 的面积为12 6 1236. 答案： c

15、13 （2011 辽宁， 5 分）已知 f 是抛物线y2 x 的焦点， a，b 是该抛物线上的两点，|af|bf|3，则线段ab 的中点到y 轴的距离为 () a.34b1 c.54d.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段 ab 中点到 y 轴的距离为：12(|af|bf|)14321454. 答案： c 14 （2012 天津， 5 分）已知抛物线的参数方程为x2pt2，y2pt，(t 为参数 )，其中p0，焦点为 f， 准线为 l.过抛物线上一点m 作 l 的垂线，垂足为 e.若|ef|mf |， 点 m 的横坐标是3，则 p_.解析：由题意知，抛物线的普通方程为y22px(p

16、0)，焦点 f(p2，0)，准线 xp2，设准线与 x轴的交点为a.由抛物线定义可得|em|mf |，所以 mef 是正三角形，在直角三角形efa 中， |ef|2|fa|，即 3p22p，得 p2. 答案： 2 15.（2012 陕西， 5 分）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽4 米水位下降1 米后，水面宽 _米解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2 2py，则点 (2， 2)在抛物线上，代入可得p1，所以 x2 2y.当 y 3 时， x2 6，所以水面宽为2 6. 答案： 2 6 16 （2010 浙江， 4 分）设抛

17、物线y22px(p0)的焦点为f，点 a(0,2)若线段 fa 的中点b 在抛物线上，则b 到该抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点f 的坐标为 (p2，0)，线段 fa 的中点 b 的坐标为 (p4，1)，代入抛物线方程得 12pp4，解得 p2，故点 b 的坐标为 (24，1)，故点 b 到该抛物线准线的距离为24223 24. 答案：3 2417 (2011 新课标全国，12 分)在平面直角坐标系xoy 中，已知点a(0， 1)，b 点在直线 y 3 上， m 点满足mboa，maabmbba，m 点的轨迹为曲线c. (1)求 c 的方程；(2)p 为 c 上的动点， l 为 c 在 p 点处的切线，求o 点到 l 距离的最小值解： (1)设 m(x，y)，由已知得b(x， 3)，a(0， 1)所以ma( x，