2022年初二平行四边形的性质和判定知识点整理2

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载初二平行四边形的性质和判定专题1 平行四边形的定义1定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形的定义有两层意思：为四边形；两组对边分别平行这两个条件缺一不行2表示方法：平行四边形用符号“”表示平行四边形abcd记作“abcd ”,读作“平行四边形 abcd ”3平行四边形的基本元素：边.角.对角线平行四边形的定义的作用：平行四边形的定义既为性质,又为判定方法 由定义可知平行四边形的两组对边分别平行； 由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行,那么这个四边形就为平行四边形【例 1】对于平行四边形abcd ,ac 与 bd 相交于点o,以下说法正确选项

2、 a 平行四边形abcd 表示为“acdb ”b平行四边形abcd 表示为“ abcd ”cad bc, ab cd d对角线为ac, bo解析： 两组对边分别平行的四边形为平行四边形,可知平行四边形的两组对边平行,应选 c.答案： c2 平行四边形的性质1 平行四边形的对边平行且相等例如：如图所示,在abcd中, abcd , adbc.由上述 性质可得,夹在两条平行线间的平行线段相等如图2,直线 l 1 l2 .ab, cd 为夹在直线l 1, l 2 间的平行线段,就四边形abcd 为平行四边形,故abcd .2平行四边形的对角相等,邻角互补例如：如图所示,在abcd 中, abc cd

3、a , bad bcd . abc bad 180°, abc bcd 180°, bcd cda 180°, bad cda 180°.3平行四边形的对角线相互平分例如：如图所示,在abcd 中, oa oc , obod .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载图4 经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等,并且该直线平分平行四边形的面积例如：如图所示,在abcd 中, ef 经过对角线的交点o,与 ad和 bc 分别交于点e,f ,就 oeof ,且 s 四边形 abfe s 四边形 efcd .【例 2】abcd 的周长为

4、30 cm,它的对角线ac 和 bd 交于 o,且 aob 的周长比boc 的周长大5 cm,求 ab,ad 的长分析： 依题意画出图形,如图, aob 的周长比 boc 的周长大5 cm ,即 ao ab bobooc bc 5cm 由于 oa oc, ob 为公共边, 所以 ab bc5cm 30由 ab bc 2 15cm 可求 ab ,bc,再由平行四边形的对边相等得ad 的长解： aob 的周长比 boc 的周长大5 cm, ao ab bobooc bc 5cm 四边形 abcd 为平行四边形, ao oc , ab bc 5cm abcd 的周长为30 cm, ab bc 15c

5、m 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab bc 5,ab bc 15,ab 10,得bc 5.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ab 10 cm, ad bc 5 cm.3 平 行 四 边 形 的 判 定1方法一： 定义判定法 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形的定义为判定平行四边形的根本方法,也为其他判定方法的基础关于边.角.对角线方面仍有以下判定定理2方法二：两组对边分别相等的四边形为平行四边形如图,连接bd ,由ad bc , ab cd ,可证明abd cdb ,所以cdb abd , cbd adb ,从而得到ab cd , ad bc.由定

6、义得到四边形abcd 为平行四边形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其推理形式为： ab dc ,ad bc,四边形 abcd 为平行四边形3方法三：两组对角分别相等的四边形为平行四边形如图,由 a= c, b=d , a+b+ c+ d=360°, 可得 b + c=180 °, a+b=180° .从而得到 ab dc , adbc .由定义得到四边形abcd 为平行四边形,其推理形式为： a= c, b= d ,四边形 abcd 为平行四边形4方法四：对角线相互平分的四边形为平行四边形 其推理形式为：如图, oa=oc , ob=od ,四边形

7、abcd 为平行四边形5方法五：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形 其推理形式为：如图, ad bc, ad bc,四边形 abcd 为平行四边形1 判定方法可作为“ 画平行四边形” 的依据； 2 一组对边平行,另一组对边相等的四边形不肯定为平行四边形【例 3】已知,如图,在四边形abcd 中, ac 与 bd 相交于点o, ab cd ,ao co.四边形 abcd 为平行四边形,请说明理由解： 由于 ab cd ,所以 bac dca .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由于 ao co , aob cod , 所以 abo cdo .所以 bo do . 所以四边形ab

8、cd 为平行四边形4 三角形的中位线1定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 2性质：三角形两边中点连线平行于第三边,并且等于第三边的一半1 一个三角形有三条中位线,每条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系； 2 三角形的中位线不同于三角形的中线,三角形的中位线为连接两边中点的线段,而三角形的中线为连接三角形一边的中点和这边所对顶点的线段【例 4】如下列图,在abc 中,点 d, e, f 分别为 ab,bc, ca 的中点,如 abc的周长为10 cm,就 def 的周长为 cm.解析： 由三角形的中位线性质得,111df 2bc, ef 2ab,de 2ac,所以 def

9、的周长 1× 10 5cm 2答 案 ： 5 5 两条平行线间的距离定义：两条平行线中,一条直线上任意一点到另始终线的距离,叫做这两条平行线间的距离如下列图, a b,点 a 在直线 a 上,过 a 点作 ac b,垂足为 c,就线段 ac 的长为点a 到直线 b 的距离,也为两条平行线a, b 之间的距离1 如图,过直线a 上点 b 作 bd b,垂足为d,就线段bd 的长也为两条平行线 a, b 之间的距离于为由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质：平行线间的距离到处相等2 两条平行线之间的距离为指垂线段的长度,当两条平行线的位置确定时,它们之间的距离也随之确定,它不随垂线段的

10、位置的转变而转变,为一个定值【例 5】如下列图,假如l 1 l2,那么 abc 的面积与 dbc 的面积相等吗？由此你仍能得出哪些结论？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： abc 的面积与 dbc 的面积相等 由于 l1 l2 ,所以它们之间的距离为一个定值所以 abc 与 dbc 为同底等高的两个三角形所以s abcs dbc.结论： l1 上任意一点与b, c 连接,构成三角形的面积都等于 abc 的面积,这样的三角形有许多个6 平行四边形性质的应用平行四边形性质的应用特别广泛,可以利用它说明线段相等.证明线段平行.求角的度数.求线段的长度.求图形的周长.求图形的面积等对平

11、行四边形的性质.平行线的性质.勾股定理.含30°角的直角三角形.三角形的面积.三角形的内角和定理等学问点的懂得和把握,为解决此类问题的关键【例 6】如图,abcd 的对角线相交于点o,过 o 作直线 ef,并与线段ab, cd 的反向延长线交于e, f , oe 与 of 为否相等,阐述你的理由解： oe 与 of 相等理由： 四边形 abcd 为平行四边形, be df , obod , fdo ebo, e f . boe dof . oe of .7 平行四 边形的判定的应用娴熟把握判定定理为平行四边形的判定的关键已学了平行四边形的五种判定方法,记忆时要留意技巧,其中三种方法都

12、与边有关：1一种关于对边的位置关系两组对边分别平行的四边形为平行四边形；2一种关于对边的数量关系两组对边分别相等的四边形为平行四边形；3 一种关于对边的数量与位置关系 一组对边平行且相等的四边形为平行四边形平行四边形的判定方法为今后解决平行四边形问题的基础学问,应当娴熟把握判定平行四边形的一般思路：考虑对边关系：证明两组对边分别平行；或两组对边分别相等；或一组对边平行且相等；考虑对角关系：证明两组对角分别相等；考虑对角线关系：证明两条对角线相互平分【例7】如图,请在以下四个关系中,选出两个恰当 的关系作为条件,推出四边形abcd 为平行四边形,并予以证明写出一种即可 精品学习资料精选学习资料

13、- - - 欢迎下载关系： ad bc, ab cd , a c, b c 180°.已知：在四边形abcd 中, , ；求证：四边形abcd 为平行四边形分析： 选用 关系时,证明两组对边分别平行的四边形为平行四边形；选用 关系时,证明两组对边分别平行的四边形为平行四边形；选用 关系时,证明一组对边平行并且相等的四边形为平行四边形；选用 关系时,证明两组对边分别平行的四边形为平行四边形解： 已知： , , , 均可,其余均不行以举例如下：已知：在四边形abcd 中, adbc, a c,求证：四边形abcd 为平行四边形 证明： ad bc, a b 180 °. a c

14、, c b 180°. ab cd .四边形 abcd 为平行四边形8 平行四边形的性质和判定的综合应用平行四边形的性质和判定的应用主要有以下几种情形：1 直接运用平行四边形的性质解决某些问题,如求角的度数.线段的长.证明角相等或互补.证明线段相等或倍分关系；2判定一个四边形为平行四边形,从而得到两角相等.两直线平行等；3 综合运用：先判定一个四边形为平行四边形,然后再用平行四边形的性质去解决某些问题；或先运用平行四边形的性质得到线段平行.角相等等,再判定一个四边形为平行四边形【例 8】如下列图,在abcd 中, e, f 分别为ad , bc 上的点,且ae cf, af与 be

15、交于 g, df 与 ce 交于 h,连接 ef, gh ,试问 ef 与 gh 为否相互平分？为什么？解： ef 与 gh 相互平分理由：在abcd 中, adbc, ae cf, aecf. debf. 四边形afce , bedf都为平行四边形一组对边平行且相等的四边形为平行四边形 af ce, be df . 四边形 egfh 为平行四边形平行四边形的定义 ef 与 gh 相互平分9 三角形的中位线性质的应用三角形的中位线的性质不仅反映了线段间的位置关系,而且仍揭示了线段间的数量关精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载系,借助三角形中位线的性质可以进行几何求值运算角度.求线段的

16、长度.证明 证明线段相等.证明线段的不等.证明线段的倍分关系.证明两角相等.作图,且能解决生活实 际问题应用三角形中位线定懂得决问题时,已知条件中往往给出两个中点,如已知条件只给出一个中点,必需要证明另一个点也为中点,才能运用此定理【例 9】在 abc 中, ab 12, ac 10, bc 9, ad 为 bc 边上的高将abc 按如图所示的方式折叠,使点a 与点 d 重合,折痕为ef,就 def 的周长为 a 9.5b 10.5c 11d 15.5解析： edf 为eaf 折叠而形成的图形, edf eaf . aef def . ad 为 bc 边上的高,由折叠可知ad ef , ef

17、cb. aef b, bde def . b bde. be de ae. e 为 ab 的中点同理点f 为 ac 的中点 ef 为 abc 的中位线 def 的周长为 eaf 的周长,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 ae ef af 答案： d1× ab bc ac 21× 12 9 10 15.5.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10 平行四边形的性质探究题平行四边形为一类特别的四边形,它的特别性表达在对边相等.对角相等.邻角互补.对角线相互平分几方面,因此,由平行四边形可以得到许多相等线段.相等角所 以,要学会利用对比的方法正确区分平

18、行四边形的判定定理和性质定理,正确地运用相关的结论解决相关的问题平行四边形的探究型问题,关键为依据平行四边形的性质和判定,构造出平行四边形【例 10】如图,已知等边abc 的边长为 a, p 为 abc 内一点, pd ab, pe bc, pf ac,点 d ,e, f 分别在 ac ,ab, bc 上,摸索究pd pe pf 与 a 的关系精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 如图,作dg bc 交 ab 于点 g,由于 abc 为等边三角形,所以 a b c 60 °.所以 a agd adg 60 °.所以 gd ag.又可得 ep gd ,所以 ep ag, dp ge.同理可得 pf eb,所以 pd pe pf a.11 平行四边形的判定的探究题平行四边形为一类特别的四边形,并且它为学习矩形.菱形.正方形和梯形的基础在有关平行四边形判定的探究型问题中,要会判定一个四边形为平行四边形,运动型问题的关键为把运动的问题转化为静止的问题运动变化题,这类题的解