高等数学(下)期末考试试卷(A)

1、第 1 页 共 9 页高等数学 a-2 试题（a ）卷（闭）学年第 二 学期使用班级级学院班级学号姓名题号一二三四五六七八总分得分一、填空题（本题4 小题，每空3 分，满分12 分，把正确答案填在题后的横线上）1、交换积分次序_),(),(230310102xxdyyxfdxdyyxfdx。2、xyezsin，则_dz。3、设2222:rzyxs，则_2dsxs。4、设某二阶常系数齐次线性微分方程以xxececy321为通解，则该二阶常系数齐次线性微分方程为_。二、选择题（本题共3 小题，每小题3 分，满分9 分，每小题给出四个选项，把正确答案填在题后的括号内）1、设常数0k，则级数21) 1

2、(nnknn )(a绝对收敛；)(b条件收敛；)(c发散；)(d敛散性与k的取值有关。2、函数222222,0,0,0 xyxyxyfx yxy在原点)0 ,0(处 )(a连续，偏导数存在；)(b连续，但偏导数不存在；)(c不连续，但偏导数存在；)(d不连续，偏导数也不存在。3、设2222:rzyxv，则dvzyxv222为 32)(4ra；4)(rb；34)(4rc；42)(rd。三、计算（每小题6 分，共 30 分）第 2 页 共 9 页1、设)()(1yxygxyfxz，其中gf ,具有二阶连续的导数，求yxz2。2、计算ddxdyyyxi)2(22，其中d是由圆xyx222围成的平面区

3、域。3、求lxxdyyyedxxyye)cos()sin(，其中l为圆周22xaxy上从点)0,2( aa到点)0,0(o的一段弧。第 3 页 共 9 页4、求曲面3xyzez在点)0, 1 ,2(处的切平面及法线方程。5、求幂级数nnxnn121的收敛域与和函数。四、解答下列各题（本题共4 小题，每小题每题6 分，共 24 分）1、设函数),(yxzz由0),(xzyyzxf确定，求xz。第 4 页 共 9 页2、求函数2eyzx在点 p(1,0)处沿从点p(1,0)到点(2, 1)q的方向的方向导数。3、设)(xyy满足方程xeyyy223，且其图形在点)1,0(与曲线12xxy相切，求函

4、数)(xy。4、将函数) 11()(xxxf展开成以 2 为周期的傅立叶级数。第 5 页 共 9 页五、 （本题满分8 分）求函数221216zxyxy在区域2225xy上的最大值与最小值。六、 （本题满分9 分）已知曲线积分dyxydxxelx)()(2与路径无关，且0)0(。（1）求)(x；（2）计算dyxydxxex)()(2)1 ,1()0,0(的值。七、（本题满分8 分）计算2222)(zyxdxdyazaxdydz， 其中为下半球面222yxaz的下侧， a为大于零的常数。第 6 页 共 9 页高等数学（下）期末试卷（a）参考答案一、填空题：1、yydxyxfdy2310),(；

5、2、)(cossinxdyydxxyexy；3、344r； 4、032yyy。二、选择题：1、b； 2、c； 3、b三、计算：1、解：)()()(12yxgyxyfxyxyfxxz（3分）)()()(2yxgyyxgxyf yyxz。（ 3 分）2、解：根据对称性，dddyxdyyx)()2(2222，（ 2 分）作极坐标变换sincosryrx，则cos20,22r，（2 分）原式4204224cos203228cos8cos4idddrrd23221438。（2 分）3、解：添加直线段oal :1，则原式dyyyedxxyyexxlll)cos()sin)(11（4 分）222022aax

6、dxdxdyad。（2 分）4、 解：3),(xyzezyxfz , 则1,zzyxefxfyf，(2,1,0), ,11,2,0zny x e，（4 分）所以所求切平面为(2)2(1)0,240 xyxy即。（1 分）所求的法线方程为002112zyx。（1 分）5、解：因为,1|lim1nnnaa所以幂级数的收敛半径为1r，第 7 页 共 9 页又因为当1x时级数发散，所以该幂级数的收敛域为)1 , 1(-。（2 分）dxxdxxnxxnxnxnnxnnxnnnnnnnn011011111211)11(),1ln()1(11120 xxxxdxxxxxx。（4 分）四、解答下列各题：1、解

7、：设),(),(xzyyzxfzyxxfyfxzffzx11),(21221，（3 分）故212212xyffxyzfyfxxzzx。（3 分）2、解：2|,1, 1pqpq，（1 分）21,21sin,cosl，(2 分) 2eyzx，22 eyzxy，（2 分）11cossin22zzzzzlxyxy222111e2 e(12 )e222yyyxx函数2eyzx在点 p(1,0)处沿从点 p(1,0)到点(2,1)q的方向的方向导数为2(1,0)12(12 )e22yx（2 分）3、解：由条件知)(xyy满足1)0(, 1)0(yy。（1 分）由特征方程2, 1023212rrrr, 第

8、8 页 共 9 页对应齐次方程的通解xxececy221。（2 分）设特解为xaxey*，代入方程，得,2a，则特解为xxey2*从而得通解xxxxeececy2221, （2 分）代入初始条件得0, 121cc，则xexxy)21()(。（ 1 分）4、解：所给函数在 1 , 1上满足收敛定理条件，将其延拓成以2 为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在 1 ,1内收敛于函数本身。12100 xdxa，22101) 1(2cos2nxdxnxann，),2, 1(0 nbn。（4 分）) 11(cos1) 1(221)(122xxnnxfnn。（2 分）五、解：由016201

9、22yzxzyx，得驻点)8,6(，但该驻点不在区域2522yx内，所以最值只能在2522yx达到。（3 分）设)25(16122222yxyxyxf，由025021620212222yxyyfxxfyx，得)4, 3(),4, 3(),(yx，（3 分）代入目标函数，比较得最小值125,75)4, 3()4, 3(zz最大值。（2 分）六、解：由，xqyp得,)(2)(xexfxf第 9 页 共 9 页则,31)(222xxdxxdxececdxeeexf因为0)0(f，所以31c，则).(31)(2xxeexf（5 分）故10210)1 ,1()0,0()(310)()(2dyeedxdyxfydxxfex)(312ee. （4 分）七、解：取xoy为xoy面上的圆盘222ayx，方向取上侧，则dxdyazaxdydzazyxdxdya