高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2间接证明知识导航学案苏教版选

1、2.2.2 间接证明知识梳理1. 不是直接从命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法称为_（indirect proof)._就是一种常用的间接证明方法. 2. 反证法：一般地，假设原命题不成立. 经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误， 从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做_ （ reducation to absurdity). 3. 反证法的证明过程为“否定_ _”.4. 反证法的一般步骤：（1）反设 _. （2）归谬 _. （3）存真 _. 知识导学通过本节课的学习，认识反证法在证明问题中的重要作用，学会用反证法， 证明有关命题，并且要注意根据题目的类型，合理选择

2、运用证明问题的方法，学会寻找问题中的矛盾，正确推理 . 疑难突破1. 对反证法的理解：从假设结论不成立入手，推出与“已知条件、假设、 公理或显然成立的事实”等相矛盾的结果，从而判定假设错误，结论成立，这种方法叫做反证法. 反证法证题的特征：是通过导出矛盾、归结为谬误，而使命题得证. 反证法的原理是“否定之否定等于肯定”.反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确. 即证明命题的逆否命题成立否定结论： 对结论的反面要一一否定，不能遗漏； 否定一个反面之反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法，要注意用反证法解题，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在

3、假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾. 反证法适宜证明存在性、惟一性、 带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题 . 用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“”的反面为“”；“”的反面为“”；“”的反面为“”；“”的反面为“”；“”的反面为“”；“”的反面为“”或“”及“”.反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”. 其中：第一个否定是指“否定结论（假设） ”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.反证法不是去直接证明结论，而是先否

4、定结论，在否定结论的基础上运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性. 2. 应用反证法证明数学命题的一般步骤：（1）反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；（2）归谬：从反设和已知条件出发，应用正确的推理方法，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果 . （3）存真：由矛盾结果、断定反设不真，从而肯定原结论成立. 常见的主要矛盾有：与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾；与临时假设矛盾；与公认的事实或自相矛盾等. 典题精讲【例 1】 如图 2-2-4 所示， ab 、cd为圆的两条相交弦、且不全为直径. 求证： ab 、cd不能互相平分 . 思路分析： 要证 ab与

5、cd不能互相平分，从正面来证明难度很大，所以正难则反，采用反证法，假设ab与 cd相互平分，可以找出存在的矛盾. 图 2-2-4证明： 假设 ab 、 cd互相平分，连结ac、cb 、ad 、bd则 acbd 为平行四边形. 所以： acb= adb, cad= cbd.因为四边形acbd为圆内接四边形，所以 acb+ adb=180 ， cad+ cbd=180 .因此， acb=90 ， cad=90 .所以，对角线ab、cd均为直径，与已知矛盾. 因此， ab 、cd不能互相平分. 绿色通道： 反证法的关键是，在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾；或与假设矛盾；或与定义、

6、定理、公理、事实矛盾等. 反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“归谬法 （反证法） 是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明. 象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！”.黑色陷阱： 在利用反证法证明问题时，一定要分清命题的条件和结论，假设时要对结论进行否定 . 【变式训练】如图 2-2-5 所示，在 abc 中， abac ，ad为 bc边上的高线， am是 bc边上的中线，求证：点m不在线段cd上 . 图 2-2-5 证明（反证法）假设 m在线段 cd上，则 bd bm=cm dc,

7、且 ab2=bd2+ad2,ac2=ad2+cd2, 所以 ab2=bd2+ad2 bm2+ad2cd2+ad2=ac2, 即 ab2ac2,abac. 这与 ab ac矛盾，所以点m不在线段cd上. 【例 2】 若 a、b、c 均为实数，且a=x2-2y+2,b=y2-2x+3,c=z2-2x+6, 求证： a、b、c 中至少有一个大于0. 思路分析：命题以否定形式出现 （如不存在， 不相交等）， 并伴有“至少”， “不都”，“都不”， “没有”，“至多”等指示性语句，在直接方法很难证明时，可以采用反证法 . 证明： 假设 a、b、c 都不大于0，即 a0，b0，c0，则a+b+c0,而 a

8、+b+c=x2-2y+2+y2-2x+3+z2-2x+6=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3 -3 0，且 (x-1)2+(y-1)2+(z-1)20,a+b+c 0 这与 a+b+c0 矛盾，因此， a、b、c 中至少有一个大于0. 绿色通道： 在利用反证法证明时的实质是证明它的逆否命题成立，反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是a，或者非a，即在同一讨论过程中，a 和非 a有一个且仅有一个是对的，不能有第三种情形出现. 【变式训练】已知： a、b、c 是一组勾股数，即a2+b2=c2求证： a、b、c 不可能都是奇数. 证明： 假设 a、b、c 都是奇

9、数 . a、 b、c 是一组勾股数, a2+b2=c2a、 b、c 都是奇数 , a2、b2、c2也都是奇数 , a2+b2是偶数，这样式的左边是偶数，右边是奇数，产生矛盾. a、 b、c 不可能都是奇数. 【例3】 ( 2006年北京高考卷，理20) 在数列 an 中，若a1,a2是正整数，且an=an-1-an-2,n=3,4,5, , 则称 an为“绝对差数列”.（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（2）若“绝对差数列” an中， a20=3,a21=0. 数列 bn 满足 bn=an+an+1+an+2,n=1,2,3, 分别判断当 n时， an与 bn的极

10、限是否存在，如果存在，求出其极限值；（3）任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 思路分析： 本题以提出一个新概念的方式来考查数列的概念及极限的问题，背景新颖. 解： （1）a1=3,a2=1,a3=2,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=1 （答案不惟一） ；（2）解： 因为在绝对差数列an中， a20=3，a21=0，所以自第20 项开始，该数列是a20=3，a21=0,a22=3,a23=3,a24=0,a25=3,a26=3,a27=0, ，即自第20 项开始，每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当 n时， an的极值不存在 . 当 n20

11、 时， bn=an+an+1+an+2=6. 所以 limn bn=6. （1）证明： 根据定义，数列an必在有限项后出现零项，证明如下（用反证法）：假设 an 中没有零项，由于an=an-1-an-2, 所以对于任意的n 都有 an1, 从而当 an-1an-2时， an=an-1-an-2an-1- 1(n3);当 an-1an-2时， an=an-2-an-1an-2- 1(n3).即 an的值要么比an-1至少小 1，要么比an-2至少小 1. 令 cn=)()(212221212nnnnnnaaaaaa n=1,2,3, 则 0cncn-1-1(n=2,3,4, ) 由于 a 是确定

12、的正整数，这样减少下去，必然存在某项ck 0，这与cn0（n=1,2,3, )矛盾，从而 an 必有零项 . 若第一次出现的零项为第n 项，记 an-1=a(a0)，则自第n 项开始，每三个相邻的项同期地取值 0， a 、a，即aaaaaknknkn231330 k=0,1,2,3, 所以绝对数列 an中有无穷多个为零的项. 绿色通道： 在用反证法证题时，常用的主要矛盾为：与假设矛盾、 与数学公理、 定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾，与公认的事实相矛盾. 【变式训练】 (2004年太原模拟，20)已知： f(x)=x2+px+q (1) 求证： f(1)+f(3)-2f(2)=2; (

13、2) 求证： |f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明： （1）f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2. (2) 假设 |f(1)|、|f(2)|、 |f(3)|中至少有一个不小于21不成立，则假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于21, 则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2, 而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q) =2, 这与 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)| 2 相矛盾 . 因此假设不成立，从而原命题成立，即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21.问题探究问题：反证法与直接证法相比较，反证法具有哪些特点呢？探究：反证法与直接证法相比较，就会发现反证法具有如下特点：从推理论证的前提看，反证法增加了“反设”这个新的条件，下述情况常采用反证法. 在一门学科开始的阶段，对一些最基本的性质的证明，由于这些基本性质予以成立的条件简明扼要，同时可使用的定理甚少，所以直接证明很困难. 另外， 在题目中含有“至多”，或“至