高中数学第22课极坐标与参数方程(综合训练5)学案新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-

1、第 22 课极坐标与参数方程（综合训练5）一、学习要求1. 掌握极坐标与直角坐标互化公式，并能熟练地进行坐标互化；2. 能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化；并能把极坐标问题转化为直角坐标问题来解决。3. 掌握直线、圆、椭圆的参数方程及简单应用。能熟练地把它们的参数方程化为普通方程；4. 能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。二、问题探究合作探究例1 在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数） . （1）已知在极坐标系 （与直角坐标系取相同的长度单位且以原点为极点， 以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为，判断点与直线的位置关系；（2）设点是曲线上的

2、一个动点，求点到直线的距离的最小值。解：（ 1）点的极坐标化为直角坐标是；点的直角坐标是满足方程，点在直线上。（2）点在曲线上，设，点到直线的距离为：当时，取最小值，点到直线的距离的最小值是。三、问题过关1.设直线经过点，倾斜角为. （1）求直线的参数方程；（2）求直线和直线：的交点到的距离；（3）求直线和圆的两个交点，到点的距离的和与积；（4）求直线被圆截得的弦长。解：（ 1）由直线的参数方程，得直线的参数方程为：（为参数），即（为参数） . （2）把直线的参数方程中的，代入直线的方程，得，解得，直线和直线：的交点到的距离为：。（3）把直线的参数方程中的，代入圆方程，得，化简，得，则，两个交

3、点，到点的距离的和为，距离的积为。（4）由（ 3）知，直线被圆截得的弦长为：。2. 已知点是圆上的动点 . （1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。解：（ 1）把圆方程配方，得，圆心，半径，设圆的参数方程为（为参数） . 则，的取值范围是。（2），当时，恒成立，即恒成立，实数的取值范围。1【 10 新课标（文23）】（本小题满分10 分）已知直线1c：1cossinxtyt（t为参数），2c：cossinxy（为参数），（）当3时，求1c与2c的交点坐标；（）过坐标原点o做1c的垂线，垂足为a，p为oa中点，当变化时，求p点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。【解】（）当3时，

4、1c的普通方程为3(1)yx，2c的普通方程为221xy。由223(1)1yxxy，解得1110 xy，221232xy；1c与2c的交点为(1,0)，13(,)22。（）1c的普通方程为：sincossin0 xy。oa与直线1c垂直，可得oa的方程为cossin0 xy；由sincossin0cossin0 xyxy解得点a的坐标为：2(sin,sincos)a；p为oa中点，当变化时，p点的轨迹的参数方程为：21sin21sincos2xy（为参数）；p点的轨迹的普通方程为2211()416xy。p点轨迹是圆心坐标为1(,0)4，半径为14的圆。2【 11 新课标（文23）】 ( 本小题

5、满分10 分) 在直角坐标系xoy中，曲线1c的参数方程为2cos22sinxy（为参数）。m是1c上的动点，p点满足2opom，p点的轨迹为曲线2c。（）求2c的方程；（）在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与1c的异于极点的交点为a，与2c的异于极点的交点为b，求|ab。【解】（）设( , )p x y，则由条件知(,)2 2x ym。m点在1c上，2cos222sin2xy，即4cos44sinxy；2c的参数方程为：4cos44sinxy（为参数）。（）曲线1c的极坐标方程为4sin；曲线2c的极坐标方程为8sin。射线3与1c的异于极点的交点为a的极径为14sin2

6、33，射线3与2c的异于极点的交点为b的极径为28sin4 33。21| | 2 3ab。【另解】曲线1c的普通方程为22(2)4xy；曲线2c的普通方程为22(4)16xy；射线3的普通方程为3yx（0 x）。解方程组223(2)4yxxy，得射线3与1c的异于极点的交点为(3,3)a；解方程组223(4)16yxxy，得射线3与2c的异于极点的交点为(23,6)b。22|(2 33)(63)2 3ab。3【 12 新课标（文23）】( 本小题满分10 分) 已知曲线1c的参数方程是2cos3sinxy，（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2c的极坐标系方程是2，

7、正方形abcd的顶点都在2c上，且a，b，c，d依逆时针次序排列，点a的极坐标为(2,)3。（）求点a，b，c，d的直角坐标；（）设p为1c上任意一点，求2222|papbpcpd的取值范围。【解】（）点a的极坐标为(2,)3，且正方形abcd的顶点a，b，c，d依逆时针次序排列，点b，c，d的极坐标分别为：5(2,)6，4(2,)3，11(2,)6。点a，b，c，d的直角坐标分别为：(1, 3)，(3,1)，( 1,3)，(3,1)。（）设00(,)p xy。p点在曲线1c上，002cos3sinxy（为参数）。22222000000|(1)(3)22 34paxyxyxy，22222000

8、000|(3)(1)2 324pbxyxyxy22222000000|(1)(3)22 34pcxyxyxy22222000000|(3)(1)2 324pdxyxyxy2222|papbpcpd22004416xy220sin32，20sin1，23220sin3252，2222|papbpcpd的取值范围是32,52。4【 13 新课标（文23）】 （本小题10 分）已知曲线1c的参数方程为45cos55sinxtyt (t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2c的极坐标方程为2sin。（）把1c的参数方程化为极坐标方程；（）求1c与2c交点的极坐标（0，02）

9、。【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题。【解】（）将曲线1c的参数方程45cos55sinxtyt (t为参数）消去参数t，得曲线1c的普通方程为22810160 xyxy；cossinxy，22(cos )(sin)8cos10sin160即28cos10sin160，1c的极坐标方程为：28cos10sin160。（）将2c的极坐标方程为2sin化为普通方程得：2220 xyy；由222281016020 xyxyxyy，解得11xy或02xy；1c与2c交点的极坐标(2,)4，(2,)2。5【13 新

10、课标（文23）】（本小题满分10 分）已知动点p，q都在曲线c：2cos2sinxtyt（t为参数）上，对应参数分别为t与2t（02），m为pq的中点。（）求m的轨迹的参数方程；（）将m到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断m的轨迹是否过坐标原点。【解】（）依题意有(2cos,2sin)p，(2cos 2 ,2sin 2 )q，(coscos2 ,sinsin2 )m，m的轨迹的参数方程为：coscos2sinsin2xy（为参数，02）。（）m到坐标原点的距离：2222cosdxy，当时，0d，m的轨迹过坐标原点。6【 14 新课标（文 23） 】（ 本小题满分10 分） 已知曲线c：221

11、49xy， 直线l：222xtyt(t为参数）。（）写出曲线c的参数方程，直线l的普通方程；（）过曲线c上任一点p作与l夹角为030的直线，交l于点a，求|pa的最大值与最小值。【解】（）曲线c的参数方程为：2cos3sinxy(为参数），直线l的普通方程为：260 xy。（）在曲线c上任意取一点(2cos,3sin)p到l的距离为：5| 4cos3sin6|5d，02 5| sin()6 |sin305dpa，其中为锐角，且4tan3。当sin()1时，|pa取得最大值，最大值为22 55；当sin()1时，|pa取得最小值，最小值为2 55。7【 14 新课标（文23）】 在直角坐标系xo

12、y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆c的极坐标方程2cos，0,2。（）求c的参数方程；（）设点d在c上，c在d处的切线与直线l：32yx垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定d的坐标。【解】（）半圆c的极坐标方程为：2cos，0,2，半圆c的直角坐标方程为：22(1)1xy（0, 2x，0,1y）。令1cos 1,1x，siny，0,，半圆c的参数方程为：1cossinxy（0,）。（）曲线c在d处的切线与直线l：32yx垂直，直线cd和直线l平行，直线cd和直线l斜率相等；设点d的坐标为(1cos,sin)，(1,0)c，sin03(1cos)1，解得tan3，0,，

13、3。点d的坐标为33(,)22。8 【 15 新 课 标 （ 文23） 】 在 直 角 坐 标 系xoy中 ， 直 线1c：2x， 圆2c：22(1)(2)1xy，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。（）求1c，2c的极坐标方程。（）若直线3c的极坐标方程为4（r），设2c，3c的交点为m，n，求2c mn的面积。【解】（）cosx，siny，1c的极坐标方程为：cos2；2c的极坐标方程为：22cos4sin40。（）由242cos4sin40，解得12 2，22，12|2mn，圆2c的半径为1，2c mn的面积为：20112 1 sin4522c mns。9 【15 新课标 （文 23）】 在直角坐标系xoy中, 曲线1c：cossinxtyt(t为参数， 且0t） ，其中0， 在以o为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线2c：2sin，3c：2 3 cos。（）求2c与3c交点的直角坐标；（）若1c与2c相交于点a, 1c与3c相交于点b，求|ab最大值。【解】（）曲线2c的直角