高中数学第1章常用逻辑用语1.3.2含有一个量词的命题的否定学案苏教版选修1-1-苏教版高

1、1.3.2 含有一个量词的命题的否定学习目标1. 理解含有一个量词的命题的否定的意义.2. 会对含有一个量词的命题进行否定.3. 掌握全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题. 知识点一全称命题与存在性命题的否定思考 1 写出下列命题的否定：所有的矩形都是平行四边形；有些平行四边形是菱形. 答案并非所有的矩形都是平行四边形. 每一个平行四边形都不是菱形. 思考 2 对的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？答案不能 . 思考 3 对的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？答案不能 . 梳理(1) 命题命题的表述全称命题p ?xm，p(x) 全称命题的否定綈p ?xm，綈p(x

2、) 存在性命题p ?xm，p(x) 存在性命题的否定綈p ?xm，綈p(x) (2) 常见的命题的否定形式原语句是都是至少有一个至多有一个对任意xa使p(x) 为真否定形式不是不都是一个也没有至少有两个存在xa使p(x) 为假知识点二含有一个量词的命题p的否定真假性判断对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路：一是直接判断綈p的真假，二是用p与綈p的真假性相反来判断. 1. 命题綈p的否定是p.( ) 2. ?xm，p(x)与?xm，綈p(x) 的真假性相反 .( ) 3. 从存在性命题的否定看，是对“量词”和“p(x) ”同时否定 .( ) 类型一全称命题的否定例 1 写出下

3、列命题的否定，并判断其真假：(1)p：任意nz，则nq ；(2)p：等圆的面积相等，周长相等；(3)p：偶数的平方是正数. 考点全称命题的否定题点含有全称量词的命题的否定解(1) 綈p：存在nz，使n?q ，这是假命题 . (2) 綈p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题. (3) 綈p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题. 反思与感悟(1) 写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定. (2) 有些全称命题省略了量词，在这种情况下， 千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”.全称命题的否定的真假性与全称命题相

4、反. 跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：(1)p：所有能被3 整除的整数都是奇数；(2)p：对任意xz，x2的个位数字都不等于3；(3)p：在数列 1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(4)p：可以被5 整除的整数，末位是0. 考点全称命题的否定题点含有全称量词的命题的否定解(1) 綈p：存在一个能被3 整除的整数不是奇数. (2) 綈p：?xz，x2的个位数字等于3. (3) 綈p：在数列 1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数. (4) 綈p：存在被5 整除的整数，末位不是0. 类型二存在性命题的否定例 2 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假：(1) 有些实数的绝对值是正数；

5、(2) 某些平行四边形是菱形；(3) ?x r，x210；(4) ?x，yz，使得2xy3. 考点存在性命题的否定题点含一个量词的命题真假判断解(1) 命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数” . 命题的否定是假命题. (2) 命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”. 由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题. (3) 命题的否定是“不存在xr，使x210，因此命题的否定是真命题. (4) 命题的否定是“?x，yz，2xy3”.当x0，y 3时，2xy3，因此命题的否定是假命题. 引申探究若本例 (2) 改为“某

6、些平行四边形是正方形”，写出该命题的否定并判断真假. 解命题的否定是“没有一个平行四边形是正方形”，即“每一个平行四边形都不是正方形”，假命题. 反思与感悟(1) 对存在性命题否定的两个步骤改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词. 否定性质：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等. (2) 存在性命题否定后的真假判断存在性命题的否定是全称命题，其真假性与存在性命题相反；要说明一个存在性命题是真命题，只需要找到一个实例即可. 跟踪训练2 写出下列存在性命题的否定：(1)p：?xr，x22x20；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：存在一元二次方程无实数根. 考点存在性命题的

7、否定题点含存在量词的命题的否定解(1) 綈p：?xr，x22x20. (2) 綈p：所有的三角形都不是等边三角形. (3) 綈p：所有一元二次方程都有实数根. 类型三含量词命题的否定的应用例 3 对于任意实数x，不等式sinxcosxm恒成立 . 求实数m的取值范围 . 考点全称量词、存在性量词的否定题点由含量词的命题的真假求参数的范围解令ysinxcosx，xr，ysinxcosx2sinx42，又 ?xr，sinxcosxm恒成立，只要mm有解”，求实数m的取值范围 . 考点存在性命题的否定题点由含量词的命题的真假求参数的范围解令ysinxcosx，xr，ysinxcosx2sinx4 2

8、，2. 又 ?xr，sinxcosxm有解，只要m0”是真命题， 可得(a1)242120， 1a2n，则綈p为_. 考点存在性命题的否定题点含存在量词的命题的否定答案?nn，n22n解析将命题p的量词“ ? ”改为“ ? ”，“n22n”改为“n22n”.2. 命题“任意xr，若y0，则x2y0”的否定是 _. 考点全称命题的否定题点含有全称量词命题的否定答案存在xr，若y0，则x2y0解析已知命题是一个全称命题，其否定为存在性命题，先将“任意”换成“存在”，再否定结论，即命题的否定是“存在xr，若y0，则x2y0”.3. 下列命题的否定为真命题的是_.( 填序号 ) ?xr，x2x1x；?

9、x，yz,2x5y12；?xr，sin2x sinx10. 考点全称量词、存在性量词的否定题点含一个量词的命题真假判断答案解析命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有为真命题，其余均为假命题，故否定为真命题的是.4. 若?r，使 sinx1；?x( ， 0) ，2xcosx. 考点全称量词，存在性量词的否定题点含一个量词的命题真假判断答案解析sinxcosx2sinx420，即 exx 1，故正确；当x0时，y 2x的图象在y 3x的图象上方，故错误；当x 0，4时， sinx0 成立”为真，则参数a的取值范围为_. 考点存在性命题的否定题点由含量词的命题的真假求参数的范围答案( 3，)解析

10、由已知得綈p：?x1,2 ，x22ax2a0成立 . 设f(x) x22ax2a，则f1 0，f2 0，12a2a0，44a2a0，解得a 3，綈p为假，a3，即a的取值范围是( 3， ).7. 已知命题p：?xr，x2x140，函数f(x) (lnx)2 lnxa有零点；?，r，cos() cossin；? r，函数f(x) sin(2x) 都不是偶函数. 考点全称量词，存在性量词的否定题点含一个量词的命题真假判断答案解析f(x) 是幂函数，m 11，m2，f(x)x1，f(x)在 (0 ， ) 上单调递减，故为真命题；y(lnx)2lnx lnx12214的值域为14，?a0，方程 (ln

11、x)2lnxa0 有解，即f(x) 有零点，故为真命题；当0 时， cos() cossin成立，故为真命题；当2时，f(x) sin(2x) cos2x为偶函数，故为假命题. 9. 已知命题p：“a1”是“ ?x0，xax2”的充要条件，命题q：?xr，x2x10，则下列结论中正确的是_. 命题“pq”是真命题；命题“p( 綈q) ”是真命题；命题“綈pq”是真命题；命题“ ( 綈p) ( 綈q) ”是假命题 . 考点全称量词，存在性量词的否定题点含一个量词的命题真假判断答案解析因为a1 可以推出xaxx1x2x1x2，显然当a2 时也能推出“ ?x0，xax2”成立，所以“a1”是“ ?x

12、0，xax2”的充分不必要条件，故p是假命题 .而q是真命题，故正确. 10. 已知f(x) ln(x2 1)，g(x) 12xm， 若对 ?x10,3 ，?x21,2 ，使得f(x1) g(x2)成立，则实数m的取值范围为_. 考点全称量词、存在性量词的否定题点由含量词的命题的真假求参数的范围答案14，解析当x0,3 时，f(x)minf(0) 0，当x1,2 时，g(x)ming(2) 14m，由f(x)ming(x)min，得 014m，所以m14. 二、解答题11. 命题p是“对某些实数x，有xa0 或xb0”，其中a，b是常数 . (1) 写出命题p的否定；(2) 当a，b满足什么条

13、件时，命题p的否定为真？考点存在性命题的否定题点含一个量词的命题真假判断解(1) 命题p的否定：对任意实数x，有xa0且xb0. (2) 要使命题p的否定为真，需要使不等式组xa0，xb0的解集不为空集，通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是ba. 12. 若“ ?x0，2，sinx3cosxm”为假命题，求实数m的取值范围 . 考点存在性命题的否定题点由含量词的命题的真假求参数的范围解令f(x) sinx3cosx2sinx3，x 0，2. 可知f(x) 在 0，6上为增函数，在6，2上为减函数 . 由于f(0) 3，f 21，f 62，所以 1f(x) 2.由于“ ?x 0，2，sinx3

14、cosxm”为假命题，则其否定“ ?x 0，2， sinx3cosxm”为真命题，所以mf(x)min1，即m1.所以m的取值范围是( ， 1. 13. 已知命题p：对任意m 1,1 ，不等式a25a3m28恒成立；命题q：不等式x2ax20 有解，若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围 . 考点全称量词，存在性量词的否定题点由含量词的命题的真假求参数的范围解m 1,1 ，m2822，3. 对任意m 1,1 ，不等式a25a3m28恒成立，可得a25a33，a6或a 1. 故当命题p为真命题时，a6 或a 1. 又命题q：不等式x2ax20，a22或a0对 ?a 1,1 恒 成 立 等 价 于f1 0，f1 0，即x25x60，x23x20，解得x3，即实数x的取值范围是(， 1)(3， ).15.f(x) 是定义在 2,2 上的奇函数，当x(0,2 时，f(x) 2x 1，函数g(x) x2 2xm. 如果 ?x1 2,2 ， ?x2 2,2 ，使得g(x2) f(x1) ，则实数m的取值范围为 _. 考点全称量词、存在性量词题点由含量词的命题的