2022年初中数学竞赛辅导资料最大最小值

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载中学数学竞赛专题选讲初三 .20最大 最小值一.内容提要1. 求二次函数y=ax2 +bx+ca 0,的最大.最小值常用两种方法：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载配方法：原函数可化为y=ax+b 2+2a4 acb 2.4a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在实数范畴内x+b 2 0,2ab4acb 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 a>0 时,当 x= 2a时,y 最小值 =；4a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - -

2、欢迎下载如 a<0 时,当 x= b2a时,y 最大值 =24acb.4a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax2+bx+c y=0. x 在全体实数取值时, 0即 b2 4ac y 0,4ay 4ac b2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 a>0, y24acb4a,这时取等号,就y 为最小值24acb；4a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 a<0, y24acb4a,这时取等号,就y 为最大值24acb.4a精品学习资料精选学习资料 - -

3、- 欢迎下载有时自变量x 定在某个区间内取值,求最大.最小值时,要用到临界点,一般用配方法便利 .2. 用上述两种方法,可推出如下两个定理：定理一： 两个正数的和为定值时,当两数相等时, 其积最大 .最大值为定值平方的四分之一 .例如：两正数x 和 y,假如 x+y=10、那么 xy 的积有最大值,最大值为25.定理二： 两个正数的积为定值时,当两数相等时, 其和最小 .最小值为定值的算术平方根的 2 倍.例如：两正数x 和 y,假如 xy=16、那么x+y有最小值,最小值为8.证明定理一,可用配方法,也叫构造函数法.设 a>0、b>0、a+b=k .k 为定值 .那么 ab=ak

4、 a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载= a2+ka= a1 k 2+ k.224精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a= k2时, ab 有最大值k.24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明定理二,用判别式法,也叫构造方程法.设 a>0、b>0、ab=k k 为定值 ,再设y=a+b.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载那么 y=a+、a2 ya+k=0. （这为关于a 的二次议程方程）ka精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a 为正实数, 0.即 y 2 4k 0,y2

5、4k 0. y 2k 不合题意舍去；y 2k . y 最 小 值 =2k .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解方程组ab2 abk.k, 得 a=b=k .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a=b=k 时, a+b 有最小值2k .3. 在几何中,求最大.最小值仍有以下定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形,其他两边的和有最大值.当这两边相等时,其和的值最大.定理四： 一条边和这边上的高都有定值的三角形,其他两边的和有最小值.当这两边相等时,其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形,边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二.例题例 1

6、.已知： 3x2+2y 2=6x、x 和 y 都为实数,求： x2+y 2 的最大.最小值.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=解：由已知y 26 x2y3x、 y 为实数, 2 0.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 6 x3 x22 0,6x 3x2 0, x2 2x 0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得0 x 2.这为在区间内求最大.最小值,一般用配方法,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2+y 2=x 2+ 6x3x 22= 1 x 32+ 922精品学习资料精选学习资料 - -

7、- 欢迎下载在区间 0 x 2 中,当 x=2 时, x 2+y 2 有最大值4.当 x=0 时, x2+y 2=0 为最小值.例 2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长.面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长,宽分别为a、b 其周长.面积的数值为k.那么 2a+b=ab=k.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab即abk.1 k,2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 a 和 b 为方程x1kx+k=0的两个实数根 .2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a、b 都为正实数,0.精

8、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即k2 4k 0.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得 k 16；或 k 0 .k 0 不合题意舍去.当 k 16 取等号时, a+b、ab 的值最小,最小值为16.即这个矩形周长.面积的最小值为16.例 3.如图 abc 的边 bc=a、 高 ad=h、要剪下一个矩形 efgh ,问 eh 取多少长时,矩形的面积最大？最大面积为多少？解：用构造函数法ay设 eh=x、s 矩形=y、就 gh=.x ahg abc ,hhgyxhxbc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x.aheadf精品学习资料精选学习资料 - - -

9、欢迎下载y=ax hxa xh 2ah .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载hh24hah精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x=时, y 最大值 =.24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即当 eh=hah时,矩形面积的最大值为.24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4.如图已知：直线m n, a , b ,c 都为定点, ab=a、ac=b、点 p 在 ac 上, bpnaabx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的延长线交直线m 于 d.问：点 p 在什么位置时,s pab +spcd 最小？解：设 bac= ,pa=x、就

10、 pc=b x.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 m n,abcd pc .abpax精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 cd=x11abx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s pab+s pcd =21=2axsin+22asin xbx2bx xb x sin x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 b 2=asin 2x+2 x2b .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b 2 2x×x=2b 2 定值 ,依据定理二, 2x

11、+ b2x有最小值 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 当 2x = bx, x= 122b 时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载spab +s pcd 的最小值为2 1absin .例 5.已知： rt abc 中 、 内切圆 o 的半径r=1.求： s abc 的最小值 .b1解： s abc =ab ab 2s.2a 2r=a+b c、 c=a+b 2r.22ccor=1ba精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a+b 2r=ab.精品学习资料精选学习资料

12、- - - 欢迎下载两边平方,得a2+b 2+4r 2+2ab4a+br= a 2+b2.4r2+2ab 4a+br=0.用 r=1、ab=2s 代入,得 4+4s 4a+b =0.a+b=s +1. ab=2s 且 a+b=s +1. a、b 为方程 x 2s +1x+2s =0 的两个根 . a、b 为正实数, 0,即 s+1 2 4× 2s 0,s 2 6s +10 .解得s 3+22 或 s 322 .s 322 不合题意舍去 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 sabc 的最小值为3+22 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 6.已知： .如图

13、 abc 中, ab=62 , c=30.求： a+b 的最大值 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：设a+b=y 、 就 b=y a.依据余弦定理,得62 2=a2+y a2 2ayacos30精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载写成关于a 的二次方程：2+3 a 为实数, 0.2 2+3 ya+y 2 8+43 =0.ac精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即2+3 2 y2 42+3 y 2 8+43 0,y2 8+43 2 0 . 8+43 y 8+43 . a+b 的最大值为8+43 .又解：依据定理三

14、ab 和 c 都有定值 .当 a=b 时, a+b 的值最大 .30baacbca30精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由余弦定理, 62 2=a2 b2 2abcos30b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载可求出a=b=4+23 .acb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三.练习1.x1、x2、x3、x4、x5 满意 . x1+x2 +x 3+x 4+x 5=. x 1x2x3x4x5,那么 . x5 的最大值为.1988 年全国中学数学联赛题2. 如矩形周长为定值20cm、那么当长和宽分别为 , 时,其面积最

15、大,最大面积为 .3. 面积为 100cm2 的矩形周长的最大值为.4. a、b 均为正数且a+b=ab、那么a+b 的最小值为 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 如 x>0、就 x+9 的最小值为 .x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abcd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6 如图直线上有a .b .c.d 四个点 .那么到 a ,b , c, d 距离之和为最小值的点,位于,其和的最小值等于定线段.1987 年全国中学数学联赛题7.如右图 abc 中, ab=2 , ac=3 ,为以 ab , bc, ca 为边的正方形,就阴影部份的面

16、积b的和的最大值为.1988 年全国中学数学联赛题ca8.以下四个数中最大的为（ a ）tan48+cot48.bsin48+cos48.c tan48+cos48. dcot48+sin48.1988 年全国中学数学联赛题9.已知抛物线y= x 2+2x+8 与横轴交于b ,c 两点, 点 d 平分 bc,如在横轴上侧的点a为抛物线上的动点,且bac 为锐角,就ad 的取值范畴为 1986 年全国中学数学联赛题c10. 如图 abc 中, c=rt , ca=cb=1 ,点 p 在 ab 上,qpqbc 于 q.问当 p 在 ab 上什么位置时,s apq 最大？11. abc 中, ab=

17、ac=a ,以 bc 为边向外作等边三角形 bdc ,问当 bac 取什么度数时ad 最长？apb12. 已知 x 2+2y 2=1、x、y 都为实数,求2x+5y 2 的最大值.最小值.13. abc 中 b= 60 , ac=1 ,求 ba+bc的最大值及这时三角形的外形.14. 直角三角形的面积有定值k、 求它的内切圆半径的最大值.15. d, e, f 分别在 abc 的边 bc. ac .ab 上,如 bd dc=ce ea=af fa=k 1 k 0<k<1.问 k 取何值时, sdef 的值最小？16. abc 中,bc=2 ,高 ad=1 ,点 p,e,f 分别在边

18、bc,ac ,ab 上, 且四边形 peaf为平行四边形.问点 p 在 bc 的什么位置时,speaf 的值最大？练习题参考答案精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 5.2. 5, 5 25.3.40cm 4. 45. 66. bc 上, bc+ad.7. 最大值为9, s = 8.a.9. 3<ad 91 × 3× 2× sinbac、 bac=90 度时值最大 .2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10. p 在 ab 中点时, s最大值 =1 ,s = x2x822精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 与2 x 的和有定值,当 x=2 x 时, s值最大 .11. 当 bac=120度时, ad 最大,在 abd 中,设 bad= 由正弦定理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ada2a ,当 150 =90时,ad 最大 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin 18030sin30精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12. 当