高中数学3.3复数的几何意义学案苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学学案

1、33 复数的几何意义一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议复数的几何意义了解回顾向量的有关知识，了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数复数代数形式的加、减运算的几何意义了解了解复数代数形式的加、减运算的几何意义，增强数形结合的意识二、预习指导1预习目标(1) 了解复数的几何意义；(2) 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义2预习提纲(1) 我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做_ ，x 轴叫做 _，y 轴叫做_(2) 有序实数对 (a，b) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的，我们可以用直角坐标系中的点_来表示复数z=abi(3) 复数z=abi也可以用向量 _来表示(

2、4) 你能画出复数z=abi、复平面内的点( , )z a b和平面向量oz之间的关系图吗? (5)z，z与|z| 之间有什么关系? (6) 复数加法的几何意义_ ；复数减法的几何意义_ (7) 阅读课本第112 页至第 114 页内容，并完成课后练习(8) 结合课本第113 页的例 1，学习复数的几何意义，学会用点和向量表示复数；结合课本第 113 页的例 2，学习如何求复数的模，体会复数的模是实数，它们可以比较大小；结合课本第 113 页的例 3，感悟复数的模的几何意义，体会数形结合的思想方法3典型例题(1) 复数的几何形式实数与数轴上的点是一一对应的，因此实数可以用数轴上的点来表示确定一

3、个复数zabi需要确定它的实部a和虚部b，即一个复数对应着一个有序数对( , )a b，而有序数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，因此，可以用直角坐标系中的点( , )z a b来表示复数zabi例 1 复数222log (33)log (3)zxxix，设z在复平面内对应的点为z(1) 若点z在第三象限，求x的取值范围；(2) 若点z在直线x2y1=0 上，求x的值解： 由题意，222log (33),log (3)zxxx(1) 若点z在第三象限，则222log (33)0,log (3)0,xxx所以20331,031,xxx解得32142x(2) 由题意，222log (33)2l

4、og(3)10 xxx，所以2222log2(33)log (3)xxx，所以2222(33)(3) ,33030 xxxxxx解得15x(2) 复数代数形式的加、减运算的几何意义由复数的几何意义知，一个复数与平面内的一个向量相对应，于是就可以得到复数加法的几何意义： 向量的加法法则也即平行四边形法则对于复数减法的几何意义可通过加法来实现例 2已知复数12312 ,2,12zi zi zi，它们在复平面上的对应点分别为a、b、c，且a、b、c是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点d对应的复数z分析： (1) 利用adbc或者abdc，求d点对应的复数(2) 利用正方形的两条对角线交点

5、是其对称中心求解解： 法 1设( ,)zxyi x yr，则( , )(1,2)(1,2)adodoax yxy又( 1, 2)( 2, )(1, 3)bcocobi，且adbc，所以11,2,23,1.xxyy解得：故第四个顶点d对应的复数2zi解： 法 2设( ,)zxyi x yr，则点a与点c关于原点对称，原点o是正方形的中心o也是b、d连线的中点，于是有2ixyi=0 x=2，y=1故第四个顶点d对应的复数2zi点评： 解题时要善于发现问题中可能被利用的条件，寻找最佳的解题方法本题解法 2 正是利用正方形是中心对称图形这一特点，寻得最佳解题思路(3) 复数模的几何意义复数zabi的模

6、为22ab，记作|z或|abi，它表示复平面上复数z对应的点z到原点的距离( 如图 ) ，这就是复数模的几何意义说明：复数的模是非负实数，可以比较大小，但是，两个复数，只要其中有一个不是实数，它们就不能比较大小；如果0b，那么zabi就是实数a，它的模等于|a( 即实数a的绝对值 )；两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离例 3 设( ,)zabi a br，求在复平面上满足下列条件的点的集合所组成的图形分别是什么 ? (1)21zb且；(2)123zi分析：根据复数模的几何意义，可以把复平面内的某些图形用适合某些条件的复数方程或不等式表示，反之，某些简单的复数方程或不等式

7、也对应复平面上的某些图形解： (1) 不等式2z的解在复平面中对应点的集合是以原点为圆心，以2 为半径的圆的内部及其边界满足条件1b的点的集合是直线1y以上及1y以下的点组成的图形两者的公共部分即为所求，即以原点为圆心，2 为半径的圆被直线1y所截得的两个弓形，但不包括边界上的点；(2) 方程123zi的解在复平面中对应点的集合是(1, 2)为圆心，以 3 为半径的圆周点评： 解这类问题，要认真分析题设条件，正确理解复数的几何意义、复数的模、复数的实部与虚部等概念，结合解析几何中曲线的方程及一些函数性质，寻找解决问题的突破口例 4 集合|1| 1,mzzzc，|1| |2|,nzzizzc，p

8、mn(1) 指出集合p在复平面内的对应点表示的图形；(2) 求集合p中复数模的最小值解：(1) 由|1| 1z可知， 集合m在复平面中的对应点表示以点(1,0)e为圆心， 1 为半径的圆的内部及边界；由|1| |2|ziz可知，集合 n在复平面内的对应点表示以(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l因此，集合p是圆e截直线l所得的一条线段ab( 如图 ) ；(2) 过点o向l引垂线，垂足在线段ab上，由 (1) 知，l的方程为1yx，则o到l的距离为22，因此集合p中复数模的最小值为22点评： 利用复数模的几何意义，可以将抽象的代数式转化为具体的图形，便于问题的解决4自我检测(1) 复

9、数z=m23 (2 m2)i对应点在第三象限，则实数m的取值范围是 _(2) 在复平面内，复数sin2cos2zi对应的点位于第_象限(3) 在复平面内，复数111izi所对应的点在第_象限(4) 在复平面内，复数1ii(1 3i)2对应的点位于第_象限(5) 设z=1i，则|1|zz= 三、课后巩固练习a组1已知复数|,)1(,)31(214221zziziz与则的大小关系是2复平面内的平行四边形abcd中，a、b、c三点对应复数分别为2i，43i，35i，那么点d对应的复数为 _，对角线bd对应的复数是_3已知平行四边形的三个顶点分别对应复数2i、44i、26i，求第四个顶点对应的复数4已

10、知z是复数，iziz22 、均为实数 (i为虚数单位 ) ，且复数2)(iaz在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围5. 复数 z=22ii在复平面内对应的点所在象限为_ b组6 已知在复平面内， 向量oa的复数为1i， 把oa向右平移一个单位得向量ao， 则ao对应复数为 _，点a对应复数为 _7已知复数2(3)zi, 则|z|=_. 8已知02a，复数z的实部为a，虚部为1，则z的取值范围是 _9若 |z1|=5 ，z2=34i，且z1z2为纯虚数，则复数z1= _ 10若复数z满足|2(zii为虚数单位), 则z在复平面内所对应的图形的面积为_. 11若 |z|=1 ，则 |

11、z2| 的取值范围是12复数z满足 2|z|=3|z5| ，则复数对应点z的轨迹方程为_13若复数z满足 |z1|=|z2|=|zi| ，则z=_14若 |zi| |zi|=2 ，|1| |1|uzizi，则u的最大值为 _，最小值为_15已知关于x的方程x2zx43i=0 有实数根，求复数z的模的最小值16已知复数z 满足 |z| 1| |z| 1=0，且|z|23|z| 40，求复数z对应点构成的图形的面积17若复数z满足35zi，求2z的最大值和最小值18设|2 |2zczi且，当z取何值时，|24 |zi分别取得最大值和最小值?并求出最大值与最小值19若11zi，求34zi的最大值和最

12、小值c组20若复数z满足1z，求复数234zi对应点的轨迹方程21若复数z的实部为1，12z，求：(1)z的对应点的轨迹；(2)2z的对应点的轨迹；(3) 若1u，求zu的对应点所在区域的面积知识点题号注意点复数的几何意义15 注意用复平面内的点和向量来表示复数复数代数形式的加、减运算的几何意义617 注意复数代数形式的加、减运算的几何意义，增强数形结合的意识综合问题1821 灵活运用几何意义，注意数形结合四、学习心得五、拓展视野已知关于x的方程： 2x23axa2a=0 至少有一个模为1 的根，求实数a的值分析： 首先得明确根的特性，即是实数根还是虚数根；其次若是虚数根，则可有韦达定理来确定

13、实数a的值解： 如果r，则=(3a)28(a2a) 0，a0或者a 8又r，=1 或 1当=1 时，代入得：a22a2=0 不可能当= 1 时，代入得：a24a2=0a=26(26不适合，舍去 ) 如果是虚数，并且|=1 ，则也是此方程的根，于是：=22aa但是=|2=1，22aa=1，解得：a=2 或者a=1 所以，所求的a=26，或者 2 或者 1点评： 由于实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，故是虚数根，则可借助于韦达定理求出实数a的值，也可以求出方程的根再利用条件得出实数a的值3.3 复数的几何意义（1）(3,2)(2,3)（2）四（3）二（4）二（5）1021= 21+3i，7 1

14、1i 36 或 2-8i或-2+12i（提示：分情况讨论）4解：设r)yxyixz、(，iyxiz)2(2，由题意得2y. 2111(2 )(2)(22)(4)22555zxixiixxiii由题意得4x. iz24. 2)(aiziaaa)2(8)412(2，21240,8(2)0,aaa(2,6)a5第四象限 6 1+i；2+i 7.2(3)zi=29686iii,228610z8(15)， 9 (4+3i) 10. 2 111,3 12(x-9)2+y2=36 133322i 14 5；1 15解：设x 是方程的实数根，当x=0 时，方程不成立，当x0 时，243xizx，2222243

15、25|()()818xzxxxx，当且仅当x2=5，即5x时取等号. 所以min|3 2z16 15（提示：图形是圆环） 17最大值为513，最小值为51318如图，|2 |2zi在复平面内表示以(0, 2)为圆心，2为半径的圆 .|24 | |( 24 ) |zizi，欲求其最大值和最小值，即在圆上求出点m 、n，使得 m或 n 到定点( 2,4)p的距离最大或最小. 显然过 p与圆心的直线交圆与m 、 n， m 、 n即为所求 . 不难求得(1,1)m，( 1,3)n， 即当1zi时，|24 |zi有最大值3 2；当13zi时，|24 |zi有最小值2. 19解法1：由条件( 1)1zi，

16、知复数z的对应点a在以（ -1 ，1）为圆心， 1 为半径的圆上运动，而34(34 )zizi，它表示点a和点b（3，-4 ）的距离 . 如图，显然，bcabbd，34zi的最大值和最小值分别是411和411解法 2：设34zi34 ,145 ,zizii又11zi，451i可知对应的点的轨迹是以a （-4 ，5）为圆心，半径为1 的圆 . 如图，所以maxmin411,41 120解法 1：令,234,(, , ,)zabizixyia b x yr则2342()34(23)(24)ziabiiabi2324axby即(3)2(4)2xayb2211zab，即22(3)(4)122xy22(3)(4)4xy解法 2：设234zi，则234zi，又1z，故有22z，(34 )2i，对应点的轨迹是以(3, 4)为圆心， 2 为半径的圆，即22(3)(4)4xy21解：（1）令1zbi，br，12z2112b即：11b故z