2022年湖南省岳阳市大明中学高三数学文期末试卷含解析

1、2022年湖南省岳阳市大明中学高三数学文期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （多选题）关于函数，下列判断正确的是（    ）a. 是f(x)的极大值点b. 函数有且只有1个零点c. 存在正实数k，使得成立d. 对任意两个正实数，且，若，则.参考答案：bd【分析】a.求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断b.求函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调性和零点个数进行判断即可c.利用参数分离法，构造函数g（x），求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可d.令g（t）f（

2、2+t）f（2t），求函数的导数，研究函数的单调性进行证明即可【详解】a.函数的 的定义域为（0，+），函数的导数f（x），（0，2）上，f（x）0，函数单调递减，（2，+）上，f（x）0，函数单调递增，x2是f（x）的极小值点，即a错误；b.yf（x）xlnxx，y10，函数在（0，+）上单调递减，且f（1）1ln11=1>0，f（2）2ln22= ln21<0，函数yf（x）x有且只有1个零点，即b正确；c.若f（x）kx，可得k，令g（x），则g（x），令h（x）4+xxlnx，则h（x）lnx，在x（0，1）上，函数h（x）单调递增，x（1，+）上函数h（x）单调递减，h（

3、x）h（1）0，g（x）0，g（x）在（0，+）上函数单调递减，函数无最小值，不存在正实数k，使得f（x）kx恒成立，即c不正确；d.令t（0，2），则2t（0，2），2+t2，令g（t）f（2+t）f（2t）ln（2+t）ln（2t）ln， 则g（t）0，g（t）在（0，2）上单调递减，则g（t）g（0）0，令x12t，由f（x1）f（x2），得x22+t，则x1+x22t+2+t4，当x24时，x1+x24显然成立，对任意两个正实数x1，x2，且x2x1，若f（x1）f（x2），则x1+x24，故d正确故正确的是bd，故选：bd【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函

4、数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，综合性较强，运算量较大，有一定的难度2. 已知为虚数单位，复数的虚部记作，则a             bcd参考答案：a3. 放烟花是逢年过节一种传统庆祝节日的方式已知一种烟花模型的三视图如图中的粗实线所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该烟花模型的表面积为（）abcd参考答案：d【考点】l!：由三视图求面积、体积【分析】利用三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可【解答】解：由三视图可知几何体是半径为2，高为3

5、的圆柱，与半径为1，高为1的圆柱，以及底面半径为1，高为2的圆锥，组成的几何体几何体的表面积为：2×4+3×4+2×1+=（21+）故选：d4. 已如定点p(1,9)，动点q在线性约束条件所表示的平面区域内，则直线pq的斜率k的取值范围为（   ）a. 1,7b. 7,1c. (,17,+)d. 9,17,+) 参考答案：c【分析】先根据约束条件画出可行域，找到边界的点，求得，数形结合可得结论【详解】不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分，直线与直线的交点为，直线与轴的交点为，只需求出过p的直线经过可行域内的点a或b时的斜率，所以结合图象可得

6、或，故选c.【点睛】本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组，考查了简单的转化思想和数形结合的思想，属于基础题5. 已知函数f(x)=x2-2ax-2alnx(a?r),则下列说法不正确的是  （）a当时,函数有零点b若函数有零点,则 c存在,函数有唯一的零点 d若函数有唯一的零点,则参考答案：b略6. 已知，则pq=（     ）a0,1)b0,2)c(1,2d(1,2) 参考答案：d，故，选d. 7. 已知集合，则任取，关于的方程无实根的概率（  ）  a     b 

7、;    c     d参考答案：d8. 已知为的导函数，则的图象是参考答案：a略9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y，n的值分别为1，2，3，则输出的s=（）a 27b81c99d577参考答案：c10. 圆上的点到直线的距离最大值是(   )(a)2                (b)1+      &

8、#160; (c)       (d)1+参考答案：b略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水           cm3参考答案：()解：设四个实心铁球的球心为o1，o2，o3，o4，其中o1，o2为下层两球的球心，a，b，c，d分别为四个球心在底面的射影则ab

9、cd是一个边长为的正方形。所以注水高为1故应注水(1)4×()3()12. 数列an，bn的前n项的和分别为an、bn，数列cn满足：cn=anbn+bnananbn若a2009=41，b2009=49，则数列cn的前2009项的和c2009=       参考答案：2009【考点】数列的求和 【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】cn=anbn+bnananbn=（anan1）（bnbn）+（bnbn1）an=anbnan1bn1利用“累加求和”方法即可得出【解答】解：cn=anbn+bnananbn=（

10、anan1）（bnbn）+（bnbn1）an=anbnan1bn1数列cn的前2009项的和c2009=（a2009b2009a2008b2008）+（a2008b2008a2007b2007）+（a2b2a1b1）+a1b1=a2009b2009=41×49=2009故答案为：2009【点评】本题考查了“累加求和”、“裂项求和”方法、递推关系的应用，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题13. 计算 （log29）?（log34）=参考答案：4考点：对数的运算性质3804980专题：计算题分析：把真数写成幂的形式，然后运用对数式的性质化简计算解答：解；（log29）?（lo

11、g34）=（2log23）?（2log32）=故答案为4点评：本题考查对数的运算性质，同时考查了换底公式，也可直接运用结论logab×logba=1运算14. 将函数f（x）=sin2x的图象沿x轴向右平移（0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于y轴对称，则当取最小的值时，g（0）=  参考答案：1 【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=asin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性求得g（x）的解析式，从而求得g（0）的值【解答】解：将函数f（x）=sin2x的图象沿x轴向右平移（0）个单位长度后得到函数

12、g（x）=sin（2x2）的图象，若函数g（x）的图象关于y轴对称，则2=2k+，kz，的最小值为，g（x）=sin（2x2）=sin（2x）=cos2x，g（0）=1，故答案为：115. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是_,_,_. 参考答案：46,45,5616. 函数的定义域为             参考答案：略17. 把抛物线绕焦点按顺时针方向旋转，设此时抛物线上的最高点为，则 

13、60;        .参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在极坐标系中，点m的坐标为，曲线c的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为1的直线l经过点m(i)求直线l和曲线c的直角坐标方程：(ii)若p为曲线c上任意一点，直线l和曲线c相交于a，b两点，求pab面积的最大值参考答案：（1）在极坐标系中，点m的坐标为，x=3cos=0，y=3sin=3，点m的直角坐标为（0，3），    

14、60;                   .1分直线方程为y=x+3，                             

15、 .3分由，得2=2sin+2cos，曲线c的直角坐标方程为x2+y22x2y=0，即（x1）2+（y1）2=2                              .5分（2）圆心（1，1）到直线y=x+3的距离，.6分圆上的点到直线l的距离最大值为，    

16、.7分 而弦.              9分pab面积的最大值为.10分19. （12分）某同学参加某高校自主招生3门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（pq），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（） 求数学期望e参考答案：【考点】： 离散型随机变量的期望与方差【专题】： 计算题；概率与统计【分

17、析】： （）用ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3由题意得，由此能求出该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率从而能够求出p，q的值（）由题设知的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，由此能够求出数学期望e解：用ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3由题意得，（）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为及得（）由题设知的可能取值为0，1，2，3，p（=0）=，p（=3）=1=该生取得优秀成绩的课程门数的期望为【点评】： 本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年高考的必考题型之一解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用20. 若数列an的前

18、n项和sn满足（，）（1）证明：数列an为等比数列，并求an；（2）若，（），求数列bn的前n项和tn参考答案：解：（1）由题意可知，即；当时，即；所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以（2）由（1）可知当时，从而为偶数时，；为奇数时，综上， 21. 如图：在直角坐标系xoy中，设椭圆c： =1（ab0）的左右两个焦点分别为f1、f2过右焦点f2与x轴垂直的直线l与椭圆c相交，其中一个交点为（1）求椭圆c的方程；（2）设椭圆c的一个顶点为b（0，b），求点m到直线bf1的距离；（3）过f1m中点的直线l1交椭圆于p、q两点，求|pq|长的最大值以及相应的直线方程参考答案：【考点】

19、椭圆的简单性质【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设右焦点f2为（c，0），令x=c，代入椭圆方程，可得c=， =1，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）求得直线bf1的方程，由点到直线的距离公式，计算即可得到所求值；（3）过f1m中点的直线l1的方程设为x=m（y），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理即可得到弦长的取值范围，再由斜率为0，求得直线方程，代入椭圆方程，求得pq的长，即可得到最大值【解答】解：（1）设右焦点f2为（c，0），令x=c，代入椭圆可得y=±b，由m（，1），即有c=， =1，又a2b2=2，解得a

20、=2，b=，则椭圆方程为+=1；（2）由题意可得b（0，），f1（，0），直线bf1的方程为x+y+=0，则点m到直线bf1的距离为=2+；（3）过f1m中点的直线l1的方程设为x=m（y），代入椭圆方程，可得（2+m2）y2m2y+m24=0，由于中点（0，）在椭圆内，故直线与椭圆相交，设交点p（x1，y1），q（x2，y2），即有y1+y2=，y1y2=，弦长|pq|=?|y1y2|=?=，令t=2+m2（t2），则|pq|=，当m=0即t=2时，取得最小值2，即有2|pq|；当直线l1：y=时，代入椭圆方程，可得x=±，即有|pq|=综上可得，|pq|的最大值为，此时直线方程为y=【点