专业数学建模实验报告一

1、数学建模与数学实验实验报告实验一.微积分基本模型及实验专业、班级信息1101学号201110010116姓名邵森课程编号81010240实验类型验证性学时2实验(上机)地点教七楼数学实验中心完成吋间2012-3-30任课教师马新顺评分一、实验目的及要求1. 掌握数学软件mathematica的基本用法利一些常用的规则，能用该软件进行基本微积分运算， 并能进行一些简单的编程；2. 理解malthus和logistic人口增长模型，能够借助数学软件对增长率和人口上限等参数进行拟 合计算；3. 理解经济系统的蛛网模型和确定性存贮模型，了解微分方程和差分方程的稳定性理论在实际应 川的重要意义，能够借助

2、数学软件求解微分方程、差分方程和代数方程；4. 理解两种存贮问题(即不允许缺货和允许缺货问题)的本质区别和联系，能够借助数学软件求 解并分析这两个问题。二、借助数学软件，研究、解答以下问题(一)利用中心差分公式，即代曲+ 1)_曲_% = ),借助数学软件，从p10表1中的 dt2t数据出发,重新计算教材p11中的表2和p12表3。主耍使用的mathematica语句：table, fit及循坏控制语句【解】：给出你的计算或分析步骤、结果，列出必要的程序淸单等p11 表 2程序代码如下：%人口数拯处理拟合dmt al= 3 9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 3

3、8.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123 2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4;y=log(datel);y0=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0; yl = log (yo);t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21;tl= 0 123456789 10 11);al=polyfit(tl,ylz1)%a1 1790-1900b1=a1;x01=exp(bl(2)rl=

4、bl(1)for i=l:12xl (i)=x01*exp(rl*(i-1);dx=rx dt40) = x0兀(0) = xox(0) = x0endxla2=polyfit (tzy,1)%a2 1790-2000b2=a2;x02=exp(b2(2)r2=b2(1)for i=l:22x2 (i)=x02*exp(r2*(i-1);endx2计算结果如下：x2/1.0e + 002年1790180018101820实际人口39537.296计算人口 x14.188444465.510489537 249826329.53816924计算人口 x20.060449710.073995560

5、.090576830.110873701830184018501860187012.917丄23.231.438612 548807116.509726021 720873528.576873237.59690790.135718800.166131300.203358780.248928360.304709381880189019001910192050.262976.092.0106.549.464036065.076917185.61786460.372990080.456571430.558882080.684118970.8374195319301940195019601970123

6、.2131.7150.7179.3204.01.025072391254775371.535951271 880134372.30144362198019902000226.5251.4281.42.817161803.448444514 22118798（二）针对3种人口增长模型:牛=rg _ x)dt1. 用数学软件求解（1） -（3）,给出计算结果;2. 验证（2）的解的拐点为：（皿心_旺）in北亚）；r23. 针对具体的乙,兀0，厂，画出以上3个模型的解的图像加以比较，给出你的比较结果。主要使用的 mathematica 语句：dsolve, solve, plot 等语句【解：1.1

7、dsolve （' dx=r*x， x （0） =x0,，气'） ans =x0*cxp (r* t)1.2dsolve (' dx=r*x*(l-x/xm)',' x(0)=x0,， t') ans 二-xm/(exp(xm*(log(xo - xm) /x0) /xm - (r*t)/xm) - 1)1.3dsolve (' dx=r*(xm-x)',' x (0) =x0,， t')ans =xm + (xo - xm)/exp(r*t)2. 验证带入(ln(xw-x0)-lnx0 亚)r' 23 数

8、据图像008膜一一 ybus決3迄°o51015时间轴10年20250000600570002o3040程序代码如下：xm=433.9886;r=0.2490;x0=39;t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21; xl=x0*exp (r*t);x2=-xm./(exp(xm*(log(xo - xm)/x0)/xm - (r*t)/xm)- 1);x3=xm + (xo - xm)./exp(r*t);, x2, 1 y 1 z tx3jb)grid onxlabel (* 时间轴/10年')yla

9、bel模型预测的人口值,)（三）借助数学软件研究确定性存贮问题：1. 针对不允许缺货和允许缺货最优存贮模型，试求其解析解;2. 画图研究最优订货周期和订货量与需求量厂、订货量才q、存贮费°的关系（可自行给定其中的两个值）;3. 比较两种情况下的费用大小。%”替换模式，或口定义函数等主要使用的malhcmatica语句：solve,【解】：1. 1不允许缺货：ft 1=cl/t+c2*r*t/2f 1 t_(c2 r)/2-cl/t_(2)特征方程为：4" + u b x2+2u b x + u 0=0 特征根求解：solve4*xa3+a*b*xa2+2*a*b*x+a*b

10、 0,x xt-(a b) /12) - (24 a b-a2 b2) / (12兴 v27a2b2 a3b:)")+i/i2(-216 a ! 27 a2b2 a3b')i/b x->_ ( (a b)/12) + ( (1+皿 b+36 aa2 ba2-aa3 ba3+24 j 2= a2 a3bjaa2 ba2-aa3 b八3 + 24 灭 27 异於 、)1/3 ,-(a b) /12) + ( (1- 尺)(24a b-a2 b2) ) / (24 (-216 a b+36 aa2 ba2-aa3 ba3 + 24j 2刁 a2 %严)-./24(1+ * )

11、(-216 a b+36 aa2 ba2-aa3 "3+24 兴 27b" )1/3solve (c2 *r)/2-cl/t_2 0 ,t tinversefunction pattern, 1,2-()/ (c2r) ) f _ , t>inversefunctionpatternr1z 2( inversefunctionpattern/l'2 -( z),_ , t->inversefunctionpattern,1f 2得 t= v2clr/c2 yj2c/c2r代入 q=v2dr7c2最小的总费用c=sqrt (2clc2r)1.2允许缺货ct

12、_zq_=cl/t+c2*qa2/(2*r*t)+c3 (r*t-q)a2/ (2*r*t) dcl/t+(c2 q2) /(2 r t) + (c3(-q+r t)2) /(2 r t)z tzl-(cl/t2) - (c2 q2) / (2 r t2) + (c3 (-q + r t) ) /t- (c3 (-q+r t)2) / (2 r t2) simplify - (cl/t2)- (c2 q2) / (2 r t2) + (c3 (-q+r t) ) /t- (c3 (-q+r t) 2) / (2 r t2) -(c2 q2 + c3 q2+2 cl r-c3 r2 t2) /

13、(2 r t2)dcl/t+ (c2 q2) /(2 r t) + (c3(-q+r t)2) /(2 r t),q,1(c2 q)/(r t)-(c3 (-q+r t)/(r t)simplify(c2 q)/ (r t)-(c3 (-q+r t)/ (r t)(c2 q+c3 q-c3 r t)/(r t)solve - (cl/t2)- (c2 q2) / (2 r t2) + (c3(-q + r t) ) /t- (c3(-q+r t)2)/ (2 rtt-(jc2 02 c3o2 2 cl i /门)c2q2 c3o2 2 cl i /r)t2)0,t,solve (c2 q)/

14、(r t)- (c3 (-q+r t)/(r t) 0,q qt(c3 r t) / (c2+c3) (四)借助数学软件研究差分方程：1. 给出教材卩222中1 (1) - (2)中忑所满足的差分方程；2. 求解以上差分方程的特征根；3. 验证：当|&0|<2时，以上特征根兄满足|2|<1主要使用的 mathematica 语句：rsolve, solve, simplify 等语句【解j： i. (1)简单的假设y如山x如和心的平均值决定，模型为儿+】y()=-(x,+1 + x,)/2- x() xr+d(y«-y()得 2 林+2 + g0 耳+ + a/3

15、xk =2(1 + q0) x01. (2)设也由儿和儿一的平均值决定，模型为儿+】一儿=_&(匕阳| + xj / 2 x°)vxk+|-x()=0(* + )r)/2-y()得 4 耳+3 + a叽2 + 2a/3g + a(3xk = c其特征方程为彳入2 (1) | a 3 |<2 m=0; for h=0:0.0001:2.0% h=a*b a= (1/4)*(-h+sqrt(h)人2-8h) ) , (1/4) (-h-sqrt(h)a2-8*h); + apx2+2apx + a3=02. (1)特征方程为：2入2 + a p x + a p =0特征根求

16、解：solve 2*xa2 + a*b*x+b 0, xxti/4(-a b-代 丘8 ak ),x->l/4(-a b+ 代(-216 a b+36 aa2 b八2-3 "3 + 24b+36 aa2 ba2-aa3 ba3+24* ) (24 a b-a2 bj )/(24 (-216 a)1/3) -1/24 (1-) (-216 a b+36v 8 at、for i=l:2if (abs(a(i)<1)m=m+l;endif m=40002disp( 'x的值小于0,验证通过，)endendendyzx的值小于1,验证通过3. (2) la p |<2三、本次实验的难点分析模型的理解及求解，数学软件运用不熟练：四、参考文献1 f. s. roberts. discrete mathematical model