二次函数(基础思想)讲义

1、二次函数考点解析：一、认识二次函数1、二次函数的常见解析式与其三要素a的符号决定抛物线的开口方向；a相等，抛物线的开口大小、形状相同；如果a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0 x. 二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点abacy最小442；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点abacy最大442。2、二次函数的性质：增减性：以对称轴hx为界，具有双向性。对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线

2、. 即：若a、b两点是抛物线上关于对称轴hx对称的两点，则有：bayy；hxxba2(即abxx21)。基础练习题：1、抛物线 y = - 2 ( x 3 )2 7 对称轴x = , 顶点坐标为；2、抛物线y = 2x2 + 12x 25 的对称轴为x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y=x22x+3 配方为 y=（xh）2 +k 的形式，则y= 4、抛物线 y= - 4（x+2）2+5 的对称轴是。5、抛物线y = - 3x2 + 5x - 4 开口, y = 4x2 6x + 5 开口 . 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0 x（y轴）（ 0

3、,0）kaxy20 x（y轴）(0,k) 2hxayhx(h,0) khxay2hx(h,k) cbxaxy2abx2(abacab4422，) 6、 已知 p1（11y,x） 、 p2（22y,x） 、 p3（33y,x） 是抛物线3x2xy2上的三个点， 若321xxx1，则321yyy、的大小关系是 _。7、已知函数y=x2- 2x- 2 的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y1 成立的x 的取值 x围是 ( ) a- 1x3 b - 3x1 cx -3 dx- 1 或 x3 8、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) a h=m b k=n c kn d h0

4、,k 09、抛物线4)2(22mxmxy的顶点在原点，则m= 10、 如图抛物线对称轴是x=1, 与 x 轴交于 a、 b两点 , 若 b点的坐标是 (3,0),则 a点的坐标是11、请选择一组你喜欢的abc、 、的值，使二次函数)0(2acbxaxy的图象同时满足下列条件：（ 1）开口向下，（ 2）当x2时， y 随 x 的增大而增大；当x2时， y 随 x的增大而减小。这样的二次函数的解析式可以是_。拓展提升：1、已知抛物线y=31(x - 4)2 - 3 的部分图像 (如图 ) 图像再次与x 轴相交时的坐标是（）(a) (5，0) (b) (6，0) (c) (7，0) (d) (8，0

5、) 2、如图，已知二次函数y=cbxax2(a 0)的图象的顶点p 的横坐标是4，图象交x 轴于点 a(m ，0)和点 b，且 m4，那么 ab 的长是( ) (a)4+m (b)m (c)2m 一 8 (d)8 2m 3、已知点a（1,1y） 、b（2,2 y） 、c（3,2 y）在函数21122xy上，则1y、2y、3y的大khxy2)(41nmxy2)(21小关系是 ( ) a1y2y3yb1y3y2yc3y1y2yd 2y1y3y4、开口向下的抛物线12)2(22mxxmy的对称轴经过点（1， 3） ，则m_。5、抛物线cbxaxy2上有两点（ 3， 8）和（ 5， 8） ，则对称轴是

6、。6、已知二次函数232)1(2mmxxmy，则当 m=时，其最大值为0. 二、函数与方程要点：y = ax2 + bx + c ( a 0 ) 二元二次不定方程有无数组解在直角坐标系中有无数个点（确定函数y 的值）如：ax2 + bx + c =3 ( a 0 )一元二次方程有确定解确定在直角坐标系中的点1、已知函数解析式，求点的问题，可用方程或方程组解决（代入法）。2、已知点的坐标，求函数解析式中待定系数的问题，也可用方程思想解决。基础练习题：1、抛物线y = 2x2 + bx 5 过点 a ( - 2, 9 )，则关于 “ b” 的方程为，此抛物线的解析式为. 2、已知函数y = x2

7、+ bx 1 的图象经过点（ 3，2） ，则这个函数的解析式为；图象的顶点坐标为。3、抛物线y = 2x2 - 3x 5 过点 a ( n, 9 )，解得 n = . 4、y = -2x2 + 5x 3 与 y 轴的交点的坐标为，5、y = 2x2 5x + c 与 y 轴的交点为（0，3 ） ，则有 c = . 6、y = - 2x2 + 5x 3 与 x 轴的交点坐标为、. 应用 1：用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三组（x、y）的值，通常选择一般式. （2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与

8、x轴的交点横坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay. 基础练习题：1、二次函数y = ax2 + bx+ c的图象的顶点a的坐标为 ( 1, - 3 )，且经过点b ( -1, 5 )，则设y = , 得方程为，解得，此函数解析式为 . 2、二次函数y = ax2 + bx + c的图象与x 轴交于点a ( - 3, 0 )，对称轴x = -1 ，顶点c到x轴的距离为2，则设y = , 得方程为，解得，此函数解析式为 .3、已知抛物线cbxaxy2过点（ -1 ，0） 、 （3，0） 、 （2，5） ，则设y = , 得方程为，解得，此函数解析式为。4、抛物线cbxaxy2经过 (1

9、,3).(0,-2)和(-2,4),则抛物线的解析式为. 综合练习题：x y o 3 9 1 1 a b 图 1 1、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过a、b、c三点 . （1）观察图象写出a、b、c三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；（2）求出此抛物线的顶点坐标和对称轴。2、已知二次函数的图像经过(0,3),且顶点坐标为（1，-4） 。（1）求这个函数关系式；（2）当 x 为何值时 , 函数值为0?当 x 为何值时 , 函数值 y 随着 x 的增大而增大?当 x 为何值时 ,y 随 x的增大而减小 ? 13、如图 1，已知二次函数24yaxxc的图像经过点a和点b（1）求该二次函

10、数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴与顶点坐标；（3）点p（m，m）与点q均在该函数图像上（其中m0） ，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值与点q 到x轴的距离4、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)a ，且过点(3 0)b ，（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标应用 2：直线与抛物线的交点（1）抛物线cbxaxy2与y轴（或平行于y轴的直线）hx的交点该交点是由cbxaxyhx2所得，且只有一个(h,cbhah2). 特别地，当x=0 时，交点为 (0,c). （

11、2）抛物线cbxaxy2与x轴（或平行于x轴的直线）ky的交点由方程组cbxaxyky2所得，故交点的横坐标是方程kcbxax2的解；交点的个数受方程kcbxax2根的判别式决定，即：0抛物线与ky轴相交有两个交点（x1、 k） （x2、k） ；0抛物线与ky轴相切有一个交点（x、k） （即顶点在ky上） ；0抛物线与ky轴相离没有交点 . 特别地，当0y时，即表示为与x 轴的交点。一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像g的交点由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与g有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与g只有一个交点；方程组无解时l

12、与g没有交点 . 抛物线与x轴两交点之间的距离：若cbxaxy2与x轴的两交点为0021，xbxa，由于1x、2x是方程02cbxax的两根， 故：acxxabxx2121,所以：21221221214xxxxxxxxabaaacbacab44)(22基础练习题：1、若二次函数y=x24x+c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c=_（只写一个）2、已知二次函数y = ax2 2 的图象经过点（1，- 1） ，则这个二次函数的解析式为，该函数图象与x 轴的交点个数为 . 3、抛物线 y = x2 - 6x + c 的顶点在 x 轴上，则c 的值是（）. （a） 9 （b） 3 （c）

13、- 9 （d） 0 4、函数362xkxy的图象与x 轴有公共点，则k 的取值 x 围是拓展提升：1、二次函数cbxaxy2的值永远为负值的条件是a0,acb420 2、二次函数y=x26x5，当时， y0，且随的增大而减小。3、二次函数y=x22x3 与 x 轴两交点之间的距离为_. 4、已知：二次函数y = ( m 3 ) x2 + 2mx + m + 2 ，其中m为常数，且满足-2 m 3 ，此抛物线的开口，与x轴交点（填有、无） ，与y轴的交点在x 轴（填上方、下方）. 5、如果二次函数y = 2x2 + ( 2ab )x + b，当且仅当1 x 2 时，y 0； b = 2a； a

14、+ b + c； a b + c ，正确的个数是（）. (a) 4 个(b) 3 个(c) 2 个(d) 1 个6、二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则下列关于a、b、c 间的关系判断正确的是（）(a) ab 0 (b) bc 0 (d) a-b+c 0）的对称轴为x 1，交x轴的一个交点为（x1，0），且 0 x10 b0，其中正确的个数有（）a、0 个 b 、1 个 c 、2 个 d、3 个3、 已知二次函数)0(2acbxaxy的图象如图所示， 有下列 5个结论：0abc； cab；024cba；bc32；)(bammba， （1m的实数）其中正确的结论有（）a. 2 个b.

15、 3 个c. 4 个d. 5 个4、如图是二次函数yax2 bxc 图象的一部分，图象过点a（ 3，0） ，对称轴为x 1给出四个结论： b24ac； 2ab=0； abc=0； 5ab其中正确结论是（） （a）（b）（c）（d）5、已知二次函数y=ax2+bx+c，且 a0，a-b+c 0，则一定有（）（a）b2- 4ac0 （b）b2- 4ac=0 （c） b2- 4ac0 （d）b2 - 4ac06、二次函数y =ax2bxc 的图象如图所示，且p=| abc | 2ab |，q=| abc | 2ab |，则 p、q 的大小关系为. 7、如图，已知二次函数cbxaxy2的图象与x轴交于

16、点（ -3，0） ， （x1，0） ，且 2x1b0 6a+c0 9a+c0 其中正确的结论是_（将你认为正确结论的序号都填上）综合提升1 、 若 用（ 1） 、（ 2 ）、（ 3） 、（4） 四幅图像分别表示量之1 题3 题4 题2 题6 题o x y 间的关系，请按图像所给顺序，将下面的a、b、c、d 对应排序(a)小车从光滑的斜面上滑下（小车速度与时间的关系）(b)一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物重量的关系）(c)运动员推出去的铅球（铅球高度与时间的关系）(d)小杨从 a 到 b 后，停留一段时间，然后按原速度返回（路程与时间的关系）正确的顺序是： （）(a) （c） （

17、d） （b） （a）(b) （a） （b） （c） （ d）(c)（b） （c） （ a） （d）(d) （d） （a） （c） （ b）2、在同一坐标系中一次函数yaxb 和二次函数2yaxbx 的图象可能为（）3、反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图，它们的解析式可能分别是（） （a）y=kx，y=kx2- x（b）y=kx，y=kx2+x （c）y=-kx，y=kx2+x（d） y=-kx，y=- kx2- x4、已知一次函数y = ax + c 与二次函数y = ax2 + bx + c，它们在同一坐标系内的大致图象是（）. (a) (b) (c) (d) 5、下列

18、图中阴影部分的面积与算式|43|+（21）2 + 2-1的结果相同的是（）6、如图， oab 是边长为2+3的等边三角形，其中o 是坐标原点，顶点b在 y 轴的正方向上， 将oab 折叠， 使点 a 落在边 ob 上，记为 a 折痕为 ef o x y o x y o x y o x y a b c d （ 1）当ae / x轴时，求点a 和 e 的坐标；（ 2）当ae / x轴时，且抛物线y= 61x2 + bx + c 经过点 a 和 e 时，求该抛物线与x 轴的交点的坐标；（ 3）当点 a 在 ob 上运动但不与o、b 重合时，能否使a ef 成为直角三角形？若能，请求出此时点a 的坐标；若不能，请你说明理由。7、抛物线y = x2- 2x + c 与 x 轴交于 a、b 两点（点a 在点 b 的左侧），与y 轴交于点c，且 oc=ob，求此抛物线的函数解析式与三角形abc 的面积 . 8、如图、已知抛物线y=x2 ax+a+2 与 x 轴交于 a、b 两点，与y 轴交于点d（ 0，8） ，直线 dc 平行于 x轴，交抛物线于另一点c。动点 p 以每秒 2 个单位长度的速度从点c 出发，沿 cd运动，同时，点q 以每秒 1 个单位长度的速度从a 出发，沿ab运动。连结pq、cb.设点 p的运动时间为t 秒 . （1）求 a的