【精品】浅谈行列式计算的几种技巧

1、浅谈行列式计算的几种技巧 专业：数学与应用数06-1班 姓名：麦水清 指导老师：李春香 摘要:任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n 阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况卜不用此法，但如果行列式 中有许多零元素，可考虑此法。其实，计算行列式并无固定的方法，同一个行列 式可以有多种不同的方法进行计算.因此，除了掌握好行列式的基本性质外，针 对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快地解出其值。木文用（1）化 三角形法，（2）降阶法，（3）升阶（加边）法，（4）分项（拆开）找递推公式， （5）利用公式det （ab） =det （a）det （b）计算行列式的值

2、,（6）利用公式det （i/t+/lb）=det（i/h+ba）计算行列式的值，（7）利用方阵特征值与行列式的关 系七种方法来计算行列式，计算其值。 关键词：行列式、元素、降升阶、递推公式 引言： 关于行列式计算的问题，本文用（1）化三角形法，（2）降阶法，（3）升阶 （加 边） 法，（4）分项 （拆开） 找递推公式,（5）利用公式det （ab） =det （a） det （b）计 算行列式的值,（6）利用公式det （打干人）二det仃w+ba）计算行列式的值, （7）利用方阵特征值与行列式的关系七种方法来计算行列式。 降阶法、升阶法、分项递推法、公式法等其它方法来变换行列式，再通过我

3、们熟悉的上三角形或下三角形计算其值。 下面介绍行列式计算的一些技巧 （1）化三角形法 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的 一种方法。 这是计算行列式的基本方法重要方法之一。 因为利用行列式的定义容 易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。 例1:计算行列式 1 2 3 通过观察，从第1列开始，每一列与它一列屮有叶1个数是差1的，根据行 列式的性质，先从第n-1列开始乘以一1加到第n列, nt列，一直到第一列乘以一1加到第2列。 解： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1-h (i = 2,加 1 0 0

4、0 -n 3 1 1 1-/1 1 2 0 0 -n 0 件=4 n -n 1 1 1 n- -n 0 0 0 1 - n 0 0 0 0 0 0 -n 1 0 0 -n 2 0 0 0 0 -n 0 -n 1 n(n +1) n 2 0 -n 0 0 n-2 0 0 0 -n 0 0 0 n- -yi 0 0 (i = 2,/?) 1 - 斤 + _ q n n n-2 77-1 第n-2列乘以一1加到第 (-旷(-1) n 2 （2）降阶法 某行（列）的k倍加到另一行（列）上去。 看行和（列和），如行和相等，则均可加到某列上去，然后提出一数。 (一 1)( 一 2) 7 a、利用行（列）初

5、等变换。1）交换两行 2）某行（列）乘以k倍; b、 c、 逐行相减（加） d、 找递推公式，注意对称性。 这里的第一个n-l阶行列式与”有相同的形式，把它记作第二个口-1阶 行列式等于（t） j 所以广 这个式子对于任何nq 2）都成立，因此有 a”二x a”+an=x（xa zi_2 +a心）+ j =x2 a _2 +a心x+a” 二x +a 2 x j + +a n x+a ” 但 a| 二 x + a=x+a |,所以 a “二x +axt+a zi 把行列式的计算归结为形式相同而阶数较低的行列式的计算，是一个常用的方 法。我们再用这个方法来计算一个常要用到的行列式。 dn 二 a2

6、，l 解：由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘以o,得 x -1 0 0 0 x -1 0 an = 0 0 x 0 0 0 0 x a i 心a2 解：按第一列展开， 得 x -1 0 0 0 0 x -1 0 0 am = x 0 0 0 x -1 an- an-2 %3 cl o x + a -1 0 0 0 x 1 0 0 （t）% 0 x 0 0 0 0 x 例3： 计算一个n阶范德蒙德 (vandermonde)彳亍列式 a a2 an a22 e、laplace 展开。 例2：利用降阶法计算n阶行列式 e、laplace 展开。 例2：利用降阶法计算n阶行列式 0 0 0

7、 若在一个n阶行列式中，第i行（或第j列）的元素除叫外都是零，那么这个 行列式等于叫与它的代数余子式鶴的乘积，所以 色q q an a 色(色q)色他q)an(an &（色一q） &（色一q）q严厂匕 提出每一列的公因子后，得 最后的因子是一个叶1阶的范德蒙德行列式，我们用代表它: dn=(5 一 5)i jl 4i j (6)利用公式 det (lw+ ab)二 det (i wi + ba) 引理：设a为 nxm 型矩阵，b为 mxn 型矩阵，i”，i”,分别表示n阶，m阶单位 矩阵，则有 det (in +ab)=det(iw=fba)；且几工0时，有 det in+ab

8、) = 2 det(zi/n+ba) 例9：计算如下行列式的值 q +b s an q a+h an dn = (h an q an +h 04 3 % 3打 3d 3 a2 36f22 3a 3 a3 3如2 3冬 3 a4 3tz4 1 1 1 d a2 a. 2 2 a a2 3 3 % cl 2 3 b2 b； 1 b、 bf b3 b； b； b4 b： 1 x b； bj 2 3 2 3 。4 n +b a2 5 an 5 +b % an 解:令矩阵a二 a a2 a3 +b dr (1 5 an an 为例。 .btw的n个特征值为b,b,bo a“的n个特征值为 %,0, 0,

9、，0o /=1 系知：d”二二b“（勺+b） /=1 注肌的特征值也可由特征值的定义得到。 故的特征值为13, 3, 3, 3,由矩阵特征值与对应行列式的关系知: cln 3 二叽+人 an) % ci2 cl | d 2 d a2 1 2 3 4、 15 3 4 12 3 4 仏二 12 6 4 二 314 + 12 3 4 1 2 3 7丿 12 3 4, =3i4+a .314的4个特征值为3, 3, 3, 3. a2 故m”的特征值为b+ %,b,. 由矩阵特征值与对应行列式的关 例11：求行列式d4二 的值。 a。的4个特征值为10, 0, 0, 0. d4=|p4|=33 (10+3)=351 综上所述，针对行列式结构特点而采用与之相适应的计算技巧，从而总结出 了多种类型题目所适用的计算方法，因此，对于计算行列式的方法，我们首先要熟练掌握并懂得如何选择、 运用， 不管是哪一种行列式的计算， 选取恰当的方法, 才能较快地解出其值。 参考文献; 4、李永斥硏究生入学考试线性代数北京大学