2020苏科版七上第二章《有理数》中的找规律问题培优训练(1)(有答案)

1、2020苏科版七上第二章有理数中的找规律问题培优训练(1)班级：姓名：得分：一、解答题1 .观察下列算式，解答问题：1 + 3 = 4 = 221 + 3+5 = 9 = 321 + 3+ 5 + 7=16 = 421 + 3+5 + 7 + 9 = 25 = 52(1)请猜想 1 + 3 + 5 + 7 + + 19 =：(2)请猜想 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + (2n 1) + (2n + 1) =；(3)请利用上题猜想结果，计算39 + 41 + 43 + 99的值(要有计算过程)2 .阅读材料:求1 + 2 + 2? + 23 + 24 +2287的值.解：设S = 1

2、 + 2 + 2? + 23 + 24 +-+22017将等式两边同时乘以2得：2S = 2 + 22 + 23 + 24 + +22018将下式减去上式得2s S = 22018 - 1,即S = 22018 _ 1所以 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + +22。17 = 22018 一 1请你仿照此法计算：(1)1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 =；(2)1 + 3 + 32 + 33 +34 + +3”(其中 n 为正整数)：(3)1 + 2X2 + 3X 22 +4X 23 + +10 X 29 + 11 X 210.3 . |a - b|有理数为数轴上表

3、示，、的两点之间的距离°(1)直接回答：当式子la-11 +la-2|取得最小值时，相应应满足什么条件？最 小值是多少？(2)直接回答：当式子|a1| +|a 2| +|a 3|取得最小值时，相应。应满足什么 条件？最小值是多少？(3)直接回答：当式子|a-1| +旧一2| + |a 2017|取得最小值时,相应应满足什么条件？最小值是多少？(4)直接回答：当式子|。+1| + |。+ 2| +“ + 4+2018|取得最小值时,相应“应满足什么条件？最小值是多少？4 .观察下列计算1 + 2 + 22 + 23 + 224 + 225的解题过程(主要步骤).第12贞，共13页解：设

4、a = 1 + 2 +22 + 23 + + 224 + 225,则 2a = 2 + 22 + 23 + + 224 + 225 + 226,2a - a = (2 + 22 + 23 + + 224 + 225 + 226) - (1 + 2 + 22 + 23 + - + 224 +225) = 226 -1所以 a = 226 1通过阅读，你一定学会了一种解决问题的方法，请你用此方法解决下列问题：(1)计算：1 + 5 + 52 + 53 + + 52016 + 52。”的值；(2)计算：7? +73 + 7的值：5 .阅读并解决下列问题：己知：一田=弓一去)X1，x(x+3) vx

5、x+373J 1) L x(x+10)%x+10，10(1)请你用发现的规律填空：1 x(x+n) "(2)由 |ab - 2| + (b - l)2 = 0,试求获 + (a+l)(b+l) + (a+2)(b+2)+ + (a+2019)(b+2019)的值6 .书本P38第6题告诉我们：数轴上两点之间的距离等于对应两数差的绝对值；如:数轴上表示一3、2的点之间的距离为I3 - 2| = 5：小红和小明在解“已知|x-1| = 3,求x的值”时分别用了两种不同解法：小红利用绝对值法则得：X 1 = 3或x - 1 = -3,所以X = 4或% = -2：小明利用数轴："

6、|"一1| =3”即数轴上表示小1的点之间的距离为3,所以x的 值为4或一2：(1)填空：若反-2| = 1.5,则x =：(2)探索：由上述可知卜一。| +卜b|的意义是数轴上表示数x的点到表示数"、b 两点的距离之和。若|x -1| + |% 2| = 5,求x的值：当x取哪些数值时卜+l| + |x-2| = 3.第12页，共13页7 .观察下列式子：0x2 + l = l2 .lx3+l=22 .2x4+l = 32 .3x5 + 1二甲 (1)第个式子,第个式子:(2)请用含"n为正整数)的式子表示上述的规律，并证明：(1 +、0161。/(3)求值：(

7、1+苏(1 +右)(1 +短)(1+2)8 .若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个有理数互为相依数.例如： 有理数:与3,因为:+ 3 =x 3.所以有理数与:与3是互为相依数.(1)直接判断下列两组有理数是否互为相依数，-5与-2：-3与会(2)若有理数竿与-7互为相依数，求?的值：(3)若有理数与6互为相依数，。与c互为相反数,求式子5(ab +9)2(|。一 b)- 4的值：(4)对于有理数a(aw0,1),对它进行如下操作：取“的相依数，得到即：取的的倒 数，得到也：取的相依数，得到：取的倒数，得到四： .：依次按如上的操 作得到一组数。1，。3，玛若。试着直接写出a2&g

8、t; a3, .»。2018的4和.第12贞，共13页9 .按要求完成下列题目.（1）求：高 + 京+ +", +n (/ +1)的值.对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上而和式的每一项可以写成一y；的形式，而-士，这样就把一项（分）裂成了两项.n + ）试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出高+点+高+荻总击的值(2)若:31)5+2)= ( + )+ 9+血+2)求：4 3的值;求:1X2X32x3x4n(n+l)(n+2)的值.10 .阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1

9、+2 + 3+- + 100=?经过研究，这个问题的一般性结论是1 + 2 + 3 + +九=：471 + 1),其中 n是正整数.现在我们来研究一个类似的问题：1X2 + 2x3+(ti + 1)=?观察下而三个特殊的等式：1X2= 1(1 X2X3-0X1X2)2X3= =(2 X3X4-1X2X3)3X4 = 1(3X4X5-2X3X4)将这三个等式的两边相加，可以得到1 X2 + 2X3+3X4 = =X3X4X5 = 2O, 读完这段材料，请你思考后回答：(1)1 X 2 + 2 X 3 + + 10 X 11 =_；(2)1 X 2 + 2 X 3 + 3 X 4 + + n X

10、(n + 1) =_：(3)1 X2X3 + 2X3X4 + n(n+ l)(n+ 2) =_.(只需写出结果，不必写中间 的过程)答案和解析解：(1)1 + 3 + 5+ 7 + 19中有(19 + 1) + 2 = 10个数, 则1 + 3 + 5 + 7 + + 19 = 102：故答案为1。2；(2) (2n + 1 + 1) + 2 = n + 1, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + (2n - 1) + (2n + 1) = (n + l)2 ： 故答案为(71+ 1)2：(3)39 + 41 + 43 + +99= (1 + 3+ - + 99)-(1 + 3 + +

11、37)=502 -192 = 2139.2 .解：(1)26- 1或 63：(2)设S = l + 3 +32 + 33 +34 + - + 3n,将等式两边同时乘以3得：3S = 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + - + 3n + 3n+1,将下式减去上式得3s - S = 3n+1- 1, 即S =空二，2即1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 3 =:2(3)设S = 1 + 2 X 2 + 3 X 22 + 4 X 23 + - + 9 X 28 + 10 X 29 + 11 X 210,将等式两边 同时乘以 2 得：2S = 2 + 2 X 22 + 3 X

12、 23 + 4 X 24 + + 9 X 29 + 10 X 2“ + 11 X ， 将上式减去下式得一S = 1 + 2 + 22 + 23 + + 29 + 11 X 211, -5 = 211 - 1 - 11 X 211, S = 10 X 211 + 1> 即1 + 2 X 2 + 3 X 22 + 4 X 23 + + 9 X 2® + 10 X 29 + 11 X 21。=10 X 211 + 1.解：(1)设S= 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 2$,将等式两边同时乘以2得：25 = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26,将下式减去

13、上式得 2S-S = 26 - 1,即 S = 26- 1,即1 + 2 + 2? + 23 + 24 + 2$ = 26-1.故答案为26-1或63：3 .解：时，|。一1|+|。一2|最小值为 1：目当 q = 2时，|a-l| + |a-2| + |a-3| 最小值为 2；目当 q = 1009时，|a-l| + |a-2| + + |a - 2017| 的最小值为 1009 X 1008 =1017072：团当一 1010 <a< 一1009时，|a+l| + |a + 2| + , + |a + 2018| 的最小值为 10092 =1018081.4 .解：(1)设S

14、= 1 + 5+5? + 53+5286+ 5287则5s = 5 + 52 + 53 + 52016 + 52018 5S-S = (5 + 52 + 53 + 52016 + 52018)-(l + 5 + 52 + 53 + - 52016 + 52017)= 52018一1,所以 S=；(52018_i)： (2)设S = 72 + 73 + + 7t + 7n,则 7s = 73 + - + 7n + 7n+1, 7S - S = (73 + + 7n + 7n+1) 一 (72 + 73 + + 7九-1 + 7n) = 7"1 - 49,所以 S = ：(7"

15、i_49). 65 .解：O±)x；：(2) "* ab 2| + (b I)2 = 0, ab 2 = 0, b 1 = 0,I111=1111ab (a+l)(b+l)(a+2)(b+2)(a+2019)(b+2019)2X13x24x32021X20202233420202021二1 一感20202021解：3k R_±)x；：=-1 X -；J7 (x+ m)(x+n)Lv+n x+mj m-n故答案为(；-京)X：岛一上x：6 .解：(1)3.5 或 0.5：(2)当” > 2时，有x 1 + % 2 = 5,解得：% = 4：当 V 1时，有 1

16、 x+2 X = 5,解得：x = -1：当14% 42时，有 1+2 = 5,此时没有满足条件的X的值.综上所述，X = -1或4；(2)当一时，|X + 1| + |%2| =3.解：(1)根据题意得：X 2 = 1.5或%2 = -1.5,解得：x = 3.5x = 0.5.故答案为3.5或0.5：7 . (1)4X6 + 1 = 52,9X11 + 1 = 1()2.(2)解：规律为(n-1)(九+1) + 1 =於，证明：原式左边=(n - l)(n + l) + l = n2-l + l = n右边=n2,左边=右边，故原式成立.E* /1+1X3X /1+2X4X /1+3X5X

17、/1+2016X2018X解：原式2016X2018 ),=岛），岛）-（201722016X201820171009解：第个式子为4 X6 + l =第个式子为9 X 11 + 1 = 102.故答案为4 X6 + 1 = 52/9X 11 + 1 = 102.8.解：（1）-5 + （2）金（5）X（-2）,不是互为相依数,一3 + ：=3X：,是互为相依数. 44(2)由题意可得：弓止+(_7)= 平'(7),解得：m =(3)由题意可得a + b = ab9 b + c = 0,则原式=5 (a + b gb) 2 (Jq b) 4=4.(4)解：解：依题可得：= -7'

18、; a2 =。3=1 =乙。6 =、'a1a1-aa由此可得：这一组数的周期为6,S a =；， 4C1144s = 5, a2 = a3 = a4 = -4, a5 = a6 = -t114 s Ql +。2 +。3 +。4 +。5 += 5 + 三一 ：- 4 + 三 + = 3， S 45 4, % + % +。3 +。5 +。6 + + a2018 = 336 X 3 + «2017 + %018 = 336 X 3 +a1 + a2 = 336 X3 +5 + -= 1013 559.解:（1）原式=1 一223n n+11n+1n-n+1当n = 2016时，得12016X201720162017V + I 2 n(n+i) (n+l)(n+2)(4+B)n+24-n(n+l)(n+2)_ 1- n(n+l)(n+2)/、B的值分别为a小,: n(二(n+2)="就H X 品丽2 九 71+1/2 '九+1n+2:.+ 41X2X32X3X4nX(n+l)(n+2)1 111 1 1 11111 1 1 =2(1-2 + 23+ n_TT)-2(2-3 + 34+1 X-1、1/11、2 、n+17 2、2 n+27nn-2(n+l)4(n+2)_n(n+3)- 45+l)(+2)10. (1)34340