北京市西城区(北区)2012-2013学年高一下学期期末考试数学试卷(20211202003600)

1、北京市西城区（北区）20122013 学年下学期高一期末考试数学试卷试卷满分： 150 分考试时间： 120 分钟一、本大题共10 小题，每小题4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1. 在数列na中，12nnaa，且11a，则4a等于（）（ a）8 （b） 6 （c）9 （ d） 7 2. 将一根长为3m 的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1m 的概率是（）（ a）14（b）13（c）12（ d）233. 在 abc 中，若222abc，则 abc 的形状是（）（ a）锐角三角形（b）直角三角形（c）钝角三角形（d）不能确定4. 若0ab，则下列不等

2、式中成立的是（）（ a）33ab（b）ab（c）11ab（d）11ab5. 若实数 x，y 满足10,0,0,xyxyx则2zxy的最小值是（）（ a）12（b）0 （c）1 （d） 1 6. 执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（）（ a）2 （ b）12（ c） 3 （ d）237. 已知 100 件产品中有5 件次品， 从中任意取出3 件产品， 设 a 表示事件 “3 件产品全不是次品” ，b 表示事件 “3件产品全是次品” ，c 表示事件 “3件产品中至少有1 件次品 ” ，则下列结论正确的是（）（ a）b 与 c 互斥（b）a 与 c 互斥（ c）任意两个事件均互斥（d）任意两个事

3、件均不互斥8. 口袋中装有三个编号分别为1， 2，3 的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次。则“ 两次取球中有3号球 ” 的概率为（）（ a）59（b）49（c）25（d）129. 设 o 为坐标原点，点a（ 4，3），b 是 x 正半轴上一点，则oab 中obab的最大值为（）（ a）43（b）53（c）54（d）4510. 对于项数为m 的数列na和nb，记 bk为12,(1,2,)ka aakm中的最小值。给出下列判断：若数列nb的前 5 项是 5，5，3，3，1，则43a；若数列nb是递减数列，则数列na也一定是递减数列；数列nb可能是先减后增数列；若1

4、(1,2,.,)km kbac km，c 为常数，则(1,2,.,)iiab im。其中，正确判断的序号是（）（ a）（b）（c）（d）二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。11. 不等式220 xx的解集为 _。12. 在 abc 中，2,3,150bca，则 a=_。13. 某校高一年级三个班共有学生120 名，这三个班的男、女生人数如下表。已知在全年级学生中随机抽取1 人，抽到二班女生的概率是0.2。则 x=_；现用分层抽样的方法在全年级抽取30 名学生，则应在三班抽取的学生人数为_。一班二班三班女生人数20 x y 男生人数20 20 z 14

5、. 甲、乙两人各参加了5 次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图。已知甲、乙二人得分的平均数相等，则m=_ ；乙得分的方差等于_。15. 设na是等差数列，sn为其前 n 项的和。若533,27as，则1a_；当 sn取得最小值时，n=_。16. 当 x 1， 9时，不等式22332xxxkx恒成立，则k 的取值范围是_。三、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. （本小题满分13 分）在等比数列na中，12236,12aaaa。（）求数列na的通项公式；（）设nb是等差数列， 且 b2 =a2， b4=a4。 求数列nb的公差，并

6、计算1234100.bbbbb的值。18. （本小题满分13 分）某市某年一个月中30 天对空气质量指数的监测数据如下：61 76 70 56 81 91 55 91 75 81 88 67 101 103 57 91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 （）完成下面的频率分布表；（）完成下面的频率分布直方图，并写出频率分布直方图中a 的值；（） 在本月空气质量指数大于等于91 的这些天中随机选取两天，求这两天中至少有一天空气质量指数在区间101， 111）内的概率。分组频数频率41，51）2 23051，61）3 33061，71）4 4307

7、1，81）6 63081，91）91，101）101，111）2 23019. （本小题满分13 分）在 abc 中， a，b，c 分别为角a，b，c 所对的边，已知c=3，3c。（）若sinb=2sina ，求 a，b 的值；（）求a2+b2的最大值。20. （本小题满分14 分）已知函数( )(1)(1)f xaxx。（）当a=1 时，求( )f x在区间 1，2上的值域；（）若函数( )f x在区间1,上是减函数，求a 的取值范围；（）解关于x 的不等式( )0f x。21. （本小题满分14 分）设数列na的前 n 项和为 sn，且1*12( ),2nnsnn。（）求数列na的通项公式

8、；（）设数列(215)nnbna。（ i）求数列nb的前 n 项和 tn；（ ii）求 bn的最大值。22. （本小题满分13 分）对于数列a：a1，a2，a3（ain，i=1，2，3），定义 “t变换 ” ：t 将数列 a 变换成数列b：b1，b2，b3，其中1(1,2)iiibaai，且331baa。这种 “t变换 ” 记作 b=t（a），继续对数列b进行 “t变换 ” ，得到数列c：cl， c2， c3，依此类推，当得到的数列各项均为0 时变换结束。（）写出数列a：2， 6，4 经过 5 次“t变换 ” 后得到的数列；（）若a1， a2， a3不全相等，判断数列a：a1，a2，a3经过不

9、断的 “t 变换 ” 是否会结束，并说明理由；（）设数列a： 400， 2，403 经过 k 次“t变换 ” 得到的数列各项之和最小，求k 的最小值。【试题答案】一、选择题：本大题共10 小题，每小题4分，共 40 分。1. d 2. b 3. c 4. c 5. a 6. d 7. b 8. a 9. b 10. b 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分，11. 1|02xx12. 1313. 24 9 14. 6，8.4 15. 11，6 16. ,13注：一题两空的试题，第一空2 分，第二空3 分：三、解答题：本大题共3 小题，共36 分，17. 解：（）设等比数列n

10、a的公比为q，由已知，211116,12aa qa qa q 2 分两式相除，得q=2。 4 分所以 a1=2， 6 分所以数列na的通项公式2nna。 7 分（）设等差数列nb的公差为d，则114,316bdbd 9 分解得12,6bd11 分1234100123499100.()().()bbbbbbbbbbb 12 分50300d 13 分18. 解：（）如下图所示。4 分（）如下图所示。6 分由己知，空气质量指数在区间71，81）的频率为630，所以 a= 0.02。 8 分分组频数频率81，91）10 103091，101）3 330（）设a 表示事件 “ 在本月空气质量指数大于等于

11、91 的这些天中随机选取两天，这两天中至少有一天空气质量指数在区间101，111）内 ” ，由己知，质量指数在区间91，101）内的有 3 天，记这三天分别为a， b，c，质量指数在区间101，111）内的有 2 天，记这两天分别为d， e，则选取的所有可能结果为：（ a，b），（ a，c），（ a， d），（ a，e），（ b，c），（ b，d），（ b，e），（ c，d），（ c，e），（ d，e）。基本事件数为10。10 分事件 “ 至少有一天空气质量指数在区间101， 111）内 ” 的可能结果为：（ a，d），（ a，e），（ b，d），（ b，e），（ c，d），（ c，e），（

12、d，e）。基本事件数为7，12 分所以7( )0.710p a13 分19. 解：（）因为sin b=2sina ，由正弦定理可得b=2a，3 分由余弦定理c2= a2 +b22abcosc， 5 分得 9=a2 +4a22a2， 7 分解得 a2=3， 8 分所以3,22 3aba9 分（）由余弦定理c2= a2 +b22abcosc，得 ab=a2+b29，10 分又 a2 +b2 2ab ，11 分所以 a2+b2 18 ，当且仅当a=b 时，等号成立。12 分所以 a2+b2的最大值为18。13 分20. 解：（）当a=l 时，2( )1f xx，函数( )f x在区间(,0上单调递减

13、，在区间0,上单调递增所以，( )fx在区间1,2上的最小值为(0)1f 2 分又(2)( 1)ff。所以( )f x在区间1,2上的最大值为(2)3f3 分( )f x在区间1,2上的值域为1,34 分（）当a=0 时，( )1f xx，在区间1,上是减函数，符合题意5 分当0a时，若函数( )f x在区间1,上是减函数，则0a，且11a，7 分所以 1a 1。10 分当 a0 时，1()(1)0 xxa，解得11xa 11 分当 a0 时，不等式的解集为1|1xxa; 当 a=0 时，不等式的解集为|1x x；当 1a0 时，不等式的解集为1|1x xxa或; 当 a = 1 时，不等式的

14、解集为|1x x当 a1 时，不等式的解集为1|1x xxa或21. 解：（）由已知，当n=1 时，111as。1 分当2n时，1nnnass 2 分1211112( )2()( )222nnn3 分综上，1*1( ),2nnann 4 分（）（ i）11(215)().2nnbn所以2111113( 11)( 9)().(215)()222nntn5 分2111111( 13)( 11)().(217)()(215)()22222nnntnn 6 分两式相减，得21111111322( ).2( )(215)()22222nnntn8 分211111132().()(215)()2222nn

15、n2111132( )(215)()(112 )()11222nnnnn所以11(112 )()222nntn 10 分（ ii）因为11111(213)()(215)()(172 )()222nnnnnbbnnn 11 分令10nnbb，得172n12 分所以129.bbb，且910.bb，即9b最大， 13 分又8991333( )2256ba。所以，nb的最大值为325614 分22. 解：（）依题意，5 次变换后得到的数列依次为4，2，2；2，0，2；2， 2，0；0，2，2；2，0， 2 3 分所以，数列a：2，6，4 经过 5 次“t变换 ” 后得到的数列为2，0，2， 4 分（）

16、数列a 经过不断的 “t变换 ” 不可能结束设数列 d：d1，d2，d3， e：e1，e2，e3，f：o，0，0，且 t（d）=e，t（e）=f 依题意1223310,0,0eeeeee，所以123eee即非零常数列才能通过“t变换 ” 结束。6 分设123eeee（e为非零自然数）。为变换得到数列e 的前两项，数列d 只有四种可能111:,2 ;dd de de111:,;d d de d111111:,;:,2 ;dd de ddd de de而任何一种可能中，数列e 的笫三项是o 或 2e。即不存在数列d，使得其经过“t变换 ” 成为非零常数列。8 分由得，数列a 经过不断的 “t变换 ” 不可能结束。（）数列a 经过一次 “t变换 ” 后得到数列b：398，401，3，其结构为a，a+3，3。数列 b 经过 6 次“t变换 ” 得到的数列分别为：3，a，a3；a3，3，a6：a6，a 9，3;3，a12，a9;a15，3，a12;a18，a15，3。所以，经过6 次 “t变换 ” 后得到的数列也是