第三章流体动力学二

1、3.43.4理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分一、理想流体动水压强的特性一、理想流体动水压强的特性 理想流体动水压强的方向总是沿着作用面内法线方向。理想流体动水压强的方向总是沿着作用面内法线方向。 理想流体中任一点动水压强的大小与其作用方位无关。理想流体中任一点动水压强的大小与其作用方位无关。 显然，理想流体动水压强的特性与静水压强的特性是完全显然，理想流体动水压强的特性与静水压强的特性是完全一样的。一样的。二、理想流体运动微分方程二、理想流体运动微分方程 Oxyzdxdydz 从理想流体流场中中选取从理想流体流场中中选取一平行六面体作为隔离体，各一平行六面体作为隔离体，

2、各边长分别为边长分别为dx，dy，dz，形心点，形心点在在O（x，y，z）处，其动水）处，其动水压强为压强为p。O点的流速在各坐点的流速在各坐标轴上的投影为标轴上的投影为ux，uy，uz 。2p dypy2p dypyM OxyzdxdydzN()2p dypdxdzy控制体左面所受的表面力：控制体左面所受的表面力：控制体右面所受的表面力：控制体右面所受的表面力：()2p dypdxdzy控制体在控制体在y方向所受的质量力：方向所受的质量力：yfdxdydz2p dypy2p dypyM OxyzdxdydzN根据牛顿第二定律：根据牛顿第二定律：化简后得：化简后得：()2()2yyp d yf

3、d x d y d zpd x d zyd up d ypd x d zd x d y d zyd t1yyd upfyd t 同理可得同理可得x、z方向的关系式：方向的关系式：1xxd upfxd t1zzd upfzd t1xxd upfxd t1zzd upfzd t1yyd upfyd t即即 上式即是理想流体运动微分方程，又称为欧拉运动微分上式即是理想流体运动微分方程，又称为欧拉运动微分方程。因为方程。因为加速度为当地加速度和迁移加速度之和加速度为当地加速度和迁移加速度之和，所以欧，所以欧拉运动微分方程又可以写成下式：拉运动微分方程又可以写成下式：1xxxxxxyzuuuupfuuu

4、xtxyz1zzzzzxyzuuuupfuuuztxyz1yyyyyxyzuuuupfuuuytxyz 理想流体运动微分方程式的积分理想流体运动微分方程式的积分 由于数学上求解的困难，我们目前还无法对运动微分方程由于数学上求解的困难，我们目前还无法对运动微分方程式进行普遍积分，只是在几种特殊情况下得到了它的解。我们式进行普遍积分，只是在几种特殊情况下得到了它的解。我们仅介绍工程流体力学中最常见的伯努利积分。仅介绍工程流体力学中最常见的伯努利积分。 恒定流，此时恒定流，此时流体为不可压缩流体，即流体为不可压缩流体，即C. .0yxzuuutttt 质量力有势。设质量力有势。设W(x.y.z)为质

5、量力势函数，对于恒定有势为质量力势函数，对于恒定有势的质量力有：的质量力有：xyzdWf dxf dyf dz 沿流线积分。在恒定流时也是沿迹线积分。此时沿流线积分。在恒定流时也是沿迹线积分。此时xd xud tyd yud tzd zud t 推导推导1：伯努利积分是以下四个具体条件下的积分伯努利积分是以下四个具体条件下的积分: : 将欧拉运动微分方程分别乘以将欧拉运动微分方程分别乘以dx、dy、dz，然后相加，得：，然后相加，得：1()()xyzyxzpppf dxf dyf dzdxdydzxyzdudududxdydzdtdtdt1xxd upfxd t1zzd upfzd t1yyd

6、 upfyd t 利用上述四个条件，带入得：利用上述四个条件，带入得：212xxyyzzudWdpu duu duu dudd W1dpxxyyzzu duu duu du 因为因为C，故上式可以写成故上式可以写成212xxyyzzudWdpu duu duu dud2()02pud W 积分得：积分得：22puWc 这就是理想流体的伯努利积分式。这就是理想流体的伯努利积分式。对于不同的流线伯努利对于不同的流线伯努利积分常数一般是不相同的积分常数一般是不相同的。它表明对于不可压缩的理想流体在有势的质量力它表明对于不可压缩的理想流体在有势的质量力作用下作恒定流动时，在同一流线上机械能保持作用下作

7、恒定流动时，在同一流线上机械能保持不变。不变。 当质量力只有重力时，当质量力只有重力时，fx0，fy0，fzg，xyzdWf dxf dyf dzgdz 积分得：积分得：Wgz ( (取积分常数为取积分常数为0),0),代入伯努利积分式有代入伯努利积分式有22pugzc 对同一流线上任意两点对同一流线上任意两点1 1和和2 2上式可以写成上式可以写成2211221222pupuzzgggg 这就是伯努利方程。该式仅适用于流场固体边界相对于地球这就是伯努利方程。该式仅适用于流场固体边界相对于地球没有相对运动的流体，也就是说流体所受的质量力只有重力。由没有相对运动的流体，也就是说流体所受的质量力只

8、有重力。由于流线是元流的极限情况，上式也适用于理想流体的元流，所以于流线是元流的极限情况，上式也适用于理想流体的元流，所以可将其看做元流的能量方程。可将其看做元流的能量方程。 推导推导2设在理想液体恒定流中，取一微小元流设在理想液体恒定流中，取一微小元流 依牛顿第二定律依牛顿第二定律： ssmaF其中其中： dtduas一元流时一元流时 dsduudtdsdsdudtdusuu)(任意两个断面：任意两个断面： 2211221222pupuzzgggg00ZZdZds12pp+dpdG=gdAdsdA()cosdupdApdp dAgdAdsdAds uds2()02pud Zgg22puZcg

9、g沿流线积分得沿流线积分得：不可压缩理想液体恒定流元流的能量方程式不可压缩理想液体恒定流元流的能量方程式方程式的物理意义方程式的物理意义2211221222pupuzzgggg001Z2Z12位置水头位置水头压强水头压强水头流速水头流速水头测压管水头测压管水头总水头总水头单位位能单位位能单位压能单位压能单位动能单位动能单位势能单位势能单位总机械能单位总机械能 表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，元流内不同过表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，元流内不同过水断面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。水断面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。实际液体恒定流元流的能量方程式

10、实际液体恒定流元流的能量方程式2211221222pupuzzggggwhwh单位重量液体从断面单位重量液体从断面1-11-1流至断面流至断面2-22-2所损失所损失的能量，称为水头损失。的能量，称为水头损失。001Z2Z12wh22112212()()22wQQpupuZgdQZhgdQgggg实际液体恒定总流的能量方程式实际液体恒定总流的能量方程式 将构成总流的所有元流的能量方程式叠加起来，即为将构成总流的所有元流的能量方程式叠加起来，即为总流的能量方程式。总流的能量方程式。22112212()()22wQQQQQpupuZgdQgdQZgdQgdQhgdQgggg()QpZgdQg均匀流

11、或渐变均匀流或渐变流过水断面上流过水断面上()pZCg()QpZg dQg()pZgQg22QugdQgdQudA32Agu dAg33Au dAV A动能修正系数动能修正系数,1.05,1.051.11.132gV Ag22VgQgwQhgdQ取平均的取平均的h hw wwQhgdQwhgQ11()pZgQg2112VgQg22()pZgQg2222VgQgwhgQVu，221112221222wpVpVZZhgggg221112221222wpVpVZZhgggg2001Z2Z1wh12 实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是

12、从水头大处流向水头小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。 12wHHh12wEEh总水头线测压管水头线22Vg 实际液体总流的总水头线必定是一条实际液体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是下降的线也可能是上升的线甚至可能是一下降的线也可能是上升的线甚至可能是一条水平线。条水平线。水力坡度水力坡度J J单位长度流程上的水头损失，单位长度流程上的水头损失，wwhdhdHJLdLdL测压管坡度测压管坡度()ppd ZgJdL 方程式的物理意义：方程式的物理意义：应用能量方程式

13、的条件：应用能量方程式的条件：221112221222wpVpVZZhgggg水流必需是恒定流；水流必需是恒定流；作用于液体上的质量力只有重力；作用于液体上的质量力只有重力；在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件，但所取的在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件，但所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流；两个断面之间，水流可以不是渐变流；在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加入或在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加入或分出。若有分支，则可对两支水流分别建立能量方程式，例如图示有分出。若有分支，则可对两支水流分别建立能量方程式，例如图示有支流的

14、情况下支流的情况下, ,能量方程为：能量方程为：流程中途没有能量流程中途没有能量H H输入或输出。若有，则能量方程式应为：输入或输出。若有，则能量方程式应为：Q1Q2Q311223322333111131 322wpVpVZZhgggg22333222232 322wpVpVZZhgggg221112221222twHpVpVZZhgggg2211 122 21222wpVpVZZhgggg 应用能量方程式的注意点：应用能量方程式的注意点： 选取高程基准面；选取高程基准面； 选取两过水断面；选取两过水断面； 所选断面上水流应符合渐变流的条件，但两个断所选断面上水流应符合渐变流的条件，但两个断面

15、之间，水流可以不是渐变流。面之间，水流可以不是渐变流。 选取计算代表点；选取计算代表点； 选取压强基准面；选取压强基准面； 动能修正系数一般取值为动能修正系数一般取值为1.01.0。能量方程式的应用能量方程式的应用 例例1.1.如图所示，一等直径的输如图所示，一等直径的输水管，管径为水管，管径为d=100mmd=100mm，水箱水位，水箱水位恒定，水箱水面至管道出口形心点恒定，水箱水面至管道出口形心点的高度为的高度为H=2mH=2m，若不计水流运动的，若不计水流运动的水头损失，求管道中的输水流量。水头损失，求管道中的输水流量。H分析：分析：Q= =VA；A= =d2/ /4所以需要用能量方程式

16、求出所以需要用能量方程式求出V；221100解：对解：对1-11-1、2-22-2断面列能量方程式：断面列能量方程式：22122000022VVgg其中：其中：2102Vg所以有：所以有：2222Vg可解得：可解得：246.26/Vgms则：则：22323.140.16.260.049/44dQVms答：该输水管中的输水流量为答：该输水管中的输水流量为0.049m0.049m3 3/s/s。例例2毕托管测毕托管测流速。流速。如图所示如图所示22uuhgBAzAzBBpg uApg202AABABpupzzggg解：先按理想流体研究，应用恒定元流的伯努利方程，有解：先按理想流体研究，应用恒定元流

17、的伯努利方程，有22BABAuppugzzghgg考虑到实际流体粘性作用考虑到实际流体粘性作用引起的水头损失，计算引起的水头损失，计算A点流速时尚需修正，即点流速时尚需修正，即2uugh称为毕托管称为毕托管系数，由实系数，由实验测定，其验测定，其值接近于值接近于1.0若将测压管改为若将测压管改为液体压差计，速液体压差计，速度度u应等于多少？应等于多少？2?uugh采用压差计时采用压差计时A点的流速为点的流速为文丘里流量计（文丘里量水槽）文丘里流量计（文丘里量水槽）1 12 2收缩段收缩段喉管喉管扩散段扩散段hh1h2h1h2B1B2111222h以管轴线为高程基准面，暂不计水头损失，以管轴线为

18、高程基准面，暂不计水头损失，对对1-11-1、2-22-2断面列能量方程式：断面列能量方程式：221212022VVhhgg整理得：整理得：2221122VVhhhg由连续性方程式可得：由连续性方程式可得：21222211VAdVAd或或21212()dVVd 代入能量方程，整理得：代入能量方程，整理得：14122()1ghVdd则则211 141224()1dghQ AVK hdd当水管直径及喉管直径确定后，当水管直径及喉管直径确定后，K为为一定值，可以预先算出来。一定值，可以预先算出来。 若考虑水头损失，实际流量会减小，则若考虑水头损失，实际流量会减小，则QKh称为文丘里管的流量系数，称为

19、文丘里管的流量系数，一般约为一般约为0.950.98 虽然恒定总流伯努利方程是在不可压缩这样的虽然恒定总流伯努利方程是在不可压缩这样的流动模型基础上提出的，但在流速不高（小于流动模型基础上提出的，但在流速不高（小于 68m 68m / s ) / s ) ，压强变化不大的情况下，同样可以应用于，压强变化不大的情况下，同样可以应用于气体。气体。whgvpzgvpz+2+=2+2222221111恒定气流能量方程式恒定气流能量方程式 能量方程用于气体流动时，由于水头概念没有像能量方程用于气体流动时，由于水头概念没有像液体流动那样明确具体，我们将方程各项乘以容重液体流动那样明确具体，我们将方程各项乘

20、以容重 ，转变为，转变为压强压强的因次。并且压强的因次。并且压强同取绝对压强同取绝对压强。 液体在管中流动时，由于液体的容重远大于空气液体在管中流动时，由于液体的容重远大于空气容重，一般可以容重，一般可以忽略大气压强因高度不同的差异忽略大气压强因高度不同的差异。即即 则有则有考虑大气压强因高度不同的差异考虑大气压强因高度不同的差异1.1.气体的伯努利方程气体的伯努利方程（1 1）用绝对压强）用绝对压强（m）2211221222wpvpvzzhgggg常用压强表示（常用压强表示（Pa）2212112222wvvgzpgzppv1v2p1p2z1z200a1122（2 2）用相对压强）用相对压强1

21、11appp2222121aaapppppg zz wapvpzzgvp2222212211用相对压强计算的气体伯努利方程用相对压强计算的气体伯努利方程v1v2p1p2z1z200a1122 wapvpzzgvp2222212211用相对压强计算的气体伯努利方程用相对压强计算的气体伯努利方程p静压静压v2/2动压动压(a-)g(z2-z1)位压位压注意：注意：z2-z1下游断面高度下游断面高度减上游断面高度（减上游断面高度（）；）；a-外界大气密度减管内外界大气密度减管内气体密度（气体密度（） ；z2=z1或或a=位压为零位压为零2.2.压力线压力线22v 12zzgap总压线总压线势压线势压

22、线位压线位压线零压线零压线动压动压静压静压位压位压静压静压+动压动压=全压全压静压静压+动压动压+位压位压=总压总压3.3.例：气体由压强为例：气体由压强为12mmH12mmH2 2O O的静压箱的静压箱A A经过直径为经过直径为10cm10cm、长为、长为100m100m的管子流出大气中，高差为的管子流出大气中，高差为40m40m，沿管子均匀作用的压强损失为沿管子均匀作用的压强损失为p pw w=9=9vv2 2/2/2，大气密，大气密度度a a=1.2kg/m=1.2kg/m3 3，（，（a a）当管内气体为与大气温度）当管内气体为与大气温度相同的空气时；（相同的空气时；（b b）当管内为

23、）当管内为=0.8kg/m=0.8kg/m3 3燃气时，燃气时，分别求管中流量，作出压力线，标出管中点分别求管中流量，作出压力线，标出管中点B B的压的压强强AB100m40mC解解： （a a）管内为空气时，取管内为空气时，取A、C断面列能量方程断面列能量方程29222vvpA22 . 1922 . 18 . 91222vvsmv/43. 4smvAQ/0348. 03作压力线作压力线PapA6 .1178 . 912Pav106292Pav7 .1122117.6B总压线总压线势压线势压线pAAB100m40mC（b b）管内为燃气时，取管内为燃气时，取A、C断面列能量方程断面列能量方程

24、2922212vvzzgpaA28 . 0928 . 00408 . 98 . 02 . 18 . 91222vv4 .2486 .271581184 .2486 .27276即即作压力线作压力线276B总压线总压线势压线势压线158位压线位压线p解得解得8.3/vm s30.0652/QvAms例：空气由炉口例：空气由炉口a a流入，通过燃烧，经流入，通过燃烧，经b b、c c、d d后流后流出烟囱，空气出烟囱，空气a a=1.2kg/m=1.2kg/m3 3，烟气，烟气=0.6kg/m=0.6kg/m3 3，损，损失压强失压强p pw w=29=29vv2 2/2/2，求出口流速，作出压力

25、线，并，求出口流速，作出压力线，并标出标出c c处的各种压强处的各种压强解解：取：取a a、b b断面列能量方程断面列能量方程 22922212vvzzga26 . 02926 . 0508 . 96 . 02 . 122vv2 .28426 . 02942vsmv/7 . 5a ab bc cd d0m0m5m5m50m50m作压力线c点：总压势压静压全压pcc2pcc1pc3c1pc3c2294c3c2c1c总压线势压线位压线零压线abd 如果您有任何问题，如果您有任何问题，请毫不犹豫地提出请毫不犹豫地提出 ! ! In case of you have any question, DO

26、NOT hesitate to ask me !欢欢 迎迎 提提 问问2 21 1KKt+ +t时刻时刻1122实际液体恒定总流的动量方程式实际液体恒定总流的动量方程式1122t时刻时刻依动量定律依动量定律： dKFdt 即即:单位时间内，物体动量单位时间内，物体动量增量等于物体所受外力之和。增量等于物体所受外力之和。 dt时段内，动量的增量：时段内，动量的增量：1 21 2dKKKdA1u1u2dA2u1dt11dmu dtdA1111dKu dmuu dtdA21222111AAuu dtdAuu dtdA在均匀流或渐变流过水断面上在均匀流或渐变流过水断面上uV212 221 11AAu

27、u dtdAuudtdA2122221111AAd tvu d Ad tvu d A2211()FQVV 代入动量定律，整理得：代入动量定律，整理得： 上式即为实际液体恒定总流的动量方程式。上式即为实际液体恒定总流的动量方程式。2221112211()dtQ VdtQVQVV dt 作用于总流流段上所有外力作用于总流流段上所有外力的矢量和。的矢量和。 单位时间内，通过所研究单位时间内，通过所研究流段下游断面流出的动量与上流段下游断面流出的动量与上游断面流入的动量之差。游断面流入的动量之差。动量方程的投影表达式：动量方程的投影表达式：2211()xxxFQVV2211()yyyFQVV2211(

28、)zzzFQVV 适用条件：适用条件：不可压缩液体、恒定流、过水断面为均匀不可压缩液体、恒定流、过水断面为均匀流或渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。流或渐变流过水断面、无支流的汇入与分出。222333111FQVQVQV 如图所示的一分叉管路，动量方程式应为：如图所示的一分叉管路，动量方程式应为：v3112233Q3Q1Q2v1v2应用动量方程式的注意点：应用动量方程式的注意点：围取控制体；围取控制体； 正确分析受力，未知力设定方向；正确分析受力，未知力设定方向； 建立坐标系建立坐标系 右侧为右侧为( (下游下游断面的动量断面的动量)-()-(上游上游断面的动量断面的动量) ) 设设11，1

29、1。 1122FP1FP2FRFGxzy动量方程式在工程中的应用动量方程式在工程中的应用弯管内水流对管壁的作用力弯管内水流对管壁的作用力水流对建筑物的作用力水流对建筑物的作用力射流对平面壁的冲击力射流对平面壁的冲击力弯管内水流对管壁的作用力弯管内水流对管壁的作用力管轴水平放置管轴水平放置管轴竖直放置管轴竖直放置1122FP1=p1A1FP2=p2A2FRFGxzyV1V2FRzFRx沿沿x x方向列动量方程为：方向列动量方程为：111 1(0)Rxp AFQV1111RxFp AQV 沿沿z方向列动量方程为：方向列动量方程为：2222(0)GRzp AFFQV2222RzGFp AFQV 沿沿

30、x x方向列动量方程为：方向列动量方程为：111 1(0)Rxp AFQV1111RxFp AQV 沿沿y方向列动量方程为：方向列动量方程为：2222(0)RyFp AQV2222RyFp AQV FP1=p1A1FP2=p2A2FRV1V2FryFRxxy水流对建筑物的作用力水流对建筑物的作用力FP1122xFP1=gbh12/2FP2= gbh22/2FR沿沿x方向列动量方程为：方向列动量方程为：12221 1()PPRFFFQVV12221 12212212221221()11()221111()22RPPFFFQVVQQgbhgbhQAAQgbhgbhbhh射流对平面壁的冲击力射流对平面壁的冲击力FPV000VV1122FRV0VVx沿沿x方向列动量方程为：方向列动量方程为：00(0)RFQV00RFQV 整理得：整理得：例