高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：9.5古典概型word版含答案(精编版)

1、第五节古典概型古典概型(1) 理解古典概型及其概率计算公式(2) 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率知识点古典概型古典概型(1) 特点：试验中所有可能出现的结果个数只有有限个，即有限性每个结果发生的可能性相等，即等可能性(2) 概率公式：事件a包含的可能结果数mp(a)试验的所有可能结果数 n .易误提醒(1)在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的(2)概率的一般加法公式p(ab) p(a) p(b) p(a b)中，易忽视只有当a b ?，即 a， b 互斥时 ，p(a b) p(a) p(b)， 此时 p(a b) 0. 自测练习 1.

2、有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()1a. 32b.123c.3d.4解析： 甲、乙两位同学参加3 个小组的所有可能性有3×3 9 种，其中，甲、乙参加同一小组的情况有3 种故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率p31答案： a9 3.2. 从一副混合后的扑克牌(52 张)中，随机抽取1 张事件a 为“抽到红桃k ”，事件b 为“抽到黑桃”，则p(a b) ( 结果用最简分数表示)解析 ： p(a) 1 ， p(b) 13p(ab) p(a)p(b) 1 1314 7 .52答案： 72652，

3、525252263. (2016 ·南京模拟 )现从甲、乙、丙3 人中随机选派2 人参加某项活动，则甲被选中的概率为 解析 ：从甲、乙、丙3 人中随机选派2 人参加某项活动，有甲、乙，甲、丙，乙、丙三.种可能，则甲被选中的概率为23答案： 234(2016 ·昆明模拟 )投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀， 且各个面上依次标有点数 1,2,3,4,5,6) 一次，则两颗骰子向上点数之积等于12 的概率为 解析 ：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36 种等可能的结果：(1,1) ，(1,2) ，(1,3)，36(6,6) 点数积等于12 的结果有： (2,6)，(3,4)，(

4、4,3)，(6,2) ，共 4 种，故所求事件的概率为41.9答案： 19考点一古典概型 |1. 从 1,2,3,4 这四个数字中依次取(不放回 )两个数 a， b，使得 a2 4b 的概率是 ()1a. 31b. 5127c.2d.12解析： 基本事件为 (1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,3)， (2,4)，(4,3)，共 12 个，符合条件的有 (2,1)， (3,1)， (3,2) ， (4,1)， (4,2)， (4,3) ，共 6 个，因此使得a24b 的概率是 1.2答案： c2. (2015 ·高考湖南卷) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额

5、的商品后即可抽奖抽奖方法是：从装有2 个红球 a1， a2 和 1 个白球 b 的甲箱与装有2 个红球 a1，a2 和 2 个白球 b1， b2 的乙箱中，各随机摸出1 个球若摸出的2 个球都是红球则中奖，否则不中奖(1) 用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2) 有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率你认为正确吗？请说明理由解： (1)所有可能的摸出结果是 a1，a1 ， a1，a2 ， a1，b1 ， a1，b2 ， a2，a1 ， a2， a2 ， a2 ，b1 ， a2， b2 ， b， a1 ， b， a2 ， b， b1 ， b， b2 (2)不正确理由

6、如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12 种， 其中摸出的2 个球都是红球的结果为 a1，a1 ， a1，a2 ， a2，a1 ， a2，a2 ，共 4 种，所以中奖的概率为4 1，不中奖的概率为111233>2 1，故这种说法不正确 3 3计算古典概型事件的概率可分三步(1) 算出基本事件的总个数n.(2) 求出事件 a 所包含的基本事件个数m.(3) 代入公式求出概率 p.考点二古典概型的交汇命题|古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高归纳起来常见的交汇探究角度有：1. 古典概型与平面向量相结合2. 古典概

7、型与直线、圆相结合3. 古典概型与函数相结合4. 古典概型与统计相结合探究一古典概型与平面向量相结合1已知向量a (x， 1)， b (3，y) ，其中 x 随机选自集合 1,1,3 ，y 随机选自集合1,3,9 (1) 求 a b 的概率；(2) 求 a b 的概率解(1)由题意，得 (x，y)所有的基本事件为( 1， 1)， ( 1,3)， ( 1,9)， (1,1)， (1,3) ， (1,9) ， (3,1)， (3,3)， (3,9) ，共 9 个(1) 设“ a b”为事件 a，则 xy 3.事件 a 包含的基本事件有( 1,3)，共 1 个.故 ab 的概率为 p(a) 19(2

8、) 设“ a b”为事件 b，则 y3x.事件 b 包含的基本事件有(1,3) ， (3,9)，共 2 个.故 ab 的概率为 p(b) 29探究二古典概型与直线、圆相结合2(2015 ·洛阳统考 )将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a， b，则直线axby 0 与圆( x2) 2y2 2 有公共点的概率为 解析 ：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)， (1,3) ，(6,6)，共 36 种，其中满足直线ax by 0 与圆(x 2)2 y2 2 有公共点，即满足2a2， a2 b2 的数组 (a， b)有(1,1)， (1,2)

9、， (1,3)， (1,4)， (6,6)，共65 4 3a2 b22 1 21 种，因此所求的概率等于2136712.答案： 712探究三古典概型与函数相结合13设 a 2,4 ， b1,3 ，函数 f(x) 2ax2 bx1.(1) 求 f (x)在区间 ( ， 1 上是减函数的概率；(2) 从 f (x)中随机抽取两个，求它们在(1， f(1) 处的切线互相平行的概率解： (1)f (x)ax b，由题意 f ( 1) 0，即 b a，而(a，b)共有 (2,1)，(2,3)，(4,1)，3(4,3) 四种，满足b a 的有 3 种，故概率为 4.(2)由(1) 可知，函数f (x)共有

10、 4 种可能，从中随机抽取两个，有6 种抽法函数 f (x)在(1， f(1) 处的切线的斜率为f (1) a b，.这两个函数中的a 与 b 之和应该相等，而只有(2,3)， (4,1)这 1 组满足，概率为16探究四古典概型与统计相结合4(2015 ·高考安徽卷 )某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示 )，其中样本数据分组区间为：40,50) ， 50,60) ， 80,90) ， 90,100 (1) 求频率分布直方图中a 的值；(2) 估计该企业的职工对该部门评分不低于80 的概率；(

11、3) 从评分在 40,60) 的受访职工中，随机抽取2 人，求此2 人的评分都在40,50) 的概率解： (1)因为 (0.004 a 0.018 0.022× 2 0.028)× 10 1，所以 a 0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于80 的频率为 (0.022 0.018)× 100.4，所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80 的概率为0.4.(3)受访职工中评分在50,60) 的有： 50× 0.006 × 10 3(人)，记为 a1， a2， a3； 受访职工中评分在40,50) 的有： 50

12、15; 0.004× 10 2(人)，记为 b1， b2.从这 5 名受访职工中随机抽取2 人，所有可能的结果共有10 种，它们是 a1，a2 ， a1，a3 ， a1，b1 ， a1，b2 ， a2，a3 ， a2，b1 ， a2，b2 ， a3，b1 ， a3，b2 ， b1，b2 ，又因为所抽取2 人的评分都在40,50) 的结果有 1 种，即 b1， b ，故所求的概率为.1210解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件， 求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算9.古典概型综合问题的答题模板【典例】(12 分)(201

13、5 ·高考福建卷 )全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标根据相关报道相供的全网传播2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示 .组号分组频数14,5)225,6)836,7)747,83(1) 现从融合指数在4,5) 和7,8 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2 家进行调研， 求至少有 1 家的融合指数在7,8 内的概率；(2) 根据分组统计表求这20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数易误点析 (1) 观察表中数据，先求出样本空间所含的基本事件数，再求出至少有

14、1 家的融合指数在 7,8 内所含的基本事件数，最后利用古典概型的概率公式，即可求出所求事件的概率； (2)利用频率分布直方图中的平均数的计算方法，即可得结果规范解答 (1) 法一：融合指数在7,8 内的 3 家“省级卫视新闻台”记为 a1，a2， a3；融合指数在 4,5) 内的 2 家“省级卫视新闻台”记为 b1， b2.从融合指数在 4,5) 和7,8 内的 5 家“省级卫视新闻台 ”中随机抽取2 家的所有基本事件是： a1， a2 ， a1， a3 ， a2，a3 ， a1，b1 ， a1， b2 ， a2，b1 ， a2， b2 ， a3， b1 ， a3， b2 ， b1， b2

15、，共 10 个 (3 分)其中，至少有1 家的融合指数在7,8 内的基本事件是： a1， a2 ， a1，a3 ， a2，a3 ， a1， b1 ， a1， b2 ， a2， b1 ， a2， b2 ， a3，b1 ， a3， b2 ，共 9 个 (6 分)分所以所求的概率p 9 .(8)10法二：融合指数在7,8 内的3 家“省级卫视新闻台”记为a1，a2， a3；融合指数在 4,5) 内的 2 家“省级卫视新闻台”记为 b1，b2.从融合指数在 4,5) 和7,8 内的 5 家 “省级卫视新闻台”中随机抽取2 家的所有基本事件是： a1，a2 ， a1 ，a3 ， a2， a3 ， a1，

16、 b1 ， a1，b2 ， a2， b1 ， a2， b2 ， a3， b1 ， a3， b2 ， b1，b2 ，共 10 个 (3 分)其中，没有1 家的融合指数在7,8 内的基本事件是： b1 ，b2 ，共 1 个 (6 分)所以所求的概率p 1 1 9 .(8 分)1010(2)这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4 5× 2 5.5× 8 6.5× 7 7.5× 3 6.05.(12 分)2020模板形成 2020审题求出样本空间所含的基本事件数再分析并求出所求事件的事件数利用古典概型公式求概率根据统计知识求解相关问题反思解题过程，

17、注意规范化跟踪练习 在正六边形的6 个顶点中随机选择4 个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为 ()1211a. 5b. 5c.6d. 8解析： 如图，在正六边形abcdef 的 6 个顶点中随机选择4 个顶点， 共有 15 种选法，其中构成的四边形是梯形的有abef，bcde ，abcf ，cdef ，abcd ，adef ，共 6 种情况，故构成的四边形是梯形的概率p 6 15答案： b2，故选 b. 5a 组考点能力演练1第 22 届冬季奥运会于2014 年 2 月 7 日在俄罗斯索契开幕，到冰壶比赛场馆服务的大学生志愿者中，有2 名来自莫斯科国立大学，有4 名来自圣彼得堡国立大学，现从这

18、6名志愿者中随机抽取2 人，则至少有1 名志愿者来自莫斯科国立大学的概率是()a. 14153b. 1152c.5d.5解析： 从 6 人中抽取2 人的基本事件个数为15，而事件 “ 两名志愿者都来自圣彼得堡5国立大学 ”包含的基本事件个数为6，所求概率为p 1 6 3答案： c15.故选 c.2(2016 ·威海一模 )从集合 2,3,4,5 中随机抽取一个数a，从集合 1,3,5 中随机抽取一个数 b，则向量m ( a， b)与向量 n (1， 1)垂直的概率为()a. 164c.1b.132d.1解析： 由题意可知m (a， b)有： (2,1) ， (2,3)， (2,5)，

19、 (3,1) ，(3,3)， (3,5)， (4,1) ， (4,3)， (4,5) ， (5,1)， (5,3)， (5,5) ，共 12 种情况因为 m n，即 m·n 0，所以 a× 1 b× ( 1)0，即 ab， 满足条件的有(3,3)， (5,5)共 2 个，.故所求的概率为16答案： a3记 a，b 分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2 ax 2b 0 有两个不同实根的概率为 ()51a. 18b.439c.10d.10解析： 由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a，b，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4) ，(1,5)，

20、(1,6)， (6,1)， (6,2)，(6,3) ， (6,4)， (6,5)， (6,6)，共 36 种，而方程x2 ax 2b 0 有两个不同实根的条件是a2 8b>0，因此满足此条件的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1) ， (5,2)， (5,3)， (6,2) ，(6,3) ，(6,4)，共 9 个，故所求的概率为9 1.364答案： b4 (2016 ·亳州质检 )已知集合m 1,2,3,4 ，n ( a， b)|a m， bm ， a 是集合 n 中任意一点， o 为坐标原点，则直线oa 与 y x2 1 有交点的概率是()a. 121b.1

21、31c.4d.8解析： 易知过点 (0,0)与 yx2 1 相切的直线为y 2x(斜率小于0 的无需考虑 )，集合 n中共有 16 个元素，其中使oa 斜率不小于2 的有 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4) ，共 4 个，故所求的概率为 4 1.164答案： c5. 一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b， b<c 时称为“凹数” (如 213,312 等)，若 a， b， c 1,2,3,4 ，且 a，b，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是()a. 161b. 5247c.3d.24解析 ：由 1,2,3 组成的三位数有123,

22、132,213,231,312,321 ，共 6 个 由 1,2,4 组成的三位自然数共6 个；由 1,3,4 组成的三位自然数也是6 个；由 2,3,4 组成的三位自然数也是6 个 所以共有 6 6 6 6 24 个当 b1 时，有 214,213,314,412,312,413 ，共 6 个“ 凹数” 当 b2 时，有 324,423 ，共 2 个“ 凹数”故这个三位数为“ 凹数 ”的概率 p 6 21.答案： c24 36. 从 2 男 3 女共 5 名同学中任选2 名(每名同学被选中的机会均等)，这 2 名都是男生或都是女生的概率等于 解析： 设 2 名男生为a， b,3 名女生为a，

23、 b，c，则从 5 名同学中任取2 名的方法有 (a， b)， (a， a)， (a，b)， ( a， c)， (b，a) ，(b， b)， (b，c)， (a， b)， (a， c)， (b， c)，共 10 种，而这 2 名同学刚好是一男一女的有(a， a)， (a， b)，( a， c)， (b， a)， (b， b)， (b， c)，共 6种，故所求的概率p 1 6 210.5答案： 25x7设集合p 2， 1,0,1,2 ， x p 且 y p，则点 (x， y)在圆为2 y2 4 内部的概率25解析： 以(x，y)为基本事件，可知满足 x p 且 y p 的基本事件有 25 个若点

24、 (x， y)在圆 x2 y2 4 内部，则 x，y 1,1,0 ，用列表法或坐标法可知满足 x 1,1,0 且 y 1,1,0 的基本事件有 9 个所以点 (x， y)在圆 x2y 24 内部的概率为 9 .答案： 9258. 将一颗骰子投掷两次分别得到点数a， b，则直线ax by 0 与圆(x 2) 2y22 相交的概率为解析： 圆心 (2,0) 到直线 ax by0 的距离 d|2a|，当 d<2时，直线与圆相交，则有 d|2a|a2 b2<2，得 b>a，满足题意的b>a 共有 15 种情况，因此直线ax by 0 与圆 (xa2 b22) 2 y22 相交的

25、概率为15 5 .3612答案： 5129. 甲、乙两校各有3 名教师报名支教，其中甲校2 男 1 女，乙校1 男 2 女 (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1 名，求选出的2 名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6 名教师中任选2 名，求选出的2 名老师来自同一学校的概率解： (1)从甲、乙两校报名的教师中各选1 名，共有n c1×c1 9 种选法33记“ 2 名教师性别相同”为事件 a，则事件 a 包含基本事件总数m c112·1 c2·1 4，m4p(a) n 9.6(2)从报名的6 人中任选2 名，有 n c2 15 种选法3记“ 选出的 2 名老

26、师来自同一学校” 为事件 b，则事件b 包含基本事件总数m2c26.选出 2 名教师来自同一学校的概率p(b) 6 215510. (2016 ·烟台一模 )某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50 名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100 分)，数学成绩分组及各组频数如下：40,50) ， 2； 50,60)， 3； 60,70) ， 14； 70,80) ， 15； 80,90) ， 12； 90,100) ， 4.(1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上； (2)估计成绩在85 分以上学生的比例；(3) 为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二

27、帮一”小组，即从成绩90,100) 中选两位同学， 共同帮助成绩在40,50) 中的某一位同学 已知甲同学的成绩为42 分， 乙同学的成绩为95 分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率样本频率分布表解： (1)样本的频率分布表：分组频数频率40,50)20.0450,60)30.0660,70)140.2870,80)150.3080,90)90,100)40.08合计分组频数频率40,50)20.0450,60)30.0660,70)140.2870,80)150.3080,90)120.2490,100)40.08合计501.00(2)估计成绩在85 分以上的有64 10 人，所以估

28、计成绩在85 分以上的学生比例为101.50 5(3)40,50) 内有 2 人，记为甲、 a.90,100) 内有 4 人，记为乙， b、 c、 d.则“ 二帮一 ” 小组有以下12 种分组办法： ( 甲，乙， b)， (甲，乙， c)， (甲，乙， d )，(甲， b， c) ，(甲， b， d)， (甲， c，d )，( a，乙， b)， (a，乙， c)， (a，乙， d)， (a， b， c)， (a， b， d)， (a，c， d)其中甲、乙两同学被分在同一小组有3 种办法： (甲，乙， b)， (甲，乙， c)， (甲，乙，d)所以甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为p 3

29、1.124b 组高考题型专练1 (2015 ·高考广东卷 )袋中共有15 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球， 5个红球从袋中任取2 个球，所取的2 个球中恰有1 个白球， 1 个红球的概率为()a. 5 2111b.1021c.21d 1解析：由题意得基本事件的总数为c2 ，恰有 1 个白球与 1 个红球的基本事件个数为c11510c11c1，所以所求概率p10c510c2152.15答案： b2(2015 ·高考江苏卷 )袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中1 只白球， 1 只红球， 2只黄球从中一次随机摸出2 只球，则这2 只球颜色不同的概率为 解析： 从

30、 4 只球中一次随机摸出2 只球， 有 6 种结果， 其中这 2 只球颜色不同有5 种结.果，故所求概率为56答案： 563(2015 ·高考四川卷 )一辆小客车上有5 个座位， 其座位号为1,2,3,4,5.乘客 p1，p2，p3， p4， p5 的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车乘客p1 因身体原因没有坐自己的1 号座位， 这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位 空着， 就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这 5 个座位的剩余空位中任意选择座位(1) 若乘客 p1 坐到了 3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4 种坐法下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；p1p2p3p4p53214532451乘客座位号(2) 若乘客 p1 坐