高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.3圆的方程word版含答案(精编版)

1、第三节圆的方程圆的方程(1) 掌握确定圆的几何要素(2) 掌握圆的标准方程与一般方程知识点一圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆(x a)2 ( yb)2 标准2圆心 c(a，b)半径为 rr (r>0)方充要条件： d 2 e24f>0程,x2 y2dx ey fde一般圆心坐标： 2 ， 20半径 r 12d 2 e2 4f易误提醒(1)标准方程 (x a)2 (y b)2 r 2(r>0) 中易忽视右端为半径r 的平方， 而不是半径(2)对于方程x2y2 dx ey f 0 表示圆时易忽视d 2 e2 4f>0 这一成立条件 必备方法求圆的方程时

2、，要注意应用圆的几何性质简化运算(1) 圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2) 圆心在任一弦的中垂线上(3) 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线 自测练习 x1圆2 y24x 8y 50 的圆心与半径分别为()a ( 2,4)， 5b (2， 4)， 5c( 2,4)，15d (2， 4)，15解析： 圆心坐标为 (2， 4)，半径 r 12 4 2 82 4× 5 5.答案： b2圆心在直线x 2y 3 0 上，且过点 a(2，3) ，b(2， 5)的圆的方程为 解析 ：法一：设点c 为圆心，因为点c 在直线 x 2y 3 0 上，所以可设点c 的坐标为(2 a 3， a)又

3、该圆经过a， b 两点，所以 |ca | |cb|， 即2a3 2 2 a 3 22a3 2 2 a 5 2，解得 a 2，所以圆心 c 的坐标为 ( 1， 2)，半径 r 10.故所求圆的方程为(x 1)2( y2) 210.法二：设所求圆的标准方程为(x a)2 (y b)2 r2，2 a 2 3 b 2 r 2，由题意得 2 a 2 5 b 2 r 2，a 2b 3 0，a 1， 解得b 2，r 2 10，故所求圆的方程为(x 1)2( y2) 210.答案： (x1) 2 (y 2)2 10知识点二点与圆的位置关系1. 确定方法： 比较点与圆心的距离与半径的大小关系2. 三种关系： 圆

4、的标准方程(x a)2 (y b)2 r 2，点 m(x0 ，y0 ) (1)( x0 a)2 (y0 b)2 r2 ? 点在圆上(2)( x0 a)2 (y0 b)2>r 2? 点在圆外(3)( x0 a)2 (y0 b)2<r 2? 点在圆内易误提醒若圆的方程为x2 y2 dx ey f 0，点 m( x0，y0 )注意点 m 与圆的位置关系满足条件 自测练习 3. 若点 (1,1)在圆 (x a)2 (y a)2 4 的内部，则实数a 的取值范围是() a 1<a<1b 0<a<1ca>1 或 a< 1d a ±1解析： 因为点

5、(1,1)在圆的内部， (1 a)2 (1 a)2<4， 1< a<1.答案： a考点一圆的方程 |1 (2015 ·高考北京卷 )圆心为 (1,1)且过原点的圆的方程是() a (x 1)2( y1) 2 1b( x 1) 2 (y1) 2 1c( x 1) 2 (y1) 2 2 d (x 1)2( y1) 2 2解析： 因为圆心为 (1,1) 且过原点，所以该圆的半径r 12 122，则该圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2.答案： d2 (2015 ·高考全国卷 )过三点 a(1,3)， b(4,2)， c(1， 7)的圆交 y 轴于 m，n 两

6、点， 则|mn | ()a 26b 8c46d 10解析： 设过 a， b， c 三点的圆的方程为x2 y2 dx ey f 0，d 3e f 10 0， 则 4d 2e f 20 0，d 7ef 50 0，解得d 2， e 4， f 20，所求圆的方程为x2 y22x 4y 20 0，令 x0，得 y2 4y20 0，设 m (0，y1) ，n(0，y2)，则 y1 y2 4，y1 y2 20，所以 |mn | |y1 y2|y1 y2 24y1 y2 46.故选 c.答案： c3 (2015广·州测试 )圆(x2 (y 2)2 1 关于直线y x 对称的圆的方程为()1)a (x

7、 2)2( y1) 2 1 b( x 1) 2 (y2) 2 1 c( x 2) 2 (y1) 2 1 d (x 1)2( y2) 2 1解析： 圆心 (1,2)关于直线y x 对称的点为 (2,1)，圆 (x 1)2 (y 2)2 1 关于直线yx 对称的圆的方程为( x2)2 (y 1)2 1.答案： a待定系数法求圆的方程的三个步骤 (1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x a)2 (y b)2 r 2. (2)根据已知条件，建立关于a， b， r 的方程组(3)解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求结果考点二与圆有关的最值范围问题|与圆有关的最值问题也是命题的热点内容

8、，它着重考查数形结合与转化思想归纳起来常见的命题角度有：1. 斜率型最值问题2. 截距型最值问题3. 距离型最值问题4. 距离和 (差)的最值问题5. 利用目标函数求最值 探究一斜率型最值问题1. 已知实数x，y 满足方程 x2 y2 4x 1 0.求解： 原方程可化为 (x 2)2y23，表示以 (2,0)为圆心，3为半径的圆 y的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，xy的最大值和最小值x所以设 y k，即 ykx.x如图所示， 当直线 ykx 与圆相切时， 斜率 k 取最大值或最小值，此时 |2k0| 3，解得 k ± 3. k2 1y所以 的最大值为3，最小值为3. x探究二截

9、距型最值问题2. 在 探究一 条件下求 y x 的最大值和最小值解： y x 可看作是直线y x b 在 y 轴上的截距，如图所示，当直线yx b 与圆相切时， 纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|2 0 b|3，解2得 b 2± 6.所以 yx 的最大值为26，最小值为 26.探究三距离型最值问题3. 在 探究一 条件下求 x2 y2 的最大值和最小值解析： 如图所示， x2 y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和 最小值又圆心到原点的距离为2 0 2 0 0 2 2，所以 x2 y2 的最大值是 (23)2 7 43

10、， x2 y2 的最小值是 (23)2 7 43.探究四距离和 (差) 最值问题4已知圆c1： (x 2)2 (y 3)2 1，圆 c2： (x 3)2 (y 4)2 9， m， n 分别是圆c1， c2 上的动点， p 为 x 轴上的动点，则|pm| |pn|的最小值为 ()a 52 4b.17 1c6 22d.17解析 ：圆心 c1(2,3)， c2(3,4)，作 c1 关于 x 轴的对称点c 1(2， 3)，连接 c 2c2 与 x轴交于点 p，此时 |pm| |pn|取得最小值，为|c2c2| 1 3 52 4.答案： a探究五利用目标函数求最值5已知直线ax by c 1 0(bc&

11、gt;0) 经过圆 x2 y2 2y 50是()的圆心，则41c 的最小值ba 9b 8c4d 2c解析 ：将 x2 y2 2y 5 0 化为 x2 (y1)2 6，圆心 (0,1)，代入 axby c 10 得 bc 1.41(b c) 4 1 5 4cb5 24cb 9.b c答案： abcb b ·c求解与圆有关的最值问题的两大规律(1) 借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解(2) 建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基

12、本不等式求最值是比较常用的考点三与圆有关的轨迹问题|已知圆 x2 y2 4 上一定点a(2,0)， b(1,1)为圆内一点， p， q 为圆上的动点(1) 求线段 ap 中点的轨迹方程；(2) 若 pbq 90°，求线段pq 中点的轨迹方程解(1)设 ap 的中点为m(x0， y0)，由中点坐标公式可知，p 点坐标为 (2x0 2,2y0) 因为 p 点在圆 x2 y2 4 上，所以 (2x0 2)2 (2y0) 24.故线段 ap 中点的轨迹方程为(x1) 2 y2 1. (2)设 pq 的中点为n(x ，y )在 rtpbq 中， |pn| |bn|.设 o 为坐标原点，连接on

13、，则 on pq， 所以 |op|2 |on|2 |pn |2 |on|2 |bn|2， 所以 x2y 2 (x 1)2 (y 1)2 4.故线段 pq 中点的轨迹方程为x2 y2 x y 10.求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法(1)直接法：根据题设条件直接列出方程 (2)定义法：根据圆的定义写出方程 (3)几何法：利用圆的性质列方程(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式(2016 ·唐山一中调研 )点 p(4 ， 2)与圆 x2 y2 4 上任一点连线的中点的轨迹方程是()a (x 2)2( y1) 2 1 b( x 2) 2 (y1) 2 4 c( x

14、 4) 2 (y2) 2 4 d (x 2)2( y1) 2 1解析： 设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为 (x，y)，则x1 4x2，y1 2y2，x1 2x 4， 即代y1 2y 2，入 x2 y2 4，得 (2x 4)2 (2y 2)2 4.化简得 (x 2)2 (y 1)2 1.答案： a25.方程思想在圆中的应用【典例】在平面直角坐标系xoy 中，曲线 y x2 6x1 与坐标轴的交点都在圆c 上， 求圆 c 的方程思维点拨 曲线 y x2 6x 1 与坐标轴有3 个交点， 可设圆的一般式方程或标准式方程，通过列方程或方程组可求解法一： 曲线 yx26x 1 与 y 轴的交点为

15、(0,1)与 x 轴的交点为 (3 22，0)， (322， 0)设 圆 的 方 程 为x2 y2 dx ey f 0(d2 e2 4f>0) ， 则 有1 e f0，3 222 d × 3 22 f 0，3 222 d × 3 22 f 0，d 6， 解得e 2，f 1，0)，故圆的方程是x2 y2 6x 2y 1 0.法二： 曲线 y x2 6x 1 与 y 轴的交点为 (0,1)，与 x 轴的交点为 (3 22，0)，(3 22，故可设圆 c 的圆心为 (3，t)，则有 32 (t 1)2 (22) 2 t2，解得 t 1，则圆 c 的半径为32 t1 2 3，

16、所以圆 c 的方程为 (x 3)2 (y 1)2 9.方法点评 (1) 一般解法 (代数法 )：可以求出曲线y x2 6x 1 与坐标轴的三个交点， 设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式(2)巧妙解法 (几何法 )：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算 显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题跟踪练习 已知圆 c 关于 y 轴对称，经过点(1,0)且被 x 轴分成两段，弧长比为12， 则圆 c 的方程为 ，设圆心解析： 由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23(0， a)，半径为 r，则 rsin 1，

17、rcos |a|，解得 r 2，即 r 24|a|3即 a ±33，故圆3c 的方程为 x23.y± 3 2 43，3 ，3±答案： x2 y33332 43a 组考点能力演练1以线段 ab： x y 2 0(0 x 2)为直径的圆的方程为 ( ) a (x 1)2( y1) 2 2b( x 1) 2 (y1) 2 2 c( x 1) 2 (y1) 2 8 d (x 1)2( y1) 2 8解析： 直径的两端点分别为(0,2) ， (2,0)，圆心为 (1,1)，半径为2，故圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2.答案： b2(2016范围是 ()北·

18、京西城期末 ) 若坐标原点在圆(x m) 2 (ym)2 4 的内部， 则实数 m 的取值a ( 1,1)b (3，3)c( 2，2)d.222 ， 2解析： (0,0) 在(x m)2 (y m)2 4 的内部，则有(0 m)2 (0 m)2<4，解得2<m<2，选 c.答案： c3(2016 ·开封模拟 )已知直线l：x y 4 0 与圆 c： (x 1)2 (y 1)2 2，则圆 c 上的点到直线l 的距离的最小值为()a.2b.3c1d 3解析： 由题意知，圆c 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线 l 的距离减去圆的半径，即|1 1 4|

19、22.答案： a12 1 24. (2016 ·洛阳期末 )在平面直角坐标系内，若曲线c： x2 y2 2ax 4ay 5a2 4 0 上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为 ()a (， 2)b (， 1)c(1， )d (2， )解析： 圆 c 的标准方程为(x a)2 (y 2a)2 4，所以圆心为 ( a,2a)，半径 r 2，由题a<0， 意知| a|>2|2a|>2答案： a? a< 2，故选 a.5. 圆 x2 y2 4x 4y10 0 上的点到直线x y 14 0 的最大距离与最小距离的差是()a 30b 18c62d 52解析： 由

20、圆 x2 y2 4x 4y 10 0 知圆心坐标为 (2,2) ，半径为32，则圆上的点到直线 x y 140 的最大距离为|2 2 14|2故最大距离与最小距离的差为62.答案： c32 82，最小距离为 |2 2 14|232 22，6(2016 ·绍兴模拟 )点 p(1,2) 和圆 c：x2y 22kx 2y k2 0 上的点的距离的最小值是 解析： 圆的方程化为标准式为(x k)2 (y1)21.圆心 c( k， 1) ，半径 r 1.易知点 p(1,2)在圆外点 p 到圆心 c 的距离为：|pc|k 1 2 32k 1 2 9 3. |pc|min 3.点 p 和圆 c 上

21、点的最小距离dmin |pc |min r 3 1 2.答案： 27. 若圆 c：x2 2mx y2 2my 20 与 x 轴有公共点， 则 m 的取值范围是 解 析 ： 圆c的 标 准 方 程 为 (x m)2 (y m )2 m2 m 2 ， 依 题 意 有m2 m 2>0，mm m 0.2m 2，得 m2.答案： 2， )8. 圆 c 通过不同的三点p(k,0)， q(2,0)， r(0,1)，已知圆c 在点 p 处的切线斜率为1， 则圆 c 的方程为 解析： 设圆 c 的方程为x2 y2 dx ey f 0，则 k,2 为 x2 dx f0 的两根， k 2 d,2k f，即 d

22、 (k 2)， f 2k， 又圆过 r(0,1)，故 1 e f 0. e 2k 1.故所求圆的方程为x2 y2 (k 2)x (2k 1)y 2k0，圆心坐标为k 222k 12.圆 c 在点 p 处的切线斜率为1， kcp 12k 1， k 3.2 k d 1， e 5， f 6.所求圆 c 的方程为 x2y2x 5y 60.答案： x2y2x 5y 60.9 (2016 ·洛阳统考 )已知圆 s 经过点 a(7,8) 和点 b(8,7)，圆心 s 在直线 2x y 4 0 上 (1)求圆 s 的方程；(2)若直线 x y m0 与圆 s 相交于 c，d 两点，若 cod 为钝角

23、 (o 为坐标原点 )，求实数 m 的取值范围解： (1)线段 ab 的中垂线方程为y x，2x y 4 0，由y x，x 4，得y 4，所以圆 s 的圆心为s(4,4)，圆 s 的半径为 |sa| 5，故圆 s 的方程为 (x4) 2 (y 4)2 25.(2)由 x y m 0 变形得 y x m，代入圆 s 的方程， 消去 y 并整理得2x2 2mx m28m7 0.令 ( 2m)2 8(m2 8m 7)>0 ，得 8 52< m<8 52.设 c， d 的横坐标分别为x1，m2 8m 7x2，则 x1 x2m，x1x22.依题意， 得oc·od <o，

24、则 x1x2 ( x1 m)( x2 m)<0 ，即 m2 8m 7<0，解得 1<m<7.故实数 m 的取值范围是 m|8 52<m<8 52 m|1<m<7 m|1<m<7 10 (2016唐·山一模 )已知圆 o： x2 y2 4，点 a(3， 0)，以线段ab为直径的圆内切于圆o，记点 b 的轨迹为 . (1)求曲线 的方程；(2)直线 ab 交圆 o 于 c， d 两点，当 b 为 cd 的中点时，求直线ab的方程解： (1)设 ab 的中点为m，切点为n，连接 om， mn (图略)，则 |om | |mn |

25、|on | 2， 取 a 关于 y 轴的对称点a ，连接 a b，故 |a b| |ab| 2(|om | |mn |) 4.所以点 b 的轨迹是以a ， a 为焦点，长轴长为4 的椭圆其中， a 2， c3，b 1，则x2曲线 的方程为 y21.4(2)因为 b 为 cd 的中点，所以ob cd ，ob ab，y则 .设 b( x00)，0则 x0(x03) y2 0.x22202又 4 y0 1，解得 x0， y0 ±. 33，则 kob ± 2kab ?2，2则直线 ab 的方程为y ± 2(x3) ， 即2x y6 0 或2x y6 0.b 组高考题型专练1 (201