2020-2021学年北师大版必修1 第二章1生活中的变量关系 学案

1、§1生活中的变量关系,学生用书 P16)Ay2x                      By1常量与变量在研究某一问题的变化过程中，数值保持不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量2两变量之间的关系(1)依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系特别地，如果对于其

2、中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，那么就称这两个变量之间有函数关系(2)非依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不会发生任何变化，那么就称这两个变量具有非依赖关系1判断正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)常量与变量不能构成函数关系()(2)变量与变量一定是依赖关系()(3)满足函数关系的自变量对因变量，可以一对一，也可以多对一，但不可以一对多()答案：(1)×(2)×(3)2下列等式中的变量 x，y 不具有函数关系的是()1xCyx23x1Dy2x25解析：选 

3、D.D 中，当 x2 时，y±3，即给定了一个 x 的值，有两个 y 值与之对应，因此 y 不是 x 的函数；当 y3 时，x±2，即给定了一个 y 的值，有两个 x 值与之对应，因此 x 也不是 y 的函数3张大爷种植了 10 亩小麦，每亩施肥 x 千克，小麦总产量为 y 千克，则()Ax，y 之

4、间有依赖关系Bx，y 之间有函数关系Cy 是 x 的函数Dx 是 y 的函数解析：选 A.小麦总产量与种子、施肥量、水、日照时间等都有关系4(1)球的半径与表面积之间的关系是_关系(2)家庭收入与支出之间的关系是_关系关系 h  gt2，其中 g 是常量，很显然，对于时间 t 在其变化范围内的每一个取值，都有唯解析：(1)球的表面积随半径的变化而变化，且由半径唯一确定，所以是函数关系(2)一般情况下，家庭支出随家庭收入的变化而变化 ，但

5、收入一定时，支出并不唯一确定，所以是依赖关系答案：(1)函数(2)依赖1依赖关系与函数关系的联系与区别函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系因此依赖关系不一定是函数关系，而函数关系一定是依赖关系2表示变量间的关系的两种方法(1)图像法：它是一种常用的表示两变量关系的方法在解此类题时要能从图中找到两个变量，并能判断它们之间的相互依赖关系是如何变化的(2)表格法：两变量之间的关系，体现在表格中就是要求我们能从表格中找到因变量和自变量，并能判断因变量和自变量之间的对应关系，从而说明因变量如何随自变量的变化而变化常量与变量的区分学生用书 P16一辆汽

6、车由南京驶往相距 300 千米的上海，它的平均速度是 100 千米/时，则汽车距上海的路程 s(千米)与行驶时间 t(时)的关系是 s300100t，在这里，常量是_，变量是_【解析】 判断常量与变量的关键是看它们是否发生了变化，在这里，常量是南京与上海的距离 300 千米和汽车行驶的平均速度 100 千米/时，变量是汽车在行驶过程中距上海的路程 s 和行驶时间 t.【答案】300，100s，t(1)常量是相对某个过程或另一个变量而言的 

7、;，绝对的常量是不存在的，也就是说常量是有条件的、相对的；(2)要从数值有无变化来确定常量和变量1.向平静的湖面投一石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆，则在这一过程中湖的形状 Q，圆的面积 S、半径 r、周长 l 中的常量是_，变量是_解析：在变化过程中 Q 不发生变化，是常量；S、r、l 发生变化，是变量答案：QS、r、l两变量关系的判断学生用书 P17下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系；(2)商品的销售额与广告费之间的关

8、系；(3)家庭的食品支出与电视价格之间的关系【解】(1)科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离(h)与时间(t)具有12一的下落距离 h 与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数；(2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系 ，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系；(3)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系综上可知，(1)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量间不存在依赖关系依赖关系与函

9、数关系的判断方法与步骤(1)对于两个变量，如果一个变量的改变影响另一个变量，则这两个变量具有依赖关系，否则不具有依赖关系(2)如果两个变量具有依赖关系，且一个变量的确定决定另一个变量的确定 ，则这两个变量具有函数关系，否则不具有函数关系2.下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)圆的面积和它的半径长；(2)商品的价格与销售量；(3)一个人的身高与体重；(4)某同学的学习时间与其学习成绩r解：(1)因为圆的面积 S 与半径 r 存在 S2的关系，因此圆的面积与其半径长存在依赖关系，也是函数关系(2)一般情况下

10、，商品的价格越低销售量越大，但只是依赖关系，不是函数关系(3)一个人的身高与体重有一定的关系 ，但体重并不完全由身高来决定 ，还受人的胖瘦等因素的影响，因此一个人的身高与体重之间存在依赖关系，但不是函数关系(4)某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系，但学习成绩并不完全由学习时间而定，还受其他因素的影响，如这位同学的学习效率、智力等，因此某同学的学习时间与其学习成绩之间存在依赖关系，但不是函数关系综上所述，(1)(2)(3)(4)均存在依赖关系，其中仅(1)是函数关系变量关系的表示学生用书 P17如图所示为某市一天 24 小时内的气温变化图，根

11、据图像回答下列问题(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？(2)大约在什么时刻，气温为 0 ？(3)大约在什么时刻内，气温在 0 以上？(4)变量 Q 是关于变量 t 的函数吗？【解】观察图像可知：(1)全天最高气温大约是 9 ，在 14 时达到全天最低气温大约是2 ，在 4 时达到(2)大约在 8 时和 22 时，气温为 0 .(3)在 8 时到 22&

12、#160;时之间，气温在 0 以上(4)由图像可知随着时间的增加气温先降再升后降对于时间 t 的每个取值，都有唯一的气温 Q 与之对应，所以气温 Q 是时间 t 的函数对于本例中的两个变量 Q 和 t，t 是关于 Q 的函数吗？为什么？解：不是因为对于气温 Q 的一个值可能有两个时间 t 和它对应，所以时间 t 不是气温Q 的函数(1)表达两变量关系的常用方法是图像法

13、和表格法(2)在解题过程中要尽可能地利用题目所提供的数据 ，充分挖掘图像以及数据、表格中包含的信息，从而将问题解决3.以下是某电视台的广告价格表(单位：元)播出时长价格10 s15 s20 s30 s40 s50 s60 s播出时间段19：3022：009009501 0001 5002 0002 5004 000试问：广告价格与播出时间之间的关系是否是函数关系？解：是函数关系，因为 x，y 的取值范围分别是 A10，15，20，30，

14、40，50，60，B900，950，1 000，1 500，2 000，2 500，4 000，它们都是非空数集，且按照表格中给出的对应关系，对任意的 xA，在 B 中都有唯一确定的值与之对应，所以 y 是 x 的函数，即 y 与 x 是函数关系思想方法转化思想在探究两变量间关系中的应用口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了除去糖分的口香糖在

15、不同温度下与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：项目次序1     2     3     4     5     6     7     8温度 t/1525303537404550黏附力 F/N2.03.13.33.

16、64.64.02.51.5请回答下列问题：(1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力 F 随温度 t 变化的图像；(2)根据上述数据以及得到的图像，你得到怎样的实验结论？【解】(1)根据表中数据的范围绘制出 F 随 t 变化的图像如图(2)根据图像可得实验结论：随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；当温度在约 37 时，口香糖的黏附力最大；当温度在 50 时，口香糖的黏附力最小所以可通过加热的办法除去瓷砖上的口香糖残留物对于表格信息类问题，常转化为图像问题，更能直观反映两

17、变量之间的关系和性质1下列变量之间的关系是函数关系的是()A生活质量与人的身体状况间的关系B某人的体重与饮食状况C一只 60 瓦的白炽灯的耗电量 W 与时间 tD蔬菜的价格与供应量解析：选 C.A、B、D 是依赖关系，对 C，W 是关于 t 的函数2下面哪幅图能表示切土豆片的过程()解析：选 D.把土豆理解为球，切面理解为圆面，切面关于时间先增后减3从市场中了解到，饰用 K 金的含金量如下表：K 数含金量(%)24K99 以上22K91

18、.721K87.518K7514K58.512K5010K41.669K37.58K33.346K25饰用 K 金的 K 数与含金量之间是_关系，K 数越大含金量_解析：通过表格可知，饰用 K 金的含金量随着 K 数的减小而减小，对于 K 数的每一个取值，都有唯一的含金量与之对应，所以含金量是 K 数的函数，饰用 K 金的 K 数与含金量之间是函数关系，且 K 数越大含金量越高答案：函数越高4某电器商店以&

19、#160;2 000 元一台的价格进了一批电视机，然后以 2 100 元一台的价格售出，随着售出台数 n 的变化，商店获得的收入 y 也在变化，则 y 关于 n 的函数关系式为_解析：销售一台的收入为 2 1002 000100，所以销售 n 台时的收入为 y100n.答案：y100n,学生用书 P99(单独成册)A基础达标Ayx1     

20、60;              By1下列说法不正确的是()A依赖关系不一定是函数关系B函数关系是依赖关系C如果变量 m 是变量 n 的函数，那么变量 n 也是变量 m 的函数D如果变量 m 是变量 n 的函数，那么变量 n 不一定是变量 m 的函数解析：选 C.由依赖关系及函数关系的定

21、义知 A、B 正确；对于 C、D，如 mn2，则 n± m，不是函数关系，故 C 错误，D 正确2明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是()A明明B电话费C时间D爷爷解析：选 B.拨通时间为自变量，电话费为因变量3下列等式中的变量 x，y 不具有函数关系的是()2x1Cy3x2 xDy2x2解析：选 D.选项 D 中，当 x1 时，y±1；当 

22、;y2 时，x±2，不符合函数的定义故选 D.4某学生从家去学校，由于怕迟到，所以一开始跑步，等跑累了再走余下的路程，如图所示，纵轴表示该生离学校的距离(用 d 表示)，横轴表示出发后的时间(用 t 表示)，则四个图中符合题意的是()解析：选 D.因为该生离学校越来越近，所以只有 B，D 符合，又先跑再走，故选 D.5变量 x 与变量 y，w，z 的对应关系如下表所示：x123156y123416w201248z000000下列说法正确的是()A

23、y 是 x 的函数Bw 不是 x 的函数Cz 是 x 的函数Dz 不是 x 的函数解析：选 C.观察表格可以看出，当 x1 时，y1，4，则 y 不是 x 的函数；很明显w 是 x 的函数，z 是 x 的函数6某公司生产某种产品的成本为 1 000 元，并以 1 100 元的价格批发出去，

24、公司收入随生产产品数量的增加而_(填“增加”或“减少”)，它们之间_(填“是”或“不是”)函数关系答案：增加是7假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：(1)甲、乙两人中先到达终点的是_(2)乙在这次赛跑中的速度为_m/s.解析：(1)由图像可知甲、乙到达终点所用的时间分别为12 s，12.5 s，故甲先到达终点100  (2)v 乙12.58(m/s)答案：(1)甲(2)88如图所示是某购物中心食品柜在 4 月份的营业情况统计图像，根据图像回答下列问题：(1)在这个月中，日最低营业额是在&#

25、160;4 月_日，到达_万元(2)在这个月中，日最高营业额是在 4 月_日，到达_万元(3)这个月从_日到_日营业额情况较好，呈逐步上升趋势答案：(1)92(2)216(3)9219如图所示是某地某天气温随时间变化的函数图像，根据图像，回答下列问题：(1)什么时间气温最高？什么时间气温最低？最高气温和最低气温各是多少？(2)20 时的气温是多少？(3)什么时间气温为 6 ？(4)哪段时间内气温不断下降？(5)哪段时间内气温保持不变？解：(1)16 时的气温最高，气温是 10 ；4 时的气温最低

26、，气温是4 .(2)20 时的气温是 8 .(3)10 时和 22 时的气温都是 6 .(4)0 时到 4 时和 16 时到 24 时这两段时间内气温不断下降(5)12 时到 14 时这段时间内气温保持不变10心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x(单位：分)之间有如下关系：(其中 0x20)提出概念所用时间 x对概念的接受能力&#

27、160;y2      5      7    10    12     13     14     17    2047.8   53.5   56

28、.3   59   59.8   59.9   59.8   58.3   55(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)当提出概念所用时间是 10 分钟时，学生的接受能力是多少？(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？(4)从表格中可知，当时间 x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间 x

29、0;在(3)当 x13 时，y 最大值59.9.什么范围内时，学生的接受能力逐渐降低？解：(1)学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x 之间的关系，x 为自变量，y是因变量(2)由表格知当 x10 时，y59.(4)当 2x13 时，y 逐渐增大；当 13<x20 时，y 逐渐减小B能力提升11. 如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度 h

30、 与注水时间 t 之间的函数关系，大致是()解析：选 B.开始向水槽底部烧杯注水的一段时间 h0，烧杯注满后，水开始进入水槽中直至烧杯顶部时，h 的变化较快，继续注入时的变化较慢12长途汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用 y(元)与行李重量 x(千克 )之间的关系图像如图所示，当最多携带_千克的行李时不收费用系，设 ykxb，则í        

31、0; 解得 k  ，b6.î80kb10，即 y  x6.由  x60 得 x30.解析：由行李费用 y(元)与行李重量 x(千克)之间的图像可知，变量 y 与 x 成一次函数关ì60kb6，151155即当最多携带 30 千克的行李时不收费用答案：3013如图 1 是一辆汽车的速度随时间变化的示意图(1)汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它的最高时速是多少？(2)

32、汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？(3)出发后 8 分钟到 10 分钟之间可能发生了什么情况？(4)如果纵轴换成路程 s(千米)，横轴表示时间 t(时)，如图 2 是一个骑摩托车者离家距离与时间的关系图像在出发后 8 时到 10 时之间可能发生了什么情况？骑摩托车者在哪些时间段保持匀速运动？速度分别是多少？解：(1)汽车从出发到最后停止共经过了 24 分钟，它的最高时速是 80 千米/时发到出发后 2 小

33、时时间段内匀速运动，车速为15(千米/时)；在出发后 6 小时到 8 小时时间段内匀速运动，车速为15(千米/时)；在出发后 10 小时到 18 小时时间段内匀速运动，车速为10(千米/时)；在出发后 22 小时到 24 小时时间段内匀速运动，车速为40(千(2)汽车在出发后 2 分钟到 6 分钟，18 分钟到 22 分钟均保持匀速行驶，时速分别为 30千米/时和 80 千米/时(3)出发后