高等数学：第八章第一节--多元函数概念

1、第第1 1节节 多元函数概念及其极限和连续多元函数概念及其极限和连续第第2 2节节 偏导数与全微分偏导数与全微分第第3 3节节 多元复合函数和隐函数的微分法多元复合函数和隐函数的微分法第第4 4节节 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值一一 多元函数的概念多元函数的概念1. 平面点集: 将 x, y 看作平面上的点的坐标,则两个变量的变化范围就相当于平面上的一个点集.(1) 邻域:),(0PU)()( | ),(22020yyxxyx(2) 内点:设 ,如果存在 ,则称 为E的内点.EP 0EPU),(00P全部由内点组成的集合称为开集.(3) 边界点: 若P的任意邻域内既有属于E的点,也

2、有不属于E的点,则P为边界点.边界点的集合称为边界.4.1 多元函数概念及其极限和连续多元函数概念及其极限和连续)(0PU 的去心邻域:0P聚点：若任给0,点P的去心邻域 内总有E中的点,则称P是E的聚点。)(，PU设D为是一点集，满足：（1）D的每一点都是D的内点；（2）D 内任何两点都能用全在D 内的折线连接起来,则称D为开区域，简称区域.(4) 区域:开区域+边界称为闭区域对于点集E，若它能包含在原点的某一邻域内，称E为有界的,否则称E是无界的.注意:以上概念可推广到 n 维空间.2. 二元函数的定义定义8.1.1 设D是平面点集,若对于D中的每一个点P(x,y),变量z按照一定的法则,

3、总有确定的值和它对应,则称z是x,y的二元函数，记为),(yxfz 自变量因变量定义域的范围为值域)(pfz 或例(1)yxz arcsin定义域是无界闭区域10| ),(yxyxD)(1).2(22yxz定义域是有界闭区域1| ),(22yxyxD11113. 二元函数的图形 将 x, y, z 看作空间直角坐标系中点的坐标,则二元函数通常表示一张曲面. 它在 xoy 面上的投影就是函数的定义域.二二.二元函数的极限和连续二元函数的极限和连续定义8.1.2: 设函数f(x,y)定义的定义域为D， P0(x0,y0)是D的聚点。若存在常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当 时，都有 成

4、立，AyxfAyxfyyxxyxyx),(lim,),(lim0000),(),(xyzz=f(x,y)|A-y)f(x,|A-f(P)|),(),(0PUDyxp时的极限，记作当为函数称),(),(),(00yxyxyxfA注: (1).二元函数的极限称为二重极限;(2).二重极限存在,是指P(x,y) 以任何方式趋于 时, f(x,y)都无限接近于A.),(000yxP故如果P(x,y)沿不同路径趋于 时, f(x,y)趋于不同的值,可断定极限不存在.),(000yxP(3).以上定义可推广到 n 元函数.(4).极限运算法则与一元类似.当P(x,y)沿 x 轴和 y 轴趋于(0,0)时,

5、 f(x,y)趋于0.当P(x,y)沿 y=x 趋于(0,0)时, f(x,y)趋于1/2.故 不存在.),(lim00yxfyx例2.xxyyxtanlim200)2 , 0(),(xyyx212tanlimtanlim2020 xyxyyxxyyxyx例1.0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf三三.二元函数的连续性二元函数的连续性定义8.1.3: 设函数 f(x,y)在区域D内有定义, 为聚点,若DyxP),(000),(),(lim00)(),(00yxfyxfyxyx，),(000yxP若函数 f(x,y)在 不连续，则称 为f(x,y)的间断点.注:(1).若函数 f

6、(x,y) 在区域D内每一点都连续,则称 f(x,y) 在 D内连续或 f(x,y) 是D内的连续函数.(2).二元连续函数具有与一元连续函数类似的性质.区域 D内两个连续函数的和,差,积,商（除数不为零）及复合函数，均为D内的连续函数.),(000yxP则称 f(x,y)在点 处连续.0P二元初等函数在其定义区域内连续.由x和y的基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算构成的一个式子的函数在有界闭域D上连续的函数 f(x,y) 必有最大值和最小值.在有界闭域D上连续的函数 f(x,y), 如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.此结论对研究二元函数的连续性和求极限很有帮助.例3.xyyxyx21lim初等函数定义域内的点23)2 , 1 ( fxyxyyx11lim00例4.例5.讨论连续性:) 11(11lim00 xyxyxyyx111