高等数学：第九章 三重积分

1、三重积分定义，定义9.3.1存在,且极限值不依赖于对的分法,也不依赖于 在子域内的取法,则称此极限值为函数f(x,y,z)在上的三重积分.),(iii作和式 设f(x,y,z)是空间有界闭域上的有界函数,将任意分成n个小闭区域 ,在 上任取一点 , ),(iiiiViViiiniiVf),(lim10niiiiiVf1),(当 的最大直径 趋于零时,iV如果积分区域体积微元dVzyxf),(9.3 3 三三重积分重积分的概念的概念例2.变密度物体的质量:设物体位于空间有界闭域 上,密度为连续函数 .),(zyxiiiiiVM),(niiiiiVM1),(niiiiiVdVzyxM10),(li

2、m),(三.积分性质k为常数d )M(fkd)M(kf. 1d )M(gd )M(fd)()M(f. 2Mgd )M(fd )M(fd)M(f. 32121d )M(gd)M(f),()(,. 4则均有若对任意的MgMfM6.(估值定理)设 M,m 分别是 f (M) 在上的最大值和最小值,则:的度量）为（，）)()(MdMfm7.（积分中值定理)若 f (M) 在有界闭区域上连续,则在上至少存在一点M*, 使得下式成立:d | )M(f |d)M(f| . 5)(*)(f)(MdMf 9.49.4 三重积分的计算法三重积分的计算法一一.在直角坐标系中的计算法在直角坐标系中的计算法化成三次积分

3、仿照二重积分研究其计算方法:dxdydzdV dxdydzzyxfdVzyxf),(),(在直角坐标系中,用平行于坐标面的平面将积分区域 分成n 份(大部分是小长方体),可知: 体积元素zxyD1.设积分区域 的边界曲面与平行于 坐标轴的直线相交不多于两点.例如,与平行于 z 轴的直线相交不多于两点.D为 在 xoy 面上的投影域.上下曲面为:),(),(21yxzzyxzz DDyxzyxzdyxzyxzddzdVV),(),(1112),(),(21若D是X型域),(),()()(21211yxzyxzxyxybadzdydx先对z后对y再对x的三次积分同理,),(),()()(2121)

4、,(),(yxzyxzxyxybadzzyxfdydxdVzyxf1. 把几何体切成小条，先求小条体积把几何体切成小条，先求小条体积2. 把几何体切成薄片，先求薄片体积把几何体切成薄片，先求薄片体积所得的平面区域。截为用平面，其中若)(),( ,| ),(2121cccczDDyxczczyxzzzDccdxdyzyxfdzdVzyxf),(),(21 Dyxzyxzdxdydzzyxfdxdydzzyxf),(),(21),(),(若D是Y型域),(),()()(2121),(yxzyxzyxyxdcdzzyxfdxdy先对z后对x再对y的三次积分同理,可将 投影到 yoz 面或 zox 面

5、上,使三重积分化成其他顺序的三次积分: Dxzyxzydzdxdyzyxfdxdydzzyxf),(),(21),(),( Dzyxzyxdydzdxzyxfdxdydzzyxf),(),(21),(),(2.设积分区域 的边界曲面与平行于坐标轴的直线相交多于 两点.可以将积分域分成简单子域,利用积分可加性计算. 例1 计算xdxdydz解yxzxyx210 ,210 , 10:其中 由三个坐标面及12zyx围成481将 向 xoy 面作投影,则yxxxdzdydxxdxdydz2102101021010)21 (xdyyxxdx1032)2(41dxxxx计算三重积分时也要注意积分次序的选择

6、计算三重积分时也要注意积分次序的选择 例2 计算zdxdydz其中 由圆锥面 及1222zyxz围成zdxdydz., 10| ),222zyxzzyx（4|4110410210zdzzzdxdyzdzzD 例3 计算zdxdydz其中 由 及422zyxz围成zdxdydz, 4,44, 22:2222zyxxyxx444222222yxxxzdzdydx3644计算过程繁琐能否把极坐标结合到空间坐标系内能否把极坐标结合到空间坐标系内? ?柱面坐标系二二.在柱面坐标系中的计算法在柱面坐标系中的计算法设空间一点M(x,y,z),点M在xoy面上的投影P 的极坐标为),(r则 称为点M 的柱面坐

7、标.),(zrzxyMPr变化范围.,20 ,0zr坐标面r常数z常数常数以 z 轴为轴的圆柱面过 z 轴的半平面平行于xoy面的平面与直角坐标的关系zzryrxsincos体积元素dzrdrddV这是因为: 如果用三组坐标面划分 ,大部分子域为小柱体,近似看作长方体,则:dzrdrdzrrfdvzyxf),sin,cos(),(化成三次积分 前面例2 计算zdxdydz其中 由 及422zyxz围成dzzrdrdzdxdydz20 , 20 , 4:2rzr420202rzdzrdrd3644化为三次积分:先将 向极坐标投影，得 )()(,| ),(21rrrrD 确定z的积分上下限： ),

8、(),(21rzzrz),(),()()(2121),sin,cos(),sin,cos(rzrzrrdzzrrfrdrddzrdrdzrrf),()(),(),(| ),(2121rrrrzzrzzr* 利用对称性和函数奇偶性计算利用对称性和函数奇偶性计算积分积分:三三. 在球面坐标系中的计算法在球面坐标系中的计算法设空间一点M(x,y,z)可用下列三个数确定:则 称为点M 的球面坐标.),(r变化范围0 ,20 ,0r与直角坐标的关系cossinsincossinrzryrx(1).点M与原点的距离 r ;(2). 与 z轴正向的夹角 ;OMOM(3). 在xoy面上的投影向量与x 轴的夹

9、角 .zxyMPr体积元素ddrdrdVsin2这是因为: 如果用三组坐标面划分 ,大部分子域为如图小立体,近似看作长方体,则:ddrdrrrrfdVzyxfsin)cos,sinsin,cossin(),(2化成三次积分坐标面r常数常数常数以原点为心的球面过z轴的半平面以原点为顶点,以 为半顶角的圆锥面. 例3 计算dVz2其中 由2222Rzyx围成.,0 ,0 ,20:Rr Rdrrrdddvz02220202sincos02205sincos5ddR5154R,0 ,40 ,20:Rr Rdrrrdddvx0222240202sinsincos)122532(515R 例4 计算dVx

10、2其中 由222yxRz围成.22yxz与dVzyxf),(例5.选择适当的坐标系,将 化成三次积分.由如图所示半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面围成a2a,cos20 ,0 ,20:ar dVzyxf),(cos202020sin)cos,sinsin,cossin(adrrrrrfdd注注:选择合适的坐标系是计算三重积分的关键选择合适的坐标系是计算三重积分的关键(1).区域由平面围成,常选择直角坐标系;一般的:(3).区域由球面锥面围成,被积函数形如 常选择球面坐标系.)(222zyxf(2).区域由圆柱面围成,被积函数形如 常选择柱面坐标系;)(22yxf四四.重积分的一般变量代换重

11、积分的一般变量代换1222222222222.)(1Iczbyaxdxdydzczbyax：设x=x(r,s,t),y=y(r,s,t),z=z(r,s,t),则 dV=|J|drdsdt,其中解：作变量代换tzszrztysyrytxsxrxtsrzyxJ),(),(例计算三重积分 cossinsincossincrzbryarxsin),(),(2abcrtsrzyxJ, 10 ,0 ,20:r.sin1I22ddrdabcrrabcdrrrabcdrrrdd4sin14sin1210221022020题型解析2222.)(1lim)(. 122240tzyxtdxdydzzyxftuf具

12、有连续导数，求设.0)0(,0)0(),0( )(lim4)(4limd)(22limd)(dsind1limd)(1lim03200040200202040222402222fffttftttftrrrfrrrftVzyxfttttttttzyxt解.54ddcossin6dcosdsind3d3d2d2d2dddd)(.ddd, 0ddd5040202402022222222RrrrrVzVxzVyzVxyVzVyVxVzyxVzVyVxVxzVyzVxyRR由对称性知22222:,d)(. 2RzyxVzyx第五节第五节 积分的应用积分的应用一一.几何应用几何应用解法一:将立体看作曲顶柱

13、体,利用二重积分计算.两种解法1.立体体积DdyxfV),(解法二:利用三重积分性质计算.dvV 例1 计算由 和 围成的立体体积.222Ryx222Rzx由对称性,只要求出第一卦限部分的体积,再乘以8倍即可.看作曲顶柱体 例2 计算由 和三个坐标面围成的四面体体积.1czbyax)1 (0),1 (0 ,0:byaxczaxbyaxdvV)1(0)1(00byaxcaxbadzdydx6abc,0 ,0:22xRyRxDDDdxRdyxfV221),(曲顶,22xRz220220 xRRdyxRdx332Rabc313168RVV所围的体积。内部被球面求例22222242. 3azyxaxy

14、x2a2a2axyzO由对称性知的第一卦限部分为设,11d4VV2240cos2020ddd4raazrrcos202220d4d4arrra2033dsin1332a343163a2.曲面面积曲面面积),(yxzz D为 S 在 xoy 面上的投影区域.在D上有连续偏导数设曲面S :dSdA微元法: 在D上任取小区域 ,dcosd相应的得到S上小曲面dS.用切平面近似代替dAds dzzyx221DyxdzzA221面积微元同理,若曲面 S 的方程为 x = x( y,z ) 或 y = y( z,x ),可分别把 S 投影到 yoz 面或 zox 面上,得面积公式:yzDzydydzxxA

15、221或zxDxzdzdxyyA221S 在 yoz 面上投影区域S 在 zox 面上投影区域 例3 计算例1中立体的表面积.由对称性,只要求出第一卦限阴影部分的面积,再乘以16倍.DyxdzzA2211,0 ,0:22xRyRxD曲面方程,22xRzDdxdyxRR222R211616RAA二二.物理应用物理应用1.物体重心(1).平面薄板:设薄板占有平面区域D,面密度 在D上连续.),(yxDxy在D上任取小区域 及其上面任意一点 (x , y),dd的质量dyxdM),(d对 x 轴 y 轴的静力矩分别为:,),(,),(dyxxdMdyxydMyxDyDxdyxxMdyxyM,),(,

16、),(于是平面薄板的重心为:DDxDDydyxdyxyMMydyxdyxxMMx),(),(;),(),(2).空间物体:dvzyxdvzyxzzdvzyxdvzyxyydvzyxdvzyxxx),(),(;),(),(;),(),(物体占有空间区域 ,密度 在 上连续.),(zyx则物体的重心为:例4.半径为1的半圆形薄板,各点处的密度等于该点到圆心的距 离,求此半圆的重心.xy22),(yxyx由对称性:0 xDDDDdyxdyxydyxdyxyy2222),(),(1020100sindrrdrdrrrd23于是重心:)23,0(2.转动惯量(1).平面薄板:设薄板占有平面区域D,面密度 在D上连续.),(yx由静力学及微元法,薄板对x 轴, y 轴以及原点的转动惯量分别为:DoDyDxdyxyxIdyxxIdyxyI,),()(,