2016高考数学大一轮复习2.4二次函数与幂函数教师用书理苏教版

1、§2.4二次函数与幂函数1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)图象定义域(，)(，)值域单调性在x上单调递减；在x上单调递增在x上单调递增；在x上单调递减对称性函数的图象关于x对称2.幂函数(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较 函数 特征性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)x|

2、xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x0，)时，增；x(，0时，减增增x(0，) 时，减；x(，0)时，减【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.(×)(2)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数(×)(3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)(×)(4)当n>0时，幂函数yxn是定义域上的增函数(×)(5)若函数f(x)(k21)x22x3在(，2)上单调递增，则k±.(×)

3、(6)已知f(x)x24x5，x0,3)，则f(x)maxf(0)5，f(x)minf(3)2.(×)1函数f(x)(xa)(x2)为偶函数，则实数a_.答案2解析由f(x)x2(2a)x2a为二次函数，又因为偶函数图象关于y轴对称，即对称轴方程x0，解得a2.2已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_答案1,2解析yx22x3的对称轴为x1.当m<1时，yf(x)在0，m上为减函数ymaxf(0)3，yminf(m)m22m32.m1与m<1矛盾，舍去当1m2时，yminf(1)122×132，ymaxf(0)3.当m>

4、;2时，ymaxf(m)m22m33，m0或m2，与m>2矛盾，舍去综上所述，1m2.3若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不经过原点，则实数m的值为_答案1或2解析由，解得m1或2.经检验m1或2都适合4(2014·江苏)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是_答案(，0)解析作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)<0，则有即解得<m<0.题型一二次函数的图象和性质例1已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(

5、x)在区间4,6上是单调函数；(3)当a1时，求f(|x|)的单调区间解(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6，f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.(3)当a1时，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x6,6，且f(x)f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0思维升华(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定

6、区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解(1)如果函数f(x)x2(a2)xb(xa，b)的图象关于直线x1对称，则函数f(x)的最小值为_(2)若函数f(x)2x2mx1在区间1，)上递增，则f(1)的取值范围是_答案(1)5(2)(，3解析(1)由题意知得则f(x)x22x6(x1)255，所以函数f(x)的最小值为5.(2)抛物线开口向上，对称轴为x，1，m4.又f(1)1m3，f(1)(，3题型二二次函数的应用例2已知函

7、数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>xk在区间3，1上恒成立，试求k的范围解(1)由题意得f(1)ab10，a0，且1，a1，b2.f(x)x22x1，单调减区间为(，1，单调增区间为1，)(2)f(x)>xk在区间3，1上恒成立，转化为x2x1>k在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，则g(x)在3，1上递减g(x)ming(1)1.k<1，即k的取值范围为(，1)思维升华有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法用

8、函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数解(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，所以当x1时，f(x)取得最小值1；当x5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)(xa)22a2的图象的对称轴为直线xa，因为yf(x)在区间5,5上是单调函数，所以a5或a5，即a5或a5.故a的取值范围是(，55，)题型三幂函数的图象和性质例3(1)已知幂函数f(x)(n22n2)·(nZ)的图象关于y轴对称

9、，且在(0，)上是减函数，则n的值为_(2)若>，则实数m的取值范围是_答案(1)1(2)解析(1)由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1适合题意(2)因为函数y的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解2m10，得m；解m2m10，得m或m.解2m1>m2m1，得1<m<2，综上所述，m<2.思维升华(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)若幂函数yx(R)是偶函数，则必为偶数当是分数时，一般将其先化为根式，再判断(3)若幂函数yx在(0，)上单调递增，则>0，

10、若在(0，)上单调递减，则<0.(1)已知幂函数f(x)(m2m1)·x5m3在(0，)上是增函数，则m_.(2)若<，则实数a的取值范围是_答案(1)1(2)1，)解析(1)函数f(x)(m2m1)·x5m3是幂函数，m2m11，解得m2或m1.当m2时，5m313，函数yx13在(0，)上是减函数；当m1时，5m32，函数yx2在(0，)上是增函数m1.(2)易知函数y的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解得1a<.分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例：(14分)已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值思维点拨参数a的值确定f(x)

11、图象的形状；a0时，函数f(x)的图象为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴位置解(1)当a0时，f(x)2x在0,1上递减，f(x)minf(1)2.2分(2)当a>0时，f(x)ax22x图象的开口方向向上，且对称轴为x.3分当1，即a1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1内，f(x)在0，上递减，在，1上递增f(x)minf().6分当>1，即0<a<1时，f(x)ax22x图象的对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.9分(3)当a<0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴x<0，在y轴的左侧，f(x)

12、ax22x在0,1上递减f(x)minf(1)a2.12分综上所述，f(x)min14分温馨提醒(1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a的符号进行了讨论，又对对称轴进行讨论在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论(2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论.方法与技巧1二次函数的三种形式：(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，

13、选用零点式求解更方便2二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号，四个方面分析(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解3幂函数yx(R)图象的特征>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立失误与防范1对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况2幂函数的图象一定会出现在第一象限内

14、，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.A组专项基础训练(时间：40分钟)1如果函数f(x)x2ax3在区间(，4上单调递减，则实数a的取值范围是_答案a8解析函数图象的对称轴为x，由题意得4，解得a8.2已知函数f(x)x22x，g(x)ax2(a>0)，若x11,2，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_答案3，)解析由函数f(x)x22x(x1)21，当x1,2时，f(x)minf(1)1，f(x)maxf(1)3，即函数f(x)的值域为1,

15、3，当x1,2时，函数g(x)ming(1)a2，g(x)maxg(2)2a2，若满足题意则解得a3.3如果函数f(x)x2bxc对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，那么_f(2)<f(0)<f(2)；f(0)<f(2)<f(2)；f(2)<f(0)<f(2)；f(0)<f(2)<f(2)答案解析由f(1x)f(x)知f(x)的图象关于x对称，又抛物线开口向上，结合图象可知f(0)<f(2)<f(2)4已知f(x)，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是_f(a)<f(b)<f()<f()；f(

16、)<f()<f(b)<f(a)；f(a)<f(b)<f()<f()；f()<f(a)<f()<f(b)答案解析因为函数f(x)在(0，)上是增函数，又0<a<b<<，所以f(a)<f(b)<f()<f()5若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a_.答案1解析函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得f(0)a，f(2)43a，或解得a1.6“a1”是“函数f(x)x24ax3在区间2，)上为增函数”的_条件答案充分不必要解析函数f(x)x24a

17、x3在区间2，)上为增函数，则满足对称轴2a2，即a1，所以“a1”是“函数f(x)x24ax3在区间2，)上为增函数”的充分不必要条件7对于任意实数x，函数f(x)(5a)x26xa5恒为正值，则a的取值范围是_答案(4,4)解析由题意得解得4<a<4.8当时，幂函数yx的图象不可能经过第_象限答案二、四解析当1,1,3时，yx的图象经过第一、三象限；当时，yx的图象经过第一象限9设函数yx22x，x2，a，求函数的最小值g(a)解函数yx22x(x1)21.对称轴为直线x1，而x1不一定在区间2，a内，应进行讨论当2<a<1时，函数在2，a上单调递减则当xa时，ym

18、ina22a；当a1时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，ymin1.综上，g(a)10已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>2x的解集为(1,3)若方程f(x)6a0有两个相等的根，求f(x)的单调区间解f(x)2x>0的解集为(1,3)，设f(x)2xa(x1)(x3)，且a<0，f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0得ax2(24a)x9a0.方程有两个相等的根，(24a)24a·9a0，解得a1或a.由于a<0，舍去a1.将a代入式得f(x)x2x(x3)2，函数f(x)的单调

19、增区间是(，3，单调减区间是3，)B组专项能力提升(时间：20分钟)1已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_答案1或3解析由于函数f(x)的值域为1，)，所以f(x)min1且<0.所以1<a<1.又f(x)(xa)2a22a4，当xR时，f(x)minf(a)a22a41，即a22a30，解得a3或a1.2已知函数f(x)ax2bxc，且a>b>c，abc0，集合Am|f(m)<0，则下列命题正确的是_mA，都有f(m3)>0；mA，都有f(m3)<0；m0A，使得f(m03)0；m0A，使得f(m03)<0.答案解析由a>b>c，abc0可知a>0，c<0，且f(1)0，f(0)c<0，即1是方程ax2bxc0的一个根，当x>1时，f(x)>0