2016高考数学大一轮复习7.1不等关系与不等式教师用书理苏教版

1、§7.1不等关系与不等式1两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，bR)；(2)作商法 (aR，b>0)2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>bb<a传递性a>b，b>ca>c可加性a>bac>bc可乘性ac>bc注意c的符号ac<bc同向可加性ac>bd同向同正可乘性ac>bd可乘方性a>b>0an>bn(nN，n1)a，b同为正数可开方性a>b>0>(nN，n2)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质a>b，ab>0<.a<0<b

2、<.a>b>0,0<c<d>.0<a<x<b或a<x<b<0<<.(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则<；>(bm>0)>；<(bm>0)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)a>bac2>bc2.(×)(2)a>b>0，c>d>0>.()(3)若ab>0，则a>b<.()(4)若>1，则a>b.(×)(5)若a>b

3、>1，c<0，则logb(ac)>loga(bc)()(6)若<<0，则|a|>|b|.(×)1(2014·四川改编)若a>b>0，c<d<0则下列结论一定成立的是_><><答案解析c<d<0，c>d>0，a>b>0，ac>bd>0，ac<bd，<，<.取特值可知错误，故正确的只有.2设a<b<0，则下列不等式中不成立的是_> >|a|>b >答案解析由题设得a<ab<0，所以有

4、<成立，即>不成立3限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是_答案v40 km/h4已知a1a2，b1b2，则a1b1a2b2与a1b2a2b1的大小关系是_答案a1b1a2b2a1b2a2b1解析a1b1a2b2(a1b2a2b1)a1(b1b2)a2(b2b1)(b1b2)(a1a2)，a1a2，b1b2，(b1b2)(a1a2)0，a1b1a2b2a1b2a2b1.题型一用不等式(组)表示不等关系例1某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润

5、已知这种商品的单价每提高1元，销售量就相应减少10件若把提价后商品的单价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？解若提价后商品的单价为x元，则销售量减少×10件，因此，每天的利润为(x8)10010(x10)元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x8)10010(x10)300.思维升华对于不等式的表示问题，关键是理解题意，分清变化前后的各种量，得出相应的代数式，然后，用不等式表示而对于涉及条件较多的实际问题，则往往需列不等式组解决已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：甲乙维生素A(单位/kg)600700维生素B(单位/kg)800400设用甲、乙两

6、种食物各x kg，y kg配成至多100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和62 000单位维生素B，则x，y应满足的所有不等关系为_答案题型二比较大小例2(1)已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是_(2)若a，b，c，则a，b，c的大小关系为_答案(1)M>N(2)c<b<a解析(1)MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a11<0，a21<0.(a11)(a21)>0，即MN>0.M>N.(

7、2)方法一易知a，b，c都是正数，log8164<1，所以a>b；log6251 024>1，所以b>c.即c<b<a.方法二对于函数yf(x)，y，易知当x>e时，函数f(x)单调递减因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法：一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小；结论(3)函数

8、的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系(1)如果a<b<0，那么下列不等式成立的是_< ab<b2ab<a2 <(2)(2013·课标全国改编)设alog32，blog52，clog23，则a，b，c的大小关系为_答案(1)(2)c>a>b解析(1)对于，由a<b<0，得ba>0，ab>0，故>0，>，故错误；对于，由a<b<0，得b(ab)>0，ab>b2，故错误；对于，由a<b<0，得a(ab)>0，a2>a

9、b，即ab>a2，故错误；对于，由a<b<0，得ab<0，ab>0，故()<0，<成立故正确(2)因为log32<1，log52<1，又log23>1，所以c最大又1<log23<log25，所以>，即a>b，所以c>a>b.题型三不等式性质的应用例3已知a>b>0，给出下列四个不等式：a2>b2；2a>2b1；>；a3b3>2a2b.其中一定成立的不等式为_答案解析方法一由a>b>0可得a2>b2，成立；由a>b>0可得a>b

10、1，而函数f(x)2x在R上是增函数，f(a)>f(b1)，即2a>2b1，成立；a>b>0，>，()2()222b2()>0，>，成立；若a3，b2，则a3b335,2a2b36，a3b3<2a2b，不成立方法二令a3，b2，可以得到a2>b2，2a>2b1，>均成立，而a3b3>2a2b不成立思维升华(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然

11、判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等(1)若<<0，则下列不等式：<；|a|b>0；a>b；ln a2>ln b2中，正确的不等式的序号是_(2)已知a，b，cR，有以下命题：若a>b，则ac2>bc2；若ac2>bc2，则a>b；若a>b，则a·2c>b·2c.其中正确的是_(填上所有正确命题的序号)答案(1)(2)解析(1)由<<0，可知b<a<0.中，因为ab<0，ab>0，所以<0，>0.故有<，即正确；中，因为b<

12、;a<0，所以b>a>0.故b>|a|，即|a|b<0，故错误；中，因为b<a<0，又<<0，所以a>b，故正确；中，因为b<a<0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2>a2>0，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2>ln a2，故错误由以上分析，知正确(2)若c0则命题不正确正确中由2c>0知正确不等式变形中扩大变量范围致误典例：设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_易错分析解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范围，再求f(

13、2)4a2b的范围，导致变量范围扩大解析方法一设f(2)mf(1)nf(1) (m、n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b，于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，即5f(2)10.方法二由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法三由确定的平面区域如图阴影部分，当f(2)4a2b过点A(，)时，取得最小值4×2×5，当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值4×32×110，5f(2)

14、10.答案5,10温馨提醒(1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过”一次性“使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.方法与技巧1用同向不等式求差的范围ad<xy<bc.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到2倒数关系在不等式中的作用<；>.3比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一比差法的主要步骤：作差变形判断正负在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商4求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法失误与防范1a>bac>bc或a<bac<

15、bc，当c0时不成立2a>b<或a<b>，当ab0时不成立3a>ban>bn对于正数a、b才成立4.>1a>b，对于正数a、b才成立5注意不等式性质中“”与“”的区别，如：a>b，b>ca>c，其中a>c不能推出6比商法比较大小时，要注意两式的符号.A组专项基础训练(时间：40分钟)1“ac>bd”是“a>b且c>d”的_条件答案必要不充分解析由同向不等式的可加性知“a>b且c>d”“ac>bd”，反之不对2若<<0，则下列结论不正确的是_a2<b2 ab<b2a

16、b<0 |a|b|>|ab|答案解析<<0，b<a<0.a2<b2，ab<b2，ab<0，|a|b|ab|.3设A，B(a>0，b>0)，则A，B的大小关系是_答案A>B解析因为AB>0，所以A>B.4设(0，)，0，那么2的取值范围是_答案(，)解析由题设得0<2<，0，0，<2<.5设a>1，且mloga(a21)，nloga(a1)，ploga(2a)，则m，n，p的大小关系为_答案m>p>n解析因为a>1，所以a212a(a1)2>0，即a21>

17、;2a，又2a>a1，所以由对数函数的单调性可知loga(a21)>loga(2a)>loga(a1)，即m>p>n.6已知a<0，1<b<0，那么a，ab，ab2的大小关系是_(用“>”连接)答案ab>ab2>a解析由1<b<0，可得b<b2<1.又a<0，ab>ab2>a.7设a>b>c>0，x，y，z，则x，y，z的大小关系是_(用“>”连接)答案z>y>x解析方法一y2x22c(ab)>0，y>x.同理，z>y，z>y&

18、gt;x.方法二令a3，b2，c1，则x，y，z，故z>y>x.8已知a，b，c，d均为实数，有下列命题若ab>0，bcad>0，则>0；若ab>0，>0，则bcad>0；若bcad>0，>0，则ab>0.其中正确的命题是_答案解析ab>0，bcad>0，>0，正确；ab>0，又>0，即>0，bcad>0，正确；bcad>0，又>0，即>0，ab>0，正确故都正确9若实数a1，比较a2与的大小解a2，当a>1时，a2>；当a<1时，a2<.

19、10甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解设路程为s，跑步速度为v1，步行速度为v2，t甲，s·v1·v2t乙，1.t甲t乙，当且仅当v1v2时“”成立由实际情况知v1>v2，t甲>t乙乙先到教室B组专项能力提升(时间：25分钟)1下列三个不等式中，恒成立的个数是_x2(x0)；<(a>b>c>0)；>(a，b，m>0，a<b)答案2解析当x<0时，不成立由a>b>c>0，得<，所以<成立，所以恒成立.>0.所以恒成立2已知alog32，bln 2，c5，则a，b，c的大小关系为_(用“<”连接)答案c<a<b解析alog32，0<ln 2<1，ln 3>1，a<ln 2b，即a<b，a，c，0<log23<2而>2，0<log23<，a>c，c<a&