2014年高考(福建卷)文科数学

1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷 ) 数学试题 (文史类 ) 第卷 (选择题共 60 分) 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2014 福建，文1)若集合 px|2x4，q x|x3 ，则 pq 等于 ()ax|3x4 bx|3 x4 cx|2x3 dx|2 x3 答案： a 解析： 结合数轴，得pqx|3x4 故选 a. 2(2014 福建，文2)复数 (32i)i 等于 ()a 23i b 23i c23i d 23i 答案： b 解析： (32i)i 3i2i2 23i.故选 b. 3(2014

2、 福建，文 3)以边长为1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()a2bc2 d1 答案： a 解析： 根据题意，可得圆柱侧面展开图为矩形，长为2 12 ，宽为1， s2 12.故选 a. 4 (2014 福建，文 4)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 输出的 n 的值为 ()a1 b2 c3 d4 答案： b 解析： 第一次循环n1，判断2112成立，则n11 2；第二次循环，判断2222不成立，则输出n2.故选 b. 5(2014 福建，文5)命题“x0， )，x3x0”的否定是 ()ax(， 0)，x3x0 bx(， 0)，x3x0 cx00，

3、 )，3000 xxdx00， )，3000 xx答案： c 解析： 全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是x00， )，3000 xx.故选 c. 6(2014 福建，文 6)已知直线l 过圆 x2 (y 3)24 的圆心， 且与直线xy10 垂直，则 l 的方程是 ()axy 20 bxy20 cxy30 dxy30 答案： d 解析： 直线过圆心 (0,3)，与直线xy10 垂直，故其斜率k1.所以直线的方程为y31 (x 0)，即 xy 30.故选 d. 7(2014 福建，文 7)将函数 ysin x 的图象向左平移2个单位， 得到函数yf(x)的图象，则下列说法正确的是()ay

4、f(x)是奇函数byf(x)的周期为cyf(x)的图象关于直线2x对称dyf(x)的图象关于点(,0)2对称答案： d 解析： ysin x 的图象向左平移2个单位，得( )=sin=cos 2yf xxx的图象，所以 f(x)是偶函数， a 不正确； f(x)的周期为2 ，b 不正确； f(x)的图象关于直线x k( k z)对称，c 不正确； f(x)的图象关于点( ,0)2k(kz)对称，当 k 1 时，点为(,0)2，故 d正确综上可知选d. 8(2014 福建，文8)若函数 ylogax(a0，且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 ()答案： b 解析： 由题中图象可知l

5、oga3 1，所以 a 3.a 选项，133xxy为指数函数，在r上单调递减，故a 不正确 b 选项， yx3为幂函数，图象正确c 选项， y(x)3 x3，其图象和b 选项中 yx3的图象关于x 轴对称，故c 不正确 d 选项， ylog3(x)，其图象与 ylog3x 的图象关于y 轴对称，故d 选项不正确综上可知选b. 9(2014 福建，文 9)要制作一个容积为4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20 元，侧面造价是每平方米10 元，则该容器的最低总造价是()a80 元b120 元c160 元d240 元答案： c 解析： 设容器的底长x 米，宽 y

6、米，则 xy4. 所以4yx，则总造价为：f(x)20 xy2(xy)1108080 x20 x420()xx80，x(0， )所以4202+80160fxxx，当且仅当4xx，即 x2 时，等号成立，所以最低总造价是160 元故选c. 10(2014 福建， 文 10)设 m 为平行四边形abcd 对角线的交点， o 为平行四边形abcd所在平面内任意一点，则oaobocod等于 ()aomb2omc3omd4om答案： d 解析： 因为 m 是 ac 和 bd 的中点，由平行四边形法则，得2oaocom，2obodom，所以4oaobocodom.故选 d. 11(2014 福建，文 11

7、)已知圆 c：(x a)2(yb)2 1，平面区域：70,30,0.xyxyy若圆心 c ，且圆 c 与 x轴相切，则a2b2的最大值为 ()a5 b29 c37 d49 答案： c 解析： 由题意，画出可行域 ，圆心 c ，且圆 c 与 x 轴相切，所以b 1. 所以圆心在直线y1 上， 求得与直线x y30， xy 70 的两交点坐标分别为a(2,1)，b(6,1)，所以 a 2,6所以 a2b2a211,37 ，所以 a2 b2的最大值为37.故选 c. 12(2014 福建， 文 12)在平面直角坐标系中，两点 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)间的“ l距离”定义为 |p1p2|

8、x1x2|y1y2|，则平面内与x 轴上两个不同的定点f1，f2的“ l距离”之和等于定值 (大于 |f1f2|)的点的轨迹可以是()答案： a 解析： 不妨设 f1(a,0)，f2(a,0)，其中 a0，点 p(x，y)是其轨迹上的点，p 到 f1，f2的“l距离 ” 之和等于定值b(大于 |f1f2|)，所以 |x a|y| |xa|y| b，即|xa|xa|2|y|b. 当 x a，y0 时，上式可化为2byx =；当 axa，y0 时，上式可化为2bya=；当 xa，y0 时，上式可化为2bx y+ =；当 x a，y0 时，上式可化为2bx y+-；当 axa，y0 时，上式可化为y

9、ab2；当 xa，y0 时，上式可化为2bxy=；可画出其图象(也可利用前三种情况，再关于x 轴对称 )故选 a. 第卷 (非选择题共 90 分) 二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分把答案填在答题卡的相应位置13 (2014 福建，文 13)如图，在边长为1 的正方形中随机撒1 000 粒豆子，有180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_答案： 0.18 解析： 由几何概型可知18010001sss阴影阴影正方形，所以 s阴影0.18.故答案为 0.18. 14 (2014 福建，文 14)在 abc 中，a60 ， ac2，3bc， 则 ab 等于 _答案： 1

10、 解析： 由余弦定理可知：2222431cos 2222bcacabcc，所以 c1.故答案为1. 15 (2014 福建，文 15)函数22,0,26ln ,0 xxfxxx x的零点个数是 _答案： 2 解析： 当 x0 时，令 f(x)x220，得2x，2x. 当 x0 时， f(x)2x 6ln x，12+0fxx. 所以 f(x)单调递增，当x 0 时， f(x) 0；当 x 时， f(x)0，所以 f(x)在(0， )上有一个零点综上可知共有两个零点故答案为2. 16 (2014 福建，文 16)已知集合 a，b， c 0,1,2 ，且下列三个关系：a2； b2； c 0 有且只有

11、一个正确，则100a 10bc 等于 _答案： 201 解析： 由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况：(1)当成立时，则a2，b2，c 0，此种情况不成立；(2)当成立时，则a2，b2，c 0，此种情况不成立；(3)当成立时，则a2，b2，c 0，即 a2，b0， c1，所以 100a10bc10021001201. 故答案为201. 三、解答题：本大题共6 小题，共74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 (本小题满分12 分)(2014 福建，文17)在等比数列 an中， a2 3，a581. (1)求 an；(2)设 bnlog3an，求数列 bn的前 n 项和 sn.

12、分析： (1)等比数列中已知两项，从而求得公比q，结合通项公式an a1qn1或 anamqnm得 an的通项公式(2)借助 (1)的结论，先求得bn，可得 bn为等差数列，利用等差数列求和公式12nnn aas，求得 sn. 解： (1)设 an的公比为q，依题意，得1413,81,a qa q解得11,3.aq因此， an3n1. (2)因为 bnlog3ann1，所以数列 bn 的前 n 项和21()22nnn bbnns. 18 (本小题满分12 分)(2014 福建，文18)已知函数f(x)2cos x(sin x cos x)(1)求5()4f的值；(2)求函数 f(x)的最小正周

13、期及单调递增区间分析： 对于 (1)，可把5()4x代入 f(x)的解析式，认真运算，便可求得结果，另外也可先化简再求值，化简时要把两角和与差的三角函数、二倍角公式、辅助角公式及诱导公式利用好，注意化简的最终形式一般为f(x)asin(x )对于 (2)，根据化简的结果结合三角函数的图象与性质以及三角函数的单调性，准确求出周期与单调区间解法一： (1)5555()2cos(sincos)4444f2cos( sincos)4442. (2)因为 f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x1 2sin(2)14x，所以22t. 由2 22 242kxk，kz，得388kx

14、k， kz. 所以 f(x)的单调递增区间为3 , 88kk，k z. 解法二： f(x) 2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x132 sin14. (1)5113()2 sin12 sin12444f. (2)22t. 由2 2242kxk，kz，得388kxk， kz. 所以 f(x)的单调递增区间为3 , 88kk，k z. 19 (本小题满分12 分 )(2014 福建，文19)如图，三棱锥abcd 中， ab平面 bcd，cdbd. (1)求证： cd平面 abd ；(2)若 abbdcd1，m 为 ad 中点，求三棱锥ambc 的体积分析： (1)线面垂直的证

15、法有线线垂直与面面垂直两种，结合本题条件，可证明cd 垂直于平面 abd 内的两条相交直线即可证得cd 垂直于平面abd.(2)三棱锥体积13vsh=，但要注意转换顶点和底面，对于本题，可将sabm求出，高即为cdh，代入公式可求得，也可借助图中关系，利用vambcvabcd vmbcd求得解法一： (1)ab平面 bcd，cd? 平面 bcd ，abcd. 又 cdbd，abbdb，ab? 平面 abd，bd? 平面 abd， cd平面 abd. (2)由 ab平面 bcd ，得 ab bd，abbd1，12abds. m 是 ad 的中点，1124abmabdss. 由(1)知， cd平面

16、 abd ，三棱锥cabm 的高 hcd1，因此三棱锥ambc 的体积vambcvcabm13abmsh112. 解法二： (1)同解法一(2)由 ab平面 bcd 知，平面abd平面 bcd，又平面 abd平面 bcdbd，如图，过点m 作 mnbd 交 bd 于点 n，则 mn平面 bcd ，且1122mnab. 又 cd bd，bdcd 1，12bcds. 三棱锥ambc 的体积 vambcvabcdvmbcd13ab sbcd13mn sbcd112. 20(本小题满分12 分)(2014 福建，文 20)根据世行2013 年新标准， 人均 gdp 低于 1 035美元为低收入国家；

17、人均 gdp 为 1 0354 085 美元为中等偏下收入国家；人均 gdp 为 4 08512 616 美元为中等偏上收入国家；人均gdp 不低于 12 616 美元为高收入国家某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均gdp 如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均 gdp(单位：美元 ) a 25% 8 000 b 30% 4 000 c 15% 6 000 d 10% 3 000 e 20%10 000 (1)判断该城市人均gdp 是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5 个行政区中随机抽取2 个，求抽到的2 个行政区人均gdp 都达到中等偏上收入国家标准的概率分析：

18、(1)该城市人均gdp 即为求平均值，利用公式代入认真运算，可得人均gdp，判断其所在范围，可知是否达到中等偏上收入国家标准(2)从 5 个行政区中随机抽取2 个，列出所有基本事件，再找出抽到的2 个行政区人均gdp 都达到中等偏上收入国家标准的基本事件利用古典概型概率公式可求得其概率解： (1)设该城市人口总数为a，则该城市人均gdp 为80000.2540000.3060000.1530000.10100000.20aaaaaa6 400. 因为 6 400 4 085,12 616)，所以该城市人均gdp 达到了中等偏上收入国家标准(2)“从 5 个行政区中随机抽取2 个”的所有的基本事

19、件是：a ，b ，a ，c ，a ，d ，a ， e，b ，c ，b ，d ，b ，e ，c ，d ，c ，e， d ，e，共 10 个设事件 “抽到的 2 个行政区人均gdp 都达到中等偏上收入国家标准”为 m，则事件 m 包含的基本事件是：a ，c ， a ，e， c ，e ，共 3 个，所以所求概率为310p m. 21(本小题满分12 分 )(2014 福建，文 21)已知曲线 上的点到点f(0,1)的距离比它到直线 y 3 的距离小2. (1)求曲线 的方程；(2)曲线 在点 p 处的切线l 与 x 轴交于点a，直线 y3 分别与直线l 及 y 轴交于点m，n.以 mn 为直径作圆c

20、，过点 a 作圆 c 的切线， 切点为 b.试探究： 当点 p 在曲线 上运动 (点p 与原点不重合 )时，线段ab 的长度是否发生变化？证明你的结论分析： (1)根据题意，可知曲线上的点到点f(0,1)的距离等于它到直线y 1 的距离，结合抛物线的定义可得曲线的方程； 或利用求方程的一般做法，设点坐标， 建立几何关系，转化为代数关系，整理便可得到其方程对于(2)，先求导，得斜率，利用点斜式可得直线l的方程，与y0 联立，得a 点坐标，与y3 联立，得m 点坐标，直线y3 与 y 轴的交点n 易知，进而得出圆心和半径，结合勾股定理可得|ab|为定值，问题得证解法一： (1)设 s(x，y)为曲

21、线 上任意一点，依题意，点s到 f(0,1) 的距离与它到直线y 1 的距离相等，所以曲线是以点 f(0,1)为焦点、直线y 1 为准线的抛物线，所以曲线的方程为x24y. (2)当点 p 在曲线 上运动时，线段ab 的长度不变证明如下：由(1)知抛物线的方程为214yx，设 p(x0，y0)(x0 0)，则20014yx，由12yx，得切线l 的斜率 ky |xx0012x，所以切线l 的方程为yy0012x(xx0)，即2001124yx xx. 由20011,240yx xxy得01,02ax. 由20011,243yx xxy得0016,32mxx. 又 n(0,3)，所以圆心0013

22、,34cxx，半径00113| |24rmnxx，222220000011313|36244abacrxxxxx. 所以点 p 在曲线 上运动时，线段ab 的长度不变解法二： (1)设 s(x，y)为曲线 上任意一点，则|22|( 3) |(0)(1)2yxy，依题意，点s(x，y)只能在直线y 3 的上方，所以 y 3，所以22(0)(1)1xyy，化简得，曲线的方程为x24y. (2)同解法一22 (本小题满分14 分)(2014 福建，文22)已知函数f(x)exax(a 为常数 )的图象与y 轴交于点 a，曲线 yf(x)在点 a 处的切线斜率为1. (1)求 a 的值及函数f(x)的

23、极值；(2)证明：当x0 时， x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x0， )时，恒有xcex. 分析： (1)由题意可知点a 的横坐标为0，先求出 f(x)的导函数f(x)，则曲线 yf(x)在点 a处的切线斜率为f(0)，由 f(0) 1 可求得 a 的值再利用求极值的步骤求解即可对于(2)，常对此类问题构造新函数g(x)exx2，只需 g(x) 0在(0， )上恒成立即可，利用导数得到 g(x)的单调性，从而得证(3)中存在性问题处理，可结合(2)的结论，合理利用exx2，只是将 ex x2的 x2中一个 x 赋值即可，所以可令01xc，当 xx0时，21ex

24、xxc，利用不等式的传递性来解决问题或根据 c 的值与 1 的大小关系分类进行证明当 c1 时，可直接根据 (2)中的结论得证； 当 0c1 时，证明的关键是找出x0.可构造函数， 然后利用导数研究其单调性，在该函数的增区间内找出一个值x0满足条件即可得证解法一： (1)由 f(x)exax，得 f (x)exa. 又 f(0)1 a 1，得 a2. 所以 f(x)ex 2x，f(x)ex2. 令 f(x)0，得 xln 2. 当 xln 2 时， f(x)0，f(x)单调递减；当 xln 2 时， f(x)0，f(x)单调递增所以当 xln 2 时，f(x)有极小值， 且极小值为f(ln 2) eln 22ln 22 ln 4， f(x)无极大值(2)令 g(x)exx2，则 g(x)ex2x. 由(1)得， g(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，即 g (x)0. 所以 g(x)在 r