正弦稳态响应的叠加

1、正弦稳态响应的叠加正弦稳态响应的叠加 本节讨论几个不同频率的正弦激励在线性时不变电路本节讨论几个不同频率的正弦激励在线性时不变电路中引起的非正弦稳态响应。中引起的非正弦稳态响应。 几个频率不同的正弦激励在线性时不变电路中产生的几个频率不同的正弦激励在线性时不变电路中产生的稳态电压和电流，可以利用叠加定理，分别计算每个正弦稳态电压和电流，可以利用叠加定理，分别计算每个正弦激励单独作用时产生的正弦电压激励单独作用时产生的正弦电压uk(t)和电流和电流ik(t)，然后相加，然后相加求得非正弦稳态电压求得非正弦稳态电压u(t)和电流和电流i(t)。 在计算每个正弦激励单独作用引起的电压和电流时，在计算

2、每个正弦激励单独作用引起的电压和电流时，仍然可以使用相量法先计算出电压电流相量，然后得到电仍然可以使用相量法先计算出电压电流相量，然后得到电压电流的瞬时值压电流的瞬时值uk(t)和和ik(t)。试用叠加定理求稳态电压试用叠加定理求稳态电压u(t)。 例例10-27 图图(a)所示电路中，已知所示电路中，已知V)10100cos(20)(Sttu电压源电压电压源电压A)50200cos(2)(Stti电流源电流电流源电流解：解：1.计算计算 单独作用时产生单独作用时产生 的电压的电压V)10100cos(20)(Sttu)(tu 将电流源将电流源iS(t)以开路代替，得到图以开路代替，得到图(b

3、)所示相量模型，所示相量模型，由此求得由此求得V5510102105 j55 j5 j55 jSUU 由相量写出相应的瞬时值表达式由相量写出相应的瞬时值表达式 V)55100cos(210)(ttu 2.计算计算 单独作用时产生的单独作用时产生的电压电压 。A)50200cos(2)(Stti)(tu 将电压源将电压源uS(t)用短路代替，得到图用短路代替，得到图(c)所示相量模型，所示相量模型，由此求得由此求得V6 .7647. 450110j550j10j5510jSIU“ 由相量写出相应的瞬时值表达式由相量写出相应的瞬时值表达式 V)6 .76200cos(247. 4)(ttuV)6

4、.76 200cos(247. 4V)55 100cos(210 )()()(tttututu 3.根据叠加定理求稳态电压根据叠加定理求稳态电压u(t) 将每个正弦电源单独作用时产生的电压瞬时值相加，将每个正弦电源单独作用时产生的电压瞬时值相加，得到非正弦稳态电压得到非正弦稳态电压u(t) 和和 的波形如图的波形如图(a)所示。所示。 的的波形如图波形如图(b)所示，它是一个非正弦周期波形。所示，它是一个非正弦周期波形。 )(tu)(tu)()()(tututuV)6 .76 200cos(247. 4V)55 100cos(210 )()()(tttututu 对于周期性非正弦信号在线性时不

5、变电路中引起的稳对于周期性非正弦信号在线性时不变电路中引起的稳态响应，也可应用叠加定理，按不同频率正弦激励下响应态响应，也可应用叠加定理，按不同频率正弦激励下响应的计算方法求得。为此，先用傅里叶级数把非正弦周期信的计算方法求得。为此，先用傅里叶级数把非正弦周期信号分解为直流分量和一系列不同频率正弦分量之和。号分解为直流分量和一系列不同频率正弦分量之和。 )3cos(351)2cos(151)cos(3121A4)()3sin(31)2sin(21)sin(A2A)()5sin(51)3sin(31)sin(A4)(111111111tttthttttgttttf图图(a),(b),(c)所所示

6、三种非正弦示三种非正弦周期信号的傅周期信号的傅里叶级数分别里叶级数分别为：为： 例例10-28 图图10-56(a)所示幅度所示幅度A=10V，周期，周期T=6.28ms周期方波电周期方波电 压信号压信号uS(t)作用于图作用于图(b)所示电路。试求电阻上的稳态电所示电路。试求电阻上的稳态电 压压u(t)。 V)5cos(4)3cos(320)cos(205 )5cos(51)3cos(31)cos(2A2A)(111111S tttttttu图图 1056 (1) 5V直流电压源作用时，由直流电压源作用时，由于于 =0，在直流稳态条件下，电感，在直流稳态条件下，电感相当于短路，所以相当于短路

7、，所以 V5)(00Utu (2)基波电压基波电压(20/ )cos 1t作用时，作用时， 1=2 /T=103rad/s，根据相，根据相应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量 V45183. 3 22010j1010j111SULRRU 相应的瞬时值表达式为相应的瞬时值表达式为 V)4510cos(5 . 4)(31ttu (3) 三次谐波电压三次谐波电压 (-20/3 )cos(3 1t) 作用时，作用时，3 1=3 103rad/s，根据相应的相量模型可以计算出相应的，根据相应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量相量电压分量 V)6 .7110

8、3cos(671. 0)(33ttu 瞬时值表达式为瞬时值表达式为 V6 .71475. 0 2 32030j1010 3 j3S13ULRRU (4) 五次谐波电压五次谐波电压(4/ )cos(5 1t)作用时，作用时，5 1=5 103rad/s，根据相应的相量模型计算出相应的相量，根据相应的相量模型计算出相应的相量电压分量电压分量 V)7 .78105cos(25. 0)(35ttu 瞬时值表达式为瞬时值表达式为 V7 .781766. 0 2450j1010 5 j5S15ULRRUV)7 .78105cos(25. 0 )6 .71103cos(67. 0)4510cos(5 . 4

9、5 )()()()()(3335310 ttttututututu注意注意：在用叠加法计算几个不同频率的正弦激励在电路中：在用叠加法计算几个不同频率的正弦激励在电路中 引起的非正弦稳态响应时，只能将电压电流的瞬时引起的非正弦稳态响应时，只能将电压电流的瞬时 值相加，绝不能将不同频率正弦电压的相量相加。值相加，绝不能将不同频率正弦电压的相量相加。 (5)其余谐波分量的计算方法相同其余谐波分量的计算方法相同 最后将直流分量和各次谐波分量的瞬时值相加，就得最后将直流分量和各次谐波分量的瞬时值相加，就得到电阻上稳态电压的瞬时值到电阻上稳态电压的瞬时值 本题用计算机程序本题用计算机程序ACAP求得输出电

10、压前求得输出电压前12项的结果项的结果以及波形如下所示：以及波形如下所示： u 3(t)= 5.00 Cos( .000 t +.00) + 4.50 Cos( 1000. t -45.00) + .671 Cos( 3.000E+03t+108.43) + .250 Cos( 5.000E+03t -78.69) + .129 Cos( 7.000E+03t +98.13) + 7.811E-02Cos( 9.000E+03t -83.66) + 5.240E-02Cos( 1.100E+04t +95.19) + 3.756E-02Cos( 1.300E+04t -85.60) + 2.823E-02Cos( 1.500E+04