小学四年级奥数教程-课件PPT

1、2021/8/261小学四年级奥数教程小学四年级奥数教程 第九讲第九讲 和倍问题和倍问题2021/8/262 生活中常常有这样的事情：四生活中常常有这样的事情：四班同学到果园里去班同学到果园里去植树，栽苹果树和梨树共植树，栽苹果树和梨树共150150棵，其中苹果树是梨树的棵，其中苹果树是梨树的2 2倍，问植苹果树和梨树各多少棵？这是一道已知两个数倍，问植苹果树和梨树各多少棵？这是一道已知两个数（或几个数）的和以及它们之间的倍数关系，求两个数（或几个数）的和以及它们之间的倍数关系，求两个数（或几个数）的问题，在数学上称之为和倍问题。解答（或几个数）的问题，在数学上称之为和倍问题。解答这类题的关键

2、是在已知条件中确定一个数为标准（一般这类题的关键是在已知条件中确定一个数为标准（一般以小数为标准），也就是把它看作以小数为标准），也就是把它看作1 1倍数（或倍数（或1 1份数），份数），再根据另一个数与这个数的倍数关系，确定总和相当于再根据另一个数与这个数的倍数关系，确定总和相当于1 1倍数的多少倍，然后用除法求出倍数的多少倍，然后用除法求出1 1倍的数，再算出另一个倍的数，再算出另一个数。和倍问题的数量关系是：数。和倍问题的数量关系是：和和（倍数（倍数+1+1）= =小数小数 小数小数倍数倍数= =大数大数 和和- -小数小数= =大数大数2021/8/263例例1 1：庆：庆“六一六一”

3、四二班剪红花和黄花共四二班剪红花和黄花共630630朵，已知要剪的红花是黄花的朵，已知要剪的红花是黄花的2 2倍，求剪红花倍，求剪红花和黄花各多少朵？和黄花各多少朵？2021/8/264分析：我们可以用画线段图的方法来帮助理解：分析：我们可以用画线段图的方法来帮助理解：黄花：黄花： 1 1倍倍 ？朵？朵 630630朵朵红花：红花： 1 1倍倍 1 1倍倍 ？朵？朵 先把黄花（小数）看成是先把黄花（小数）看成是1 1倍数，红花就是倍数，红花就是2 2倍数，红花和倍数，红花和黄花总共是黄花总共是3 3倍，正好是倍，正好是630630朵。把朵。把630630朵平均分成朵平均分成3 3份，每份就份，

4、每份就是是1 1倍数，也就是黄花的朵数。倍数，也就是黄花的朵数。 例例1 1：庆：庆“六一六一”四二班剪红花和黄花共四二班剪红花和黄花共630630朵，已知朵，已知要剪的红花是黄花的要剪的红花是黄花的2 2倍，求剪红花和黄花各多少朵？倍，求剪红花和黄花各多少朵？2021/8/265例例2 2：学校食堂里运来大米和面粉共：学校食堂里运来大米和面粉共14501450千克，千克，其中大米比面粉重量的其中大米比面粉重量的3 3倍少倍少150150千克，求运来千克，求运来大米和面粉各多少千克？大米和面粉各多少千克？2021/8/266例例2 2：学校食堂里运来大米和面粉共：学校食堂里运来大米和面粉共14

5、501450千克，其千克，其中大米比面粉重量的中大米比面粉重量的3 3倍少倍少150150千克，求运来大米千克，求运来大米和面粉各多少千克？和面粉各多少千克？分析：可以用画线段图如下：分析：可以用画线段图如下：面粉：面粉： 1 1倍倍 ？千克？千克 3 3倍倍 共共14501450千克千克 大米：大米： ？千克？千克 少少150150千克千克 由图可以看出：已知大米和面粉共由图可以看出：已知大米和面粉共14501450千克，大米比面粉千克，大米比面粉重量的重量的3 3倍少倍少150150千克，假如大米增加千克，假如大米增加150150千克，就恰好是面粉千克，就恰好是面粉的的3 3倍了。倍了。

6、但大米增加但大米增加150150千克，那么大米和面粉的总重量也千克，那么大米和面粉的总重量也增加增加150150千克，共是千克，共是1450+150=16001450+150=1600千克。千克。 2021/8/267例例3 3：甲、乙两箱苹果共：甲、乙两箱苹果共9696千克，如果从甲箱取千克，如果从甲箱取出出1616千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的的3 3倍，两箱原有苹果各多少千克？倍，两箱原有苹果各多少千克？2021/8/268例例3 3：甲、乙两箱苹果共：甲、乙两箱苹果共9696千克，如果从甲箱取出千克，如果从甲箱取出1616千克千克放入乙箱，那

7、么乙箱的千克数是甲箱的放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的3 3倍，两箱原有苹倍，两箱原有苹果各多少千克？果各多少千克？分析：两箱苹果放来放去之后，部总千克数没有改变，只分析：两箱苹果放来放去之后，部总千克数没有改变，只是甲箱取出是甲箱取出1616千克，就是减少了千克，就是减少了1616千克，放入乙箱千克，放入乙箱1616千千克，就是乙箱增加克，就是乙箱增加1616千克。这时乙箱的千克数就是甲箱的千克。这时乙箱的千克数就是甲箱的3 3倍。我们可以把移动后的甲箱千克数看成倍。我们可以把移动后的甲箱千克数看成1 1倍数，移动后倍数，移动后的乙箱千克数就是这样的的乙箱千克数就是这样的3 3倍数，两箱的

8、总重量则是这样倍数，两箱的总重量则是这样的的4 4倍数。总重量没变，是倍数。总重量没变，是9696千克。用除法便可求出移后千克。用除法便可求出移后结果。然后再求出原来重量。结果。然后再求出原来重量。 1 1倍倍移后甲箱：移后甲箱： ？千克？千克 3 3倍倍 9696千克千克 移后乙箱：移后乙箱： ？千克？千克 2021/8/269例例4 4：3 3篮橘子共有篮橘子共有126126个，第一篮橘子个数是第个，第一篮橘子个数是第二篮的二篮的2 2倍，第三篮的橘子个数是第一篮的倍，第三篮的橘子个数是第一篮的3 3倍。倍。这这3 3篮橘子各多少个？篮橘子各多少个？2021/8/2610例例4 4：3 3

9、篮橘子共有篮橘子共有126126个，第一篮橘子个数是第二篮的个，第一篮橘子个数是第二篮的2 2倍，第三篮的橘子个数是第一篮的倍，第三篮的橘子个数是第一篮的3 3倍。这倍。这3 3篮橘子各篮橘子各多少个？多少个？分析：这道题有一个选标准的问题，是选第一篮为标分析：这道题有一个选标准的问题，是选第一篮为标准，还是选第二篮为标准。从题意上可以想到第二篮准，还是选第二篮为标准。从题意上可以想到第二篮是最小的数。那就把第二篮的橘子数确定为标准，把是最小的数。那就把第二篮的橘子数确定为标准，把它看作它看作1 1倍数，第一篮就是倍数，第一篮就是2 2倍数，第三篮是第一篮的倍数，第三篮是第一篮的3 3倍，也就

10、是第二篮的倍，也就是第二篮的2 23 3倍，倍，3 3篮一共是篮一共是1+2+6=91+2+6=9倍，倍，正好是正好是126126个，用和倍问题解答即可。个，用和倍问题解答即可。2021/8/2611例例5 5：学校买来：学校买来828828本科技书分给本科技书分给4 4、5 5、6 6三个三个年级，年级，6 6年级分得的是年级分得的是4 4年级的年级的3 3倍多倍多5 5本，本，5 5年年级分得的是级分得的是4 4年级的年级的2 2倍多倍多1 1本，本，4 4、5 5、6 6三个年三个年级各分得科技书多少本？级各分得科技书多少本？2021/8/2612例例5 5：学校买来：学校买来82882

11、8本科技书分给本科技书分给4 4、5 5、6 6三个年级，三个年级，6 6年级分得的是年级分得的是4 4年级的年级的3 3倍多倍多5 5本，本，5 5年级分得的是年级分得的是4 4年年级的级的2 2倍多倍多1 1本，本，4 4、5 5、6 6三个年级各分得科技书多少三个年级各分得科技书多少本？本？分析：分析：5 5年级和年级和6 6年级分得的本数都是以年级分得的本数都是以4 4年级作为标准年级作为标准的，所以我们把的，所以我们把4 4年级分得的本数看作是年级分得的本数看作是1 1倍数，倍数，6 6年级去年级去掉掉5 5本就正好是本就正好是4 4年级的年级的3 3倍，倍，5 5年级去掉年级去掉1

12、 1本也就正好是本也就正好是4 4年年级的级的2 2倍数，这样总数里也就去掉了倍数，这样总数里也就去掉了5+1=65+1=6（本），变成了（本），变成了828-5-1=822828-5-1=822（本），它也就是（本），它也就是3+2+1=63+2+1=6（倍数），用和（倍数），用和倍倍问题可求出结果。问题可求出结果。2021/8/2613 4 4年级：年级： 5 5年级：年级： 6 6年级：年级： ？本？本 1 1倍倍 2 2倍倍 多多1本本 ？本？本 3 3倍倍 多多5本本 ？本？本 828828本本2021/8/2614例例6 6：小亮和小芳兄妹俩把过年的压在钱共：小亮和小芳兄妹俩把过年

13、的压在钱共10001000元存入银行。开学初，小亮取出元存入银行。开学初，小亮取出240240元，小芳又元，小芳又存入存入8080元，这时小芳的存款钱数正好是小亮的元，这时小芳的存款钱数正好是小亮的3 3倍。原来谁比谁存的钱多，多多少元？倍。原来谁比谁存的钱多，多多少元？2021/8/2615例例6 6：小亮和小芳兄妹俩把过年的压在钱共：小亮和小芳兄妹俩把过年的压在钱共10001000元存元存入银行。开学初，小亮取出入银行。开学初，小亮取出240240元，小芳又存入元，小芳又存入8080元，这时小芳的存款钱数正好是小亮的元，这时小芳的存款钱数正好是小亮的3 3倍。原来谁倍。原来谁比谁存的钱多，

14、多多少元？比谁存的钱多，多多少元？分析：要求原来谁比谁存的钱多，多多少元，首先得分析：要求原来谁比谁存的钱多，多多少元，首先得求出小亮和小芳原来各存款多少元。根据题意，小亮求出小亮和小芳原来各存款多少元。根据题意，小亮取出，小芳存入后两人的共存款数为取出，小芳存入后两人的共存款数为1000240+80=8401000240+80=840（元），已知这时小芳的存款钱数是小亮的（元），已知这时小芳的存款钱数是小亮的3 3倍，把倍，把小亮现在存款钱数看作小亮现在存款钱数看作1 1倍，小芳的存款数就是倍，小芳的存款数就是3 3倍，倍，现在总存款数就是现在总存款数就是1+3=41+3=4倍，也就是倍，也

15、就是840840元，用和倍问元，用和倍问题便能求出小亮和小芳现在存钱数，再求原来存钱题便能求出小亮和小芳现在存钱数，再求原来存钱数，从而知道谁存的多，多多少元？数，从而知道谁存的多，多多少元？2021/8/2616例例7 7：已知：已知A A、B B两数之积为两数之积为50005000，是，是A A、B B两数之两数之和的和的2020倍，而倍，而A A数又是数又是B B数的数的4 4倍，倍，A A、B B两数各是两数各是多少？多少？2021/8/2617例例7 7：已知：已知A A、B B两数之积为两数之积为50005000，是，是A A、B B两数之和的两数之和的2020倍，而倍，而A A数

16、又是数又是B B数的数的4 4倍，倍，A A、B B两数各是多少？两数各是多少？分析：此题如果能求出分析：此题如果能求出A A、B B两数的和是多少，就能用两数的和是多少，就能用和倍问题解题。已知和倍问题解题。已知A A、B B两数之积为两数之积为50005000，是，是A A、B B两两数之和的数之和的2020倍，那倍，那50005000是和的是和的2020倍，可以求出倍，可以求出A A、B B两两数的和，然后把数的和，然后把B B数看作数看作1 1倍数，倍数，A A数就是数就是4 4倍数，和为倍数，和为1+4=51+4=5倍数，这样便可以求解。倍数，这样便可以求解。2021/8/2618例

17、例8 8：游泳馆里有大小两个水池，大水池里有水：游泳馆里有大小两个水池，大水池里有水28002800立方数，小水池里有水立方数，小水池里有水10001000立方数，如果立方数，如果大水池里的水以每分钟大水池里的水以每分钟2020立方米的速度流入小立方米的速度流入小水池，那么多少分钟后小水池中的水是大水池水池，那么多少分钟后小水池中的水是大水池的的4 4倍？倍？2021/8/2619例例8 8：游泳馆里有大小两个水池，大水池里有水：游泳馆里有大小两个水池，大水池里有水28002800立立方数，小水池里有水方数，小水池里有水10001000立方数，如果大水池里的水立方数，如果大水池里的水以每分钟以

18、每分钟2020立方米的速度流入小水池，那么多少分钟立方米的速度流入小水池，那么多少分钟后小水池中的水是大水池的后小水池中的水是大水池的4 4倍？倍？分析：解答这道题时，应明确不管大水池的水往小水分析：解答这道题时，应明确不管大水池的水往小水池里流，还是小水池的水往大水池里流，两池水的总池里流，还是小水池的水往大水池里流，两池水的总量是不变的。两池里的水一共是量是不变的。两池里的水一共是2800+1000=3802800+1000=380（m m3 3），），把大水池所剩的水看作是把大水池所剩的水看作是1 1倍数，那么小水池现在的水倍数，那么小水池现在的水就是就是4 4倍数，两池水一共是倍数，两

19、池水一共是1+4=51+4=5倍数，从而能求出大水倍数，从而能求出大水池里所剩的水。再用池里所剩的水。再用28002800减法剩下的水就等于流走的减法剩下的水就等于流走的水，流出的水除以流速就求出流水的时间。水，流出的水除以流速就求出流水的时间。2021/8/2620例例9 9：被除数、除数、商三个数的和是被除数、除数、商三个数的和是215215，已，已知商是知商是2 2，被除数和除数各是多少？，被除数和除数各是多少？ 两数相除的商为两数相除的商为1212，余数是，余数是2626，被除数、，被除数、除数、商、余数的和等于除数、商、余数的和等于454454，被除数和除数各，被除数和除数各是多少？

20、是多少？2021/8/2621例例9 9：被除数、除数、商三个数的和是被除数、除数、商三个数的和是215215，已知商，已知商是是2 2，被除数和除数各是多少？，被除数和除数各是多少？ 两数相除的商为两数相除的商为1212，余数是，余数是2626，被除数、除数、，被除数、除数、商、余数的和等于商、余数的和等于454454，被除数和除数各是多少？，被除数和除数各是多少？分析：分析：已知商是已知商是2 2，说明被除数是除数的，说明被除数是除数的2 2倍。把除数倍。把除数看作是看作是1 1倍数，被除数则是倍数，被除数则是2 2倍数，从倍数，从215215里去掉里去掉2 2所得的所得的结果则是结果则是

21、3 3倍数，从而就可以求出倍数，从而就可以求出1 1倍数倍数除数，然后除数，然后再用再用“商商除数除数= =被除数被除数”的关系式，算出被除数。的关系式，算出被除数。根据题意，用根据题意，用4 4个数的和减去商个数的和减去商1212，再减去余数，再减去余数2626就就得到了被除数和除数之和，因为商是得到了被除数和除数之和，因为商是1212，也就是被除数，也就是被除数是除数的是除数的1212倍，可以把除数看作是倍，可以把除数看作是1 1倍数，被除数就是倍数，被除数就是1212倍数，它们的和是倍数，它们的和是1+12=131+12=13倍数，用和倍公式即可求倍数，用和倍公式即可求出除数。出除数。2021/8/2622例例1010：甲、乙两数之和为甲、乙两数之和为737737，其中甲数的个，其中甲数的个位是位是0 0，如果把，如果把0 0去掉，就和乙数相同。甲、乙去掉，就和乙数相同。甲、乙两数各是多少？两数各是多少？ 甲、乙、丙三数之和是甲、乙、丙三数之和是22202220，甲是乙，甲是乙的一半，乙是丙的的一半，乙是