二次函数综合题——等腰三角形汇总

1、二次函数综合题一一等腰三角形一.解答题(共30小题)1. ( 2021?新余模拟)如图，二次函数图象的顶点为(1,- 3),并经过点C ( 2, 0).(1) 求该二次函数的解析式；(2) 直线y=3x与该二次函数的图象交于点B (非原点)，求点B的坐标和 AOB的面积;(3) 点Q在x轴上运动，求出所有 AOQ是等腰三角形的点 Q的坐标.22. ( 2021秋？怀宁县校级月考)如图，二次函数y= - x +mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点 B,且 AOB的面积为6.(1) 求该二次函数的表达式；(2) 如果点P在x轴上，且 ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标.23.

2、( 2021?淮安)如图.二次函数y= - x +bx+3的图象与x轴的一个交点为 A (4, 0),与y轴交于点B .(1) 求此二次函数关系式和点B的坐标；(2) 在x轴的正半轴上是否存在点 P.使得 PAB是以AB为底边的等腰三角形？假设存在，4. ( 2021?曲靖模拟)如图，二次函数y=ax7. ( 2006?松江区二模)如图，二次函数y=x +bx+c (c用)的图象经过点 A (- 2, m) (mv 0),与 y 轴交于点 B , AB / x 轴，且 3AB=2OB .(1 )求m的值；(2 )求二次函数的解析式；(3) 如果二次函数的图象与 x轴交于C、D两点(点C在左恻)

3、.问线段BC上是否存在点 卩，使厶POC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.- 4x+c的图象与坐标轴交于点 A (- 1, 0)和点 C (0,- 5).(1 )求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点 B的坐标.(2) 在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P (2,- 2),连接OP,找出x轴上所有点M的坐标，使得 OPM是等腰三角形.25. ( 2021秋？密云县期末)二次函数 y=ax +bx+c的图象分别经过点(0, 3) (3, 0)(2,- 5),(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 假设这个二次函数的图象与 x轴交于点C、D ( C点在点D的左侧

4、)，且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B,使 ABC是等腰三角形，求出点 B的坐标.6. ( 2021?海淀区二模)二次函数 y=ax2+bx+c的图象分别经过点(0, 3), (3,0),(2,- 5).求：(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 求这个二次函数的最值；(3) 假设设这个二次函数图象与 x轴交于点C, D (点C在点D的左侧)，且点A是该图象 的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使 ACB是等腰三角形，求出点 B的 坐标.& ( 2021秋？永新县校级月考)二次函数 y ( x- 1) (x-4)的图象与x轴交于A、B 两点(A在B的左

5、边)，与y轴交于点C.(1) 求出A、B、C三点的坐标；(2) 求厶ABC的面积；y=x与抛物线交于B两点.(3) 在y轴上是否存在点 P,使P、A、C能组成以AC为腰的等腰三角形？假设存在，求出 点P的坐标；假设不存在，说明理由.9. ( 2021?德宏州)如图，直线(1) 求交点A、B的坐标；(2)记一次函数y=x的函数值为y1,二次函数的函数值为y2 .假设 y1 > y2,求 x 的取值范围；(3) 在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点P的坐标.10. (2021?曲阜市模拟)设二次函数 y=ax11. (2021?赤峰)

6、二次函数 y=ax +bx - 3a经过点A (- 1, 0 )、C (0, 3),与x轴交于 另一点B，抛物线的顶点为 D.(1 )求此二次函数解析式；(2) 连接DC、BC、DB，求证： BCD是直角三角形；+bx+c (a>0)的图象与x轴的两个交点 A (x1,0), B (x2, 0),抛物线的顶点为 C,显然 ABC为等腰三角形.(1 )当厶ABC为等腰直角三角形时，求b2- 4ac的值；(2 )当厶ABC为等边三角形时，求 b2- 4ac的值.(3) 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得 PDC为等腰三角形？假设存在，求出符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由.2

7、12. (2021秋？本溪期末)如图，在平面直角坐标系 xOy中，二次函数y= - x +bx+c的图象 与x轴相交于点A ( 4, 0)，与y轴相交于点B (0, 4),动点C是从点A出发，向O点运 动，到达0点时停止运动，过点 C作EC丄x轴，交直线 AB于点D，交抛物线于点 E.(1 )求二次函数的解析式；(2) 连接OE交AB于F点，连接AE ,在动点C的运动过程中，假设厶AOF的面积是 AEF 面积的2倍，求点C的坐标？(3) 在动点C的运动过程中， DEF能否为等腰三角形？假设能，请直接写出点F的坐标； 假设不能，请说明理由.A,rK13. (2021?临川区模拟)如图，二次函数y

8、=ax2+bx+c的图象经过三点 A (- 1, 0) , B(3, 0), C (0, - 3),它的顶点为 M，且正比例函数 y=kx的图象与二次函数的图象相交 于D、E两点.(1 )求该二次函数的解析式和顶点M的坐标；(2) 假设点E的坐标是(2, - 3),且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；(3) 试探究：抛物线的对称轴上是否存在点P ,使厶PAC为等腰三角形？如果存在，请直 接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.214. 2006?孝感如图，二次函数y=-；x+bx+c的图象与x轴只有一个公共点 M,与y轴的交点为A，过点A的直线

9、y=x+c与x轴交于点N，与这个二次函数的图象交于点B .1求点A、B的坐标用含b、c的式子表示；2 当bmn=4Saamn时，求二次函数的解析式；请写出符合条件的所有点 P的坐标；假设不存3 在2的条件下，设点P为x轴上的一个动点，那么是否存在这样的点P,使得以P、A、M为顶点的三角形为等腰三角形？假设存在， 在，请说明理由.厂/、丿八O15. 2021?东营模拟如图，二次函数y= - x2+bx+c c>0的图象与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C,且OB=OC=3，顶点为M .1 求二次函数的解析式；2 点P为线段BM上的一个动点，过点 P作x轴的垂线PQ，垂足为Q

10、,假设OQ=m，四 边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；3探索：线段BM上是否存在点N，使 NMC为等腰三角形？如果存在，求出点 N的 坐标；如果不存在，请说明理由.16. (2021?徐州)如图，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与 x轴交于点D，连接AC .(1 )点A的坐标为，点C的坐标为;(2)线段AC上是否存在点E,使得 EDC为等腰三角形？假设存在，求出所有符合条件的点E的坐标；假设不存在，请说明理由;(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC,假设所得 PAC的面积为S,2个？17. (2021?呼伦贝尔)如

11、图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点 A、C,与y轴相交于点 B , A (-里 (J),且厶AOB BOC .4(1 )求C点坐标、/ ABC的度数及二次函数 y=ax 2+bx+3的关系式；(2)在线段AC上是否存在点 M (m, 0).使得以线段BM为直径的圆与边 BC交于P点 (与点B不同)，且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求出 m的值；218. (2021?廊坊一模)如图，二次函数y=ax +x+c的图象与x轴交于点A、B两点，且A点坐标为(-2, 0),与y轴交于点C (0, 3).(1 )求出这个二次函数的解析式；(2) 直接写出点B的坐标为

12、;(3) 在x轴是否存在一点 P,使厶ACP是等腰三角形？假设存在， 求出满足条件的 P点坐标; 假设不存在，请说明理由；(4) 在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形 ABQC的面积最大？假设存在， 请求出Q点坐标及面积的最大值；假设不存在，请说明理由.19. (2021?景宁县模拟)二次函数y= - x2+4x+5图象交x轴于点A、B,交y轴于点C, 点D是该函数图象上一点，且点 D的横坐标为4，连BD，点P是AB上一动点(不与点 A 重合)，过P作PQ丄AB交射线AD于点Q,以PQ为一边在PQ的右侧作正方形 PQMN .设 点P的坐标为(t, 0).(1) 求点B , C, D

13、的坐标及射线 AD的解析式；(2) 在AB上是否存在点 卩，使厶OCM为等腰三角形？假设存在，求正方形PQMN的边长； 假设不存在，请说明理由；(3) 设正方形PQMN与厶ABD重叠局部面积为 s,求s与t的函数关系式.20. (2021?徐州)如图，二次函数A (- 3, 0)和点 B ,以AB为边在x轴上方作正方形 ABCD，点P是x轴上一动点，连接 DP,过点P作DP的 垂线与y轴交于点E.(1) 请直接写出点 D的坐标：；(2) 当点P在线段AO (点P不与A、O重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值， 求出这个最大值；(3) 是否存在这样的点 卩,使厶PED是等腰三角形？假设存在

14、，请求出点P的坐标及此时 PED 与正方形ABCD重叠局部的面积；假设不存在，请说明理由.21. 2021?鞍山一模如图，二次函数y=ax2+bx+8 a用的图象与x轴交与A , B两点，与y轴交与点C,点A的坐标为-2, 0, sin / ABC=色匹，点D是抛物线的顶5点，直线DC交x轴于点E.1 求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；2在直线CD上是否存在一点 Q,使以B, C, Q为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在， 请直接写出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由；3 点P是直线y=2x - 4上一点，过点P作直线PM垂直于直线CD，垂足为M,假设22. 2021?荷泽如图，三角形 ABC

15、是以BC为底边的等腰三角形，点 A、C分别是一次 函数y= -x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数 尸長氓 的图象上，且 该二次函数图象上存在一点 D使四边形ABCD能构成平行四边形.1试求b, c的值，并写出该二次函数表达式；2动点P从A到D,同时动点 Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问： 当P运动到何处时，有 PQ丄AC ? 当P运动到何处时，四边形 PDCQ的面积最小？此时四边形 PDCQ的面积是多少？23. (2021?北塘区二模)二次函数 y=mx2-5mx+1 ( m为常数，m> 0),设该函数图象 与y轴交于点A，图象上一点B与点A关于该函数图象的对称轴对称

16、.(1) 求点A、B的坐标；(2) 点O为坐标原点，点 M为函数图象的对称轴上一动点，求当M运动到何处时 MAO 的周长最小；(3) 假设该函数图象上存在点 P与点A、B构成一个等腰三角形，且 PAB的面积为10,求 m的值.2 1 324. (2021?黔东南州)如图，二次函数y仁-x x+c的图象与x轴的一个交点为 A(4, 0),与y轴的交点为 B，过A、B的直线为y2=kx+b .(1) 求二次函数y1的解析式及点 B的坐标；(2) 由图象写出满足 y1V y2的自变量x的取值范围；(3) 在两坐标轴上是否存在点P,使得 ABP是以AB为底边的等腰三角形？假设存在，求出P的坐标；假设不

17、存在，说明理由.25. (2021?曲靖一模)如图，直线 y= x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C,二次函数的图象经过点 B、C和点A (- 1, 0).(1 )求B、C两点坐标；(2) 求该二次函数的关系式；(3) 假设抛物线的对称轴与 x轴的交点为点D，那么在抛物线的对称轴上是否存在点卩,使厶PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(4) 点E是线段BC上的一个动点，过点 E作x轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点E运 动到什么位置时，四边形 CDBF的面积最大？求出四边形 CDBF的最大面积及此时 E点的 坐标.26. (2021?怀集县二模

18、)如图， ABC是以BC为底边的等腰三角形，点 A、C分别是一次 函数y=-上x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y=x27. (2021?铜仁市)如图，关于 x的二次函数y=x +bx+c的图象与x轴交于点A (1 , 0)和 点B与y轴交于点C (0, 3),抛物线的对称轴与 x轴交于点D .(1 )求二次函数的表达式；(2) 在y轴上是否存在一点 卩，使厶PBC为等腰三角形？假设存在.请求出点P的坐标);(3) 有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在 AB上向点B运动，另一个点 N 从点D与点M同时出发，以每秒 2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达 点B时，点

19、M、N同时停止运动，问点 M、N运动到何处时， MNB面积最大，试求出最 大面积.+bx+c的图象上，且该42二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.(1) 试求点B、D的坐标，并求出该二次函数的解析式；(2) P、Q分别是线段AD、CA上的动点，点P从A开始向D运动，同时点Q从C开始向A运动，它们运动的速度都是每秒1个单位，求： 当P运动到何处时， APQ是直角三角形?PDCQ的面积是多少?当P运动到何处时，四边形 PDCQ的面积最小？此时四边形28. 2021?丹东如图，二次函数 y=ax2£+c的图象与y轴交于点A 0, 4,与x轴交于点B、C，点C坐标为8，0，连接AB、AC .1请直接写出二次函数 y=ax2+ x+c的表达式；22判断 ABC的形状，并说明理由；3假设点N在x轴上运动，当以点 A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写 出此时点N的坐标；4假设点N在线段BC上运动不与点 B、C重合，过点N作NM / AC，交AB于点M， 当厶AMN面积最大时，求此时点 N的坐标.