高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.3圆的方程word版含答案(精编版)

1、第三节圆的方程圆的方程(1)掌握确定圆的几何要素(2)掌握圆的标准方程与一般方程知识点一圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0) 圆心 c(a，b) 半径为 r一般,x2y2dxeyf0 充要条件： d2e24f0 圆心坐标：d2，e2半径 r12d2e24f易误提醒(1)标准方程 (xa)2(yb)2r2(r0)中易忽视右端为半径r 的平方， 而不是半径(2)对于方程x2y2dxeyf0 表示圆时易忽视d2e24f0 这一成立条件 必备方法求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在任一弦

2、的中垂线上(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线自测练习 1圆 x2y24x8y50 的圆心与半径分别为() a(2,4)，5b(2， 4)，5 c(2,4)，15 d(2， 4)，15 解析： 圆心坐标为 (2， 4)，半径 r1242824 5 5. 答案： b 2圆心在直线x2y30 上，且过点 a(2，3)，b(2， 5)的圆的方程为_解析 ：法一：设点c 为圆心，因为点c 在直线 x2y30 上，所以可设点c 的坐标为(2a3，a)又该圆经过a，b 两点，所以 |ca|cb|，即2a322 a 322a322 a 52，解得 a 2，所以圆心 c 的坐标为 (1， 2)，半径

3、 r10. 故所求圆的方程为(x1)2(y2)210. 法二：设所求圆的标准方程为(x a)2(yb)2 r2，由题意得2a2 3b2r2，2a2 5b2r2，a 2b3 0，解得a 1，b 2，r2 10，故所求圆的方程为(x1)2(y2)210. 答案： (x1)2 (y 2)210 知识点二点与圆的位置关系1确定方法： 比较点与圆心的距离与半径的大小关系2三种关系： 圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点 m(x0，y0)(1)(x0a)2(y0b)2r2? 点在圆上(2)(x0a)2(y0b)2r2? 点在圆外(3)(x0a)2(y0b)2r2? 点在圆内易误提醒若圆的方程为x2y2

4、dxey f0，点 m(x0，y0)注意点 m 与圆的位置关系满足条件自测练习 3若点 (1,1)在圆 (xa)2 (y a)24 的内部，则实数a 的取值范围是() a 1a1 b0a1 或 a1 da 1 解析： 因为点 (1,1)在圆的内部，(1a)2(1a)24， 1a0)经过圆 x2y22y 50 的圆心，则4b1c的最小值是() a9 b8 c4 d2 解析 ：将 x2y22y 50 化为 x2(y1)26，圆心 (0,1)，代入 axbyc10 得 bc1.4b1c (bc)4b1c54cbbc 524cbbc9. 答案： a 求解与圆有关的最值问题的两大规律(1)借助几何性质求

5、最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的考点三与圆有关的轨迹问题|已知圆 x2 y2 4 上一定点a(2,0)，b(1,1)为圆内一点， p，q 为圆上的动点(1)求线段 ap 中点的轨迹方程；(2)若 pbq90 ，求线段pq 中点的轨迹方程解(1)设 ap 的中点为m(x0，y0)，由中点坐标公式可知，p 点坐标为 (2x02,2y0)因为 p 点在圆 x2y24 上，所以 (2x

6、02)2(2y0)24. 故线段 ap 中点的轨迹方程为(x1)2y21. (2)设 pq 的中点为n(x，y )在 rtpbq 中， |pn|bn|. 设 o 为坐标原点，连接on，则 on pq，所以 |op|2|on|2|pn|2|on|2|bn|2，所以 x2y2 (x 1)2(y1)24. 故线段 pq 中点的轨迹方程为x2 y2 xy10. 求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法(1)直接法：根据题设条件直接列出方程(2)定义法：根据圆的定义写出方程(3)几何法：利用圆的性质列方程(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式(2016 唐山一中调研)点p(4， 2)

7、与圆x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是() a(x 2)2(y1)2 1 b(x2)2(y1)2 4 c(x4)2(y2)2 4 d(x 2)2(y1)2 1 解析： 设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为 (x，y)，则xx142，yy122，即x12x4，y12y2，代入 x2y24，得 (2x4)2(2y2)24.化简得 (x2)2(y1)21. 答案： a 25.方程思想在圆中的应用【典例】在平面直角坐标系xoy 中，曲线 yx26x1 与坐标轴的交点都在圆c 上，求圆 c 的方程思维点拨 曲线 yx26x 1 与坐标轴有3 个交点， 可设圆的一般式方程或标准式方程，通过列方程

8、或方程组可求解法一： 曲线 yx26x1 与 y轴的交点为 (0,1)与 x 轴的交点为 (3 2 2，0)，(322，0)设 圆 的 方 程 为x2 y2 dx ey f 0(d2 e2 4f0) ， 则 有1ef0，3222d 322 f0，3222d 322 f0，解得d 6，e 2，f1，故圆的方程是x2y26x2y10. 法二：曲线 yx26x1 与 y 轴的交点为 (0,1)，与 x 轴的交点为 (322，0)，(322，0)，故可设圆 c 的圆心为 (3，t)，则有 32 (t1)2(22)2t2，解得 t1，则圆 c 的半径为32 t123，所以圆 c 的方程为 (x3)2(y

9、 1)29. 方法点评 (1)一般解法 (代数法 )：可以求出曲线yx26x1 与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式(2)巧妙解法 (几何法 )：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算 显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题跟踪练习 已知圆 c 关于 y 轴对称，经过点(1,0)且被 x 轴分成两段，弧长比为12，则圆 c 的方程为 _解析： 由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23，设圆心 (0，a)，半径为 r，则 rsin 31， rcos 3|a|，解得 r23，即 r243，

10、|a|33，即 a33，故圆 c 的方程为 x2y33243. 答案： x2y33243a 组考点能力演练1以线段ab： xy2 0(0 x2)为直径的圆的方程为() a(x 1)2(y1)2 2 b(x1)2(y1)2 2 c(x1)2(y1)2 8 d(x 1)2(y1)2 8 解析： 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，圆心为 (1,1)，半径为2，故圆的方程为(x1)2(y1)22. 答案： b 2(2016 北京西城期末 )若坐标原点在圆(x m)2(ym)24 的内部， 则实数 m 的取值范围是 () a(1,1)b(3，3) c(2，2) d. 22，22解析： (0,0)

11、 在 (xm)2(y m)24 的内部，则有(0m)2 (0 m)24，解得2m2，选 c. 答案： c 3(2016 开封模拟 )已知直线l：xy40与圆 c：(x1)2 (y 1)22，则圆 c 上的点到直线l 的距离的最小值为() a.2 b.3 c1 d3 解析： 由题意知，圆c 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线 l 的距离减去圆的半径，即|114|12 1222. 答案： a 4(2016 洛阳期末 )在平面直角坐标系内，若曲线c： x2 y2 2ax4ay5a240 上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为 () a(， 2) b(， 1) c(1，

12、) d(2， ) 解析： 圆 c 的标准方程为(xa)2(y2a)24，所以圆心为 (a,2a)，半径 r2，由题意知a2|2a|2? a0，mm2m2，得 m2.m0.答案： 2， ) 8圆 c 通过不同的三点p(k,0)，q(2,0)，r(0,1)，已知圆c 在点 p 处的切线斜率为1，则圆 c 的方程为 _解析： 设圆 c 的方程为x2 y2dxeyf0，则 k,2 为 x2 dxf0 的两根，k2 d,2k f，即 d (k2)，f2k，又圆过 r(0,1)，故 1ef0. e 2k1. 故所求圆的方程为x2y2(k2)x(2k1)y2k0，圆心坐标为k 22，2k12. 圆 c 在点

13、 p 处的切线斜率为1，kcp 12k12k， k 3. d1，e5，f 6. 所求圆 c 的方程为 x2y2x5y60. 答案： x2y2x5y60. 9(2016 洛阳统考 )已知圆 s经过点 a(7,8)和点 b(8,7)，圆心 s在直线 2x y40 上(1)求圆 s的方程；(2)若直线 xym0 与圆 s相交于 c，d 两点，若 cod 为钝角 (o 为坐标原点 )，求实数 m 的取值范围解： (1)线段 ab 的中垂线方程为yx，由2xy40，yx，得x4，y4，所以圆 s的圆心为s(4,4)，圆 s的半径为 |sa|5，故圆 s的方程为 (x4)2(y4)225. (2)由 xy

14、m0 变形得 y xm，代入圆 s的方程， 消去 y 并整理得2x22mxm28m70. 令 (2m)28(m28m 7)0，得 85 2m85 2.设 c，d 的横坐标分别为x1，x2，则 x1x2m，x1x2m28m72.依题意， 得oc odo，则 x1x2(x1m)( x2m)0，即 m28m 70，解得 1m7. 故实数 m 的取值范围是 m|8 5 2m852 m|1m7 m|1m0)，若圆 c 上存在点 p，使得 apb90 ，则 m 的最大值为 () a7 b6 c5 d4 解析： 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心c 的坐标为 (3,4)，半径 r1，且 |ab|2m.因

15、为 apb90 ，连接 op，易知 |op|12|ab|m.要求 m 的最大值，即求圆c 上的点p 到原点 o 的最大距离因为|oc|32 42 5，所以 |op|max|oc|r6，即 m 的最大值为 6. 答案： b 2(2015 高考全国卷 )已知三点a(1,0)， b(0，3)，c(2，3)，则 abc 外接圆的圆心到原点的距离为() a.53b.213c.253d.43解析： 设圆的一般方程为x2 y2dxeyf0，1df0，33ef 0，72d3ef0，d 2，e433，f1， abc外 接 圆 的 圆 心 为1，233， 故 abc外 接 圆 的 圆 心 到 原 点 的 距 离 为12332213. 答案： b 3(2014 高考陕西卷 )若圆 c 的半径为1，其圆心与点 (1,0)关于直线 yx 对称，则圆c的标准方程为