2022年2022年高数知识汇总之微分方程

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程；微分方程的阶：微分方程中,所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶；微分方程的通解：假如微分方程的解这中含有任意常数,且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解；微分方程的特解：在通解中赐予任意常数以确定的值而得到的解,称为特解；初始条件：用于确定通解中的任意常数而得到特解的条件称为初始条件；积分曲线：微分方程的特解的图形为一条曲线,叫做微分方程的积分曲线；6.2 一阶微分方程的求解方法6.2.1 分别变量法可分别变量的微分方程

2、：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载形如dy dx特点：f x g y 的微分方程,称为可分别变量的微分方程；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等式右边可以分解成两个函数之积,其中一个为只含有x 的函数,另一个为只含有y 的函数解法：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 g y0 时,把dydxf x g y 分别变量为dy g yf xdx、 g y0 对上式两边积精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分,得通解为dyf xdxc g y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习

3、资料 - - - 欢迎下载（这里我们把积分常数c 明确写出来, 而把dy,g yf xdx 分别懂得为1和g yf x 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一个确定的原函数； ）6.2.2 齐次方程和可化为齐次方程的一阶方程不考；6.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如一阶微分方程f x、 y、 y0 可以写为yp x yq x就称之为一阶线性微分方程,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中 p x . q x 为连续函数当q x0 时,此方程为dydxp x y0 ,称它为对应于精品学习资料精选学习资料 - -

4、- 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载非齐次线性方程的齐次线性微分方程；当q x0 时,称为 非齐次线性微分方程；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法：用常数变易法可得其通解为：p x dxp x dx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yeqxedxc（注：其中每个积分,不再加任意常数c；）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.4 可降阶的二阶微分方程6.4.1 不显含未知函数y 的二阶方程： yf x、 y 解法：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 ypp x ,就ydp,方程变为dxdpf dx x、 p,解之得p 、

5、 再积分得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yp xdx ,即得通解；6.4.2 不显含自变量 x 的二阶方程 : yf y、 y 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法：令 y= p =解；p y ,就 ydpp ,方程变为dyp dpdyf y、p ,解之得p 、再积分得通精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.5 二阶线性微分方程6.5.1 二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载形如yp x yq x yfx 的方程 、称为 二阶线性微分方程；如f x0 ,称之为 二精品学习资料精选学习资料 - - -

6、 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载阶齐次线性微分方程；如f x0 ,称之为 二阶非齐次线性微分方程；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载齐次线性方程解的叠加原理：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如函数y1 、y2 为齐次方程yp x yq x y0 的两个解 、就yc1 y1c2 y2 也为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方程 yp x yq x y0 的解 、其中 c 、c 均为任意常数；12齐次线性方程的通解结构：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如函数y1 x 、 y2 x为齐次方程yp x yq x y0 的两

7、个 线性无关解、就函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yc1 y1c2 y2 c1 、 c2 为任意常数 为方程yp x yqx y0 的通解 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载非齐次线性方程的通解结构：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如 y * 为方程yp x yq x yf x的一个特解,yc1 y1c2 y2 为方精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载程 yp x yq x yf x的通解 、 就yyy*c1 y1c2 y2y *精品学习资料精选

8、学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为方程yp x yq x yf x 的通解；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载线性微分方程的解的叠加原理：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 y1, y2分别为方程yp x yq x yf1 x, yp x yq x yf2 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的特解,就yy1y2为方程yp x yq x yf1 xf 2 x 的特解；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性

9、微分方程：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ypyqy0 , 其中 p , q 为常数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载特点方程与特点根：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依据 ypyqy0 ,可得 r 2prq0 ；只要 r 的值能使 r 2prq0 式成立；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载那 么 yerx 就 为 ypyqy0 的解,称r 2prq0 为 ypyqy0 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载特点方程,称r 2prq0 的根

10、r1、 r2 为方程特点根；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二阶常系数齐次线性微分方程的通解：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2特点方程 rprq0 的两个特点根r 、 r微分方程ypyqy0 的通解精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载r1r 2r1r 2r1xc ey1yc1r2 xce2r1 x1c2 xe精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载r1.2iye x ccosxc2 sinx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.5.3 二阶常

11、系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程：形如ypyqyf x （其中 p、q 均为常数 、 f x0 ）的方程 、称为 二阶常系数非齐次线性微分方程；二阶常系数非齐次线性微分方程的通解：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ypyqyfx 的通解应当为yyy* , y为ypyqyf x 对精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载应齐次线性方程：y解；pyqy0 的通解,y为ypyqyf x的一个特精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二阶常系数非齐次线性微分方程的特解：fx的两种形式为：精品学习资料精选学习资料 -

12、 - - 欢迎下载1. fx=pm x ex、为常数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pm x 为 x 的一个 m 次多项式：pm x=a x ma xm 1am 1 xam ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载01ypyqyfx 具有如下形式的特解：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y*x kqm xe x 的特解,其中qm x为 与 pm x 同次的多项式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0,不为特点根k1,为单特点根x2,为重特点根精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. fx=epl x cosxpn xsinx,其中：.为常数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pl x. p n x 分别为 l 次. n 次多项式,其中有一个可为零；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ypyqyfx 具有如下形式的特解：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料