(完整word版)2014-2015学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

1、2014-2015 学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（ A 卷）答案Page 1 of 8第1 1页共 8 8 页北京交通大学20142015 学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（一.（本题满分 1010 分）某学生无意将自己的钥匙丢掉了，他记得钥匙丢在教室里， 宿舍里，操场上，道路上的概率分别为0.3,0.25,0.35和0.1.如果钥匙丢在教室里，能被找到的概率为0.45；如果钥匙丢在宿舍里，能被找到的概率为0.67;如果钥匙丢在操场上，能被找到的概率为0.27;如果钥匙丢在道路上，能被找到的概率为0.12. 求该学生找到钥匙的概率（6 6 分）； 如果该学生找到了钥匙，求

2、他在操场上找到的概率（4 4分）.解：设A二“钥匙丢在教室里”，A2二“钥匙丢在宿舍里”，2“钥匙丢在操场上”,A4二“钥匙丢在道路上”.B = “找到钥匙”.所求概率为P B.由全概率公式，得4PB八PAkPBAkk =1= 0.3 0.45 0.25 0.67 0.35 0.27 0.1 0.12二 0.409.所求概率为 P A3B，由 Bayes 公式，得PA3B=戶叱二P（A P伯AJk F0.35 0.270.409A 卷）2014-2015 学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（ A 卷）答案Page 1 of 8第2 2页共 8 8 页= 0.2 3 1 05 1 3 4

3、 4（本题满分 9 9 分）某射手对同一目标进行独立射击，他每次射击命中目标的概率为0.24，求该射手至少要射击多少次,才能使至少命中一次目标的概率在98%以上?解：假设该射手进行n次射击，能至少命中一次目标.设 B= “n 次射击至少命中一次目标”，A=“一次射击命中目标”，则P A =0.24.每次射击是否命中目标相当于做一次Bernoulli 试验，则n次独立射击相当于做一n重Bernoulli 试验.因此有P B =1 -P B =1 - 1 -0.24n=1 -0.76n.由题设，P B =1-0.76n_0.98，即0.76J0.02，取对数，得 n InO.76 乞 ln 0.0

4、2，因此有nJn 0.02=14.2 5 4 72 9,5 2In 0.76因此，需至少进行 15 次射击，才能使至少命中一次目标的概率在98%以上.三.（本题满分 9 9 分）从一副 5252 张扑克牌中任意取出5 5 张.设X:取出的 5 5 张牌中的“黑桃”张数. 求X的分布律（5 5 分）； 写出X的分布函数 F F（X X ） （4 4 分）. 解：X 的取值为0, 1, 2, 3, 4, 5，并且CkC5 kPX=k=，k=0,1,2,3, 4, 5.C52或者为X012345P0.2215340.4114200.2742800.0815430.0107290.000494随机变量

5、 X 的分布函数为2014-2015 学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（ A 卷）答案Page 1 of 8第3 3页共 8 8 页0 xv00.2215340兰xc10.6329541 EXC2F(x )=(0.9072342兰xc30.9887773Exc40.9995064兰xc51x兰5四.（本题满分 9 9 分）设随机变量X的密度函数为厂2ax +bx + c 0cx10并且已知E X =0.5，var X =0.15，试求系数a、解:毗11由于 1 二 f x dx = ax2bx c dx 二- a03X1111OEXxfxdxxax2bx cd-/才 产,又E X2二

6、var X E X2=0.15 0.52=0.4，所以有:10.4 二 E X2二 x2f x dx = x2ax2bx c dx =二:01 1 a + b +c =132解线性方程组，得a+聋+丄尸 0.5 .解此方程组，得 a =12 , b = -12 , c = 3 .432111丄 a +丄 b+丄 c = 0.4543五.(本题满分 9 9 分)f(x)才某种型号的电子元件的使用寿命X（单位：小时）具有以下的密度函数:2014-2015 学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（ A 卷）答案Page 1 of 8第4 4页共 8 8 页求某只电子元件的使用寿命大于150015

7、00 小时的概率（4 4 分）； 已知某只电子元件的使用寿命大于150015001000P X二x2I0 x 1000 x -10002014-2015 学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（ A 卷）答案Page 1 of 8第5 5页共 8 8 页六.（本题满分 9 9 分）设二维随机变量X, Y的联合密度函数为求： 随机变量Y边缘密度函数fYy（5 5 分）；解:fYy 二 f x, y dx.当y - 0或者y _ 2时，彳丫y 1=0.当0 y 1 5 00 Jp(xpx= f 0d)x =1 0 01 5 0 0 x15 0 0设8=电PBA=PAP ABPX 1500, X

8、 2000? PX 2000/, : 1 0 0 0 PX 2 0 0 0 p x dx二-clx22 0 0 0 x所以,P(BPX 2000? _ 2 _32 一 4方差D Y（4 4 分）.因2014-2015 学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（ A 卷）答案Page 1 of 8第6 6页共 8 8 页0其它2014-2015 学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（ A 卷）答案Page 1 of 8第7 7页共 8 8 页-be E丫二 yfYy dy 二abeI2|E丫2二 y2 y dy t 2y2一 y3dy 二石_：203所以，D Y二EY2-EY2=2.七.

9、（本题满分 8 8 分）游客乘电梯由底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第 5 5 分钟、第 2525 分钟和第 5555 分钟从电梯底层起行，假设一位乘客于上午8 8 时第X分到达电梯底层候梯处，且随机变量X服从区间0, 60】上的均匀分布，试求该乘客等候时间的数学期望.解：匸1X 的密度函数为fxX二&0沁空600 其它设 Y :游客的等候时间.贝 U X 与 Y 之间的函数关系为” 5-X0cx兰5 、25X 5vx兰25Y = g X = | 55 - X 25 c x兰5560 X 5 55：x乞60所以，忧160EY 二 EgX 二 gxfxxdx gxdxq600152

10、55560-5 - x dx 亠 I25 - x dx 亠 i55 - x dx 65 - x dx =11.6760I052555八.（本题满分 8 8 分）设G是由X轴、Y轴及直线2x y - 2= 0所围成的三角形区域， 二维随机变量X, Y在区域G内服从均匀分布.求X与丫的相关系数Px, Y.解：1j2 ydy =|2014-2015 学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（ A 卷）答案Page 1 of 8第8 8页共 8 8 页由于区域 G 的面积为 1,因此X, Y的联合密度函数为2014-2015 学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（ A 卷）答案Page 1 o

11、f 8第9 9页共 8 8 页巴如小巴（x32x2+xdx吨送冷冗，所以，cov X, Y =EXY -EX EY =1-丄-63318f(x,y0 ,y；Gp (x,y 弹 G-bo当0 x : 1 时，fxX二f X,-rd2_2xy dym”2(1X)0X1所以，fX(X)0丿其它当0 y 2时,1y dx -一2dy =1-0所以，fY(y )= *i00 . y : 2其它-boE X 二 xfxx dx 二 x 2 1x dx0E(YjyfY(yTy心屛3，0 J2丿3E(X2)= Jx2fX(x dx = Jx2(1 - x dx = 2 -(11、 I =34)E(丫2)=Jy

12、2fY(ydy訂y2dy1 门、2所以，var(X )=E(X2)-(E(X =-6 i3 丿118，2 f 2 彳v a )= E(Y2lE(Y )f = - I2=9，-be -beE XY二.xyf x,-0-SO12 -2x1y dxdy二dx xydy二x0 0 02-2xdx，02014-2015 学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（ A 卷）答案Page 1 of 8第1010页共 8 8 页1cov X, Yvar X var Y 12九.（本题满分 9 9 分）假定某电视节目在S市的收视率为15%，在一次收视率调查中，从该市的居民中随机抽取5000户,并以收视频率作为

13、收视率，试用中心极限定理计算：两者之差的绝对值小于1%的概率.附：标准正态分布N 0,1分布函数住x的某些数值:x1.951.961.971.981.99（X）0.97440.97500.97560.97610.9767解：设J5000表示调查的5000户居民中收看该电视节目的户数，贝UJ5000 B 5000, 0.15.0.0仆5000J5000疋0.15汉0.85=2门1.98 -1=2 0.9761-1 =0.9522 .十.(本题满分 1010 分)设总体X的密度函数为其中二0是未知参数，X1, X2,，Xn是从该总体中抽取的一个样本求二的最大似然估计量.I p00 -0.150.0

14、1J 5000J由题设，所求概率为Pf (x )= *0 x : 1其它讥000-0.15 50005000 0.15 0.850.0仆500015000工0.15 7.852014-2015 学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（ A 卷）答案Page 1 of 8第1111页共 8 8 页解：似然函数为2014-2015 学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（ A 卷）答案Page 1 of 8第1212页共 8 8 页nnnL V - f Xi -Xi - X1X2X-0：Xi1,i2K4所以,ln L r - -ln -1 ln X1X2Xn,0：Xi : 1, i =1,2因此, In -n丄1In X1X2X-.dr2二2“1 2-令InL0，得 ?占2；ln X1X2Xn=0.卜一.（本题满分 1010 分）2 设总体X NJ -，X1, X2,，X-是从总体X中抽取的一个简单随机样本.X与S2，求E T，并指出统计量T是否为j2的无偏估计量.n解:由D