材料力学梁的强度-1

1、第四章作业第四章作业 4-1、4-2、4-3、4-4 4-8、4-9 (4-7、4-8 ) 4-11、4-13 （ 4-10、4-12 ） 4-16、4-19、4-21 （ 4-15、4-18、4-20 ）第四章第四章 弯曲强度弯曲强度4.1 平面弯曲梁的内力附录A 平面图形的几何性质4.2 弯曲正应力4.3 弯曲切应力4.4 梁的强度条件和强度设计平面平面弯曲的概念弯曲的概念梁的载荷及计算简图梁的载荷及计算简图剪力与弯矩剪力与弯矩剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系4.1 4.1 平面弯曲梁的内平面弯曲梁的内力力刚架的内力与内力

2、图刚架的内力与内力图一、平面弯曲的概念一、平面弯曲的概念1定义定义 外力外力垂直于垂直于杆的轴线，使得杆的杆的轴线，使得杆的轴线由直线变成曲线轴线由直线变成曲线的变形，称为的变形，称为弯曲变形弯曲变形，简称弯曲，简称弯曲。梁梁以弯曲为主要变形的杆件以弯曲为主要变形的杆件2平面弯曲的概念平面弯曲的概念 外力外力作用在梁的作用在梁的纵向对称平面纵向对称平面内，内，梁的轴线梁的轴线弯曲后仍弯曲后仍在此对称平面内在此对称平面内-平面弯曲或对称弯曲平面弯曲或对称弯曲特点特点: 轴线的弯曲平面轴线的弯曲平面与与外力的作用平面外力的作用平面重合重合FFF纵向对称面F轴线二、工程实例二、工程实例固固 定定 端

3、端滑动铰支座滑动铰支座固定铰支座固定铰支座阻止阻止 任何方向移动任何方向移动阻止阻止 竖向移动竖向移动阻止阻止 任何移动和转动任何移动和转动1 1、梁的简化、梁的简化（2）载荷载荷：分为分为集中力、分布力集中力、分布力，集中力偶、分布力偶集中力偶、分布力偶（1）梁梁 ：用轴线表示用轴线表示（3）支座支座：三、梁的载荷及计算简图三、梁的载荷及计算简图2 2、梁的分类、梁的分类(1) 按按支座情况支座情况分为：分为：(2) 按按支座数目支座数目分为：分为：简支梁简支梁静定梁静定梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁超静定梁超静定梁跨跨 梁在两支座间的部分梁在两支座间的部分跨长跨长梁在两支座间的长度梁在两支座间

4、的长度 （3） 按按跨数跨数分为：分为：单跨梁单跨梁多跨梁多跨梁四、剪力与弯矩四、剪力与弯矩1 1、内力（剪力和弯矩）的求法、内力（剪力和弯矩）的求法2 2、符号规定、符号规定3 3、实用法则、实用法则aF1F2ABbxxFAyFByxaFAyF1FByF2bmm:0 yF1S0AyFFFS1 AyFFF剪力剪力( (FS ) ) 与横截面的与横截面的法向法向垂直垂直的的内力内力FQFQSFSF1 1、求法、求法截面法截面法任一横截面上的任一横截面上的剪力剪力 等于等于 该该横截面任一侧横截面任一侧所有外力所有外力的代数和的代数和MM:0 CM 01 MaxFxFAy 1axFxFMAy 弯矩

5、弯矩(M )横截面上的内力偶矩横截面上的内力偶矩aF1F2ABbxxFAyFByxaFAyF1FByF2bmmFQFQSFSF 任一横截面上的任一横截面上的弯矩弯矩 等于等于该横截面该横截面任一侧所有外力任一侧所有外力对对横截面形心力矩横截面形心力矩的的代数和代数和2 2、内力符号约定、内力符号约定剪力剪力：绕：绕“研究体研究体(隔离体隔离体)”顺时针转为正顺时针转为正弯矩弯矩：端面由下转向上为正：端面由下转向上为正（使梁向呈（使梁向呈“上凹上凹”形）形）dxdxdxdx3 3、实用法则、实用法则剪力剪力：考虑横截面考虑横截面左左侧梁段时，向侧梁段时，向上上（下下）的外力产生的外力产生 + +

6、（- -）剪力，剪力，（右右侧相反侧相反），），代数和结果为代数和结果为 + + ( (- -) )时，剪力为时，剪力为 + + ( (- -) )弯矩弯矩：考虑横截面考虑横截面左左侧梁段时，侧梁段时，顺顺（逆逆）针旋转的外力针旋转的外力矩产生矩产生 + +（- -）弯矩，弯矩，（右右侧相反侧相反），），代数和结果为代数和结果为 + + ( (- -) )时，弯矩为时，弯矩为 + + ( (- -) )注：注：对任一侧梁段，向对任一侧梁段，向上上（下下）的外力产生）的外力产生 + +（- -）弯矩）弯矩使梁向呈上凹使梁向呈上凹例例 1 试求图示外伸梁试求图示外伸梁A、D左与右邻截面上的左与右邻

7、截面上的FS和和M。解：解：1. .由梁的整体平衡方由梁的整体平衡方程程求支反力求支反力aaaaqqa2qaABCDEFAyFByqa41 qa47 032212aqaaFqaaqaMByA)(47qaFBy02252aqaqaaFaqaMAyB)(41qaFAy注意：求注意：求支座反力支座反力不不是求是求内力内力！2. .求内力求内力A左邻截面：左邻截面：SAFqa 左2212qaaqaMA 左左aaaaqqa2qaABCDEFAyFByqa41 qa47 aqACMA左FQA左SAF左剪力剪力：考虑横截面考虑横截面左左侧梁段时，向侧梁段时，向下下的外力产生（的外力产生（）剪力剪力弯矩弯矩：

8、考虑横截面考虑横截面左左侧梁段时，侧梁段时，逆逆针旋转的针旋转的外力矩产生外力矩产生（）弯矩弯矩A右邻截面：右邻截面：S1344AFqaqaqa 右 AAMM左右2212qaaqaMA 右右aaaaqqa2qaABCDEFAyFByqa41 qa47 注意：注意：D左邻截面：左邻截面：S1344DFqaqaqa 左24541)2(qaaqaaaqaMD左MD左FQD左aaqACDFAySDF左aqACFAyMA右FQA右SAF右D右邻截面：右邻截面：S1344DFqaqaqa 右224141)2(qaqaaqaaaqaMD右aaaaqqa2qaABCDEFAyFByqa41 qa47 MD右F

9、QD右aaqqa2ACDFAySDF右SS DDFF左右注意：注意：注意：注意：右集中左DDDMMM五、剪力图和弯矩图五、剪力图和弯矩图1 1、剪力方程和弯矩方程、剪力方程和弯矩方程2 2、剪力图和弯矩图、剪力图和弯矩图 列方程法作剪力图和弯矩图列方程法作剪力图和弯矩图 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图剪力方程剪力方程1 1、剪力方程和弯矩方程、剪力方程和弯矩方程弯矩方程弯矩方程 SSFFx xMM 剪力随横截面变化的函数表达式剪力随横截面变化的函数表达式弯矩随横截面变化的函数表达式弯矩随横截面变化的函数表达式剪力图剪力图2 2、剪力图和弯矩图、剪力图和弯矩图弯矩图弯矩图2. .剪力剪力正正值画在

10、值画在横轴的横轴的上上方，方，负负值画在值画在横轴的横轴的下下方。方。做法：做法：1. .横轴横轴表示表示横截面位置横截面位置，纵轴纵轴表示表示剪力或弯矩剪力或弯矩；剪力随横截面的变化曲线剪力随横截面的变化曲线弯矩随横截面的变化曲线弯矩随横截面的变化曲线3. .弯矩弯矩正正值画在值画在横轴的横轴的下下方，方，负负值画在值画在横轴的横轴的上上方。方。 弯矩画在受拉的一侧弯矩画在受拉的一侧!dxdx作作剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图的方法：的方法： （1）列方程法列方程法 （2）叠加法叠加法 （3）控制点法控制点法x 列内力方程列内力方程例例 2 作图示梁的内力图。作图示梁的内力图。lABq_ql2

11、_ql2 作内力图作内力图解：解： 求支反力求支反力 22xqxxqlxM )0( lx S 2qlFxqx)0( lx Mxql2/8（1）列方程法列方程法qlFFBA21_ql2_ql2FxQSF例例 3 作图示梁的内力图。作图示梁的内力图。lABCFabFblFalx axlFb 0 lxaF lFb SFx xM lxaaxFxlFb axxlFb 0 x内力图特点：内力图特点：2. .列内力方程列内力方程3. 作内力图作内力图解：解： 求支反力求支反力FS图突变，突变值等于集中力大小，图突变，突变值等于集中力大小， M图图转折。转折。集中力作用截面，集中力作用截面， lxa lFa

12、lxaxllFa FxFalFblQSFMxFab/lFFFlFbFlFaFBABA,/,/例例4 作图示梁的内力图。作图示梁的内力图。 xMxxlABCMabellMMee SFx axxlM 0 e lxaMxlM ee集中力偶作用集中力偶作用截面，截面，M图突变，突变值等图突变，突变值等内力图特点：内力图特点：2. .列内力方程列内力方程3. 作内力图作内力图解：解： 1. 求支反力求支反力)0( elxlM 于集中力偶大小，于集中力偶大小，Fs 图图不变。不变。FxlM eQSFMxMea/lMeb/l)(/),(/lMFlMFeBeA（2 2）叠加法作弯矩图）叠加法作弯矩图qMFeF

13、qMexxxx可见：可见： 剪力方程和弯矩方程都是剪力方程和弯矩方程都是载荷载荷F、q和和Me的的线性函数线性函数 SFx Fx q0 eM xMFx2 21x q eM叠加原理：叠加原理： 由由几个几个外力外力同时同时作用时所引起的构件内的某一参数作用时所引起的构件内的某一参数 （内力、应力或位移等）（内力、应力或位移等） 由由各个各个外力外力单独单独作用时所引起的构件内的该一参数作用时所引起的构件内的该一参数 的的矢量和矢量和或或代数和代数和适用条件：适用条件：小变形情况小变形情况 SFx Fx q0 eM xMFx2 21x q eMqMFex例例 5 试用叠加法作图示简支梁的弯矩图试用

14、叠加法作图示简支梁的弯矩图解：解： 1. .作出作出F单独作用时的弯矩图单独作用时的弯矩图 2. .作出作出Me单独作用时的弯矩图单独作用时的弯矩图 3. .叠加上述两图，得到叠加上述两图，得到F和和Me同时作用时的弯矩图同时作用时的弯矩图FM = Fl142l2le2l2lFlM = Fl14eFl/4Fl/4Fl/8Fl/4例例 6 试用叠加法作图示简支梁的弯矩图试用叠加法作图示简支梁的弯矩图解：解： 1. .作出作出q单独作用时的弯矩图单独作用时的弯矩图 2. .作出作出Me单独作用时的弯矩图单独作用时的弯矩图 3. .叠加上述两图叠加上述两图qlM = ql182elqM = ql18

15、l2eql2/8ql2/8ql2/89ql2/128六、剪力六、剪力、弯矩和分布弯矩和分布载荷集度间的微分关系载荷集度间的微分关系1、FS、M 和和 q 之间的微分关系之间的微分关系2 2、突变条件、突变条件3 3、控制点法作剪力图和弯矩图、控制点法作剪力图和弯矩图1 1、FS、M和和 q 之之间的微分关系间的微分关系规定：规定： q为为 + +q(x)AByxFMe取微段取微段 dx 为研究对象为研究对象由由 Fy = 0： SdFxq xx SSd0FxFx得到得到 Sd dFxq xxxdx)M(x)F (xSM(x)+dM(x)F (x)+dF (x)SSdxq(x)剪力与分布载荷的关

16、系剪力与分布载荷的关系dxq(x)由由 MC = 0：忽略二阶微量，得到忽略二阶微量，得到 SdM xFxx d0M xM x Sd dM xFxxC)M(x)F (xSM(x)+dM(x)F (x)+dF (x)SSxdxq(x)AByxFMe dd2xq xx弯矩与剪力的关系弯矩与剪力的关系即：即： Sd dM xFxx Sd dFxq xx 2S2dd ddM xFxq xxx弯矩弯矩二二分布载荷集度分布载荷集度弯矩弯矩一一力力剪剪 由此得到由此得到 x 截面上的截面上的剪力剪力对对 x 的的一一阶导数阶导数 x 截面上的截面上的分布载荷集度分布载荷集度梁的平衡微分方程梁的平衡微分方程弯

17、矩图弯矩图凹凸性取决于该截面处的分布载荷集度凹凸性取决于该截面处的分布载荷集度剪力图剪力图上上 x 截面处的截面处的切线斜率切线斜率 该截面处的该截面处的分布载荷集度分布载荷集度弯矩图弯矩图切线斜率切线斜率力力剪剪微分关系的增量形式微分关系的增量形式BAsAsBdxxqFF)(BAsABdxxFMM)(积分项的物理含义：积分项的物理含义：微分关系对应表微分关系对应表q(x) = 0q(x) = q =qx = 0dF (x) dx= qq 0q 0q 0F = 0F 0水平线水平线斜直线斜直线斜直线斜直线抛物线抛物线极大值极大值抛物线抛物线极小值极小值MxM图图q图图F 图图常量常量 SSdF

18、 (x) dxSSSSSS2 2、突变条件、突变条件qxFxMxM图图q图图F 图图FFFFSSMeMeMeMe突变条件对应表突变条件对应表控制点法画剪力图与弯矩图主要步骤：控制点法画剪力图与弯矩图主要步骤：qBA试画出：其剪力图和弯矩图试画出：其剪力图和弯矩图, ,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。解：1确定约束力qBAC2确定控制面qBA4确定控制面上的剪力和确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在弯矩值，并将其标在FSx和和Mx坐标系中。坐标系中。CqBA 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线 对于剪力图：在对于剪力图：在AB段，因段，因有均布载荷作用，剪力

19、图为有均布载荷作用，剪力图为一斜直线，于是连接一斜直线，于是连接a、b两两点，即得这一段的剪力图；点，即得这一段的剪力图；在在CD段，因无分布载荷作用段，因无分布载荷作用，故剪力图为平行于，故剪力图为平行于x轴的直轴的直线，由连接线，由连接c、d二点而得，二点而得，或者由其中任一点作平行于或者由其中任一点作平行于x轴的直线而得。轴的直线而得。 qBA5根据微分关系连图线根据微分关系连图线 对于弯矩图：在对于弯矩图：在AB段，因段，因有均布载荷作用，图形为二有均布载荷作用，图形为二次抛物线。又因为次抛物线。又因为q向下为负向下为负，弯矩图为凸向，弯矩图为凸向M坐标正方向坐标正方向的抛物线。于是，

20、的抛物线。于是，AB段内弯段内弯矩图的形状便大致确定。为矩图的形状便大致确定。为了确定曲线的位置，除了确定曲线的位置，除AB段段上两个控制面上弯矩数值外上两个控制面上弯矩数值外，还需确定在这一段内二次，还需确定在这一段内二次抛物线有没有极值点，以及抛物线有没有极值点，以及极值点的位置和极值点的弯极值点的位置和极值点的弯矩数值。从剪力图上可以看矩数值。从剪力图上可以看出，在出，在e点剪力为零。点剪力为零。 qxE 6确定弯矩图极值确定弯矩图极值点的位置。点的位置。qBAqBA7确定剪力与弯矩的最确定剪力与弯矩的最大绝对值大绝对值 从图中不难得到剪力与从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分弯矩的绝对值的最大值分别为别为 qBA刚架的内力与内力图刚架的内力与内力图1. 刚架概念刚架刚架桁架刚架刚架其组成各杆采用刚性固定联结，确保各杆接头处受力后其组成各杆采用刚性固定联结，确保各杆接头处受力后无相对角度改变。无相对角度改变。桁架桁架若干杆件有铰接联结。受力后节点可以角度改变。当外若干杆件有铰接联结。受力后节点可以角度改变。当外力作用在节点时，桁架仅仅产生轴向力力作用在节点时，桁架仅仅产生轴向力N N。刚架无论受何种外力，其杆件横截面上将有刚架无论受何种外力，其杆件横截面上将有 产