2006年中考复习之三角函数的综合运用

1、2006 年中考复习之三角函数的综合运用知识考点：本课时主要是解直角三角形的应用，涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。精典例题：【例 1】如图，塔ab 和楼 cd 的水平距离为80 米，从楼顶c 处及楼底d 处测得塔顶a 的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精确到0.01 米） 。（参考数据：21.41421, ，3 1.73205, ）分析： 此题可先通过解rtabd 求出塔高ab，再利用cebd 80 米，解 rtaec 求出

2、 ae，最后求出cdbeabae。解：在 rtabd 中， bd 80 米， bad 600ab56.13838060tan0bd（米）在 rtaec 中， ecbd 80 米， ace 450aece80 米cdbeab ae56.5880380（米）答：塔 ab 的高约为138. 56 米，楼 cd 的高约为58. 56 米。【例 2】如图，直升飞机在跨河大桥ab 的上方 p 点处，此时飞机离地面的高度po450 米，且 a、b、o 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为030，045，求大桥 ab 的长（精确到1 米，选用数据：21.41，3 1.73）分析： 要求 ab ，只须求出

3、oa 即可。可通过解rtpoa 达到目的。解：在 rtpao 中， pao030oa345030cot450cot0paopo（米）在 rtpbo 中， pbo045obop450（米）045060例 1 图fedcba例 2 图abopaboaob3294503450（米）答：这座大桥的长度约为329 米。评注： 例 1 和例 2 都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。【例 3】一艘渔船正以30 海里小时的速度由西向东追赶鱼群，在 a 处看见小岛c 在船的北偏东600方向， 40分钟后，渔船行至b 处，此时看见小岛c 在船的北偏

4、东300方向，已知以小岛c 为中心周围10 海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析： 此题可先求出小岛c 与航向（直线ab）的距离，再与10 海里进行比较得出结论。解：过 c 作 ab 的垂线 cd 交 ab 的延长线于点d cdad030cot，cdbc060cot030cotcdad，060cotcdbd20)60cot30(cot00cdbdad31033320cd31010 这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。评注： 此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型航海问题， 解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画

5、出示意图，然后根据条件解题。030060例 3 图南北北南西东cdba例 4 图fedcba【例 4】某水库大坝横断面是梯形abcd ，坝顶宽 cd3 米，斜坡 ad 16 米，坝高 8 米，斜坡 bc 的坡度i13，求斜坡 ab 的坡角和坝底宽ab 。分析： 此题可通过作梯形的高，构造直角三角形使问题得以解决。解：作 deab， cfab ，垂足分别为e、f，在 rtade 和 rtbcf 中21168sinaddea a300又388162222deadae，31bfcfibf3cf 3824 ab aeefbf243383827（米）答：斜坡 ab 的坡角 a300，坝底宽ab 为)38

6、27(米。评注： 此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系（坡度是坡角的正切值tani） ，其次是作适当的辅助线构造直角三角形。探索与创新：【问题一】如图，自卸车厢的一个侧面是矩形abcd ，ab 3 米， bc0.5 米，车厢底部离地面1.2 米，卸货时，车厢倾斜的角度060，问此时车厢的最高点a 离地面多少米？（精确到1 米）分析： 此题只需求出点a 到 ce 的距离，于是过a、d 分别作 agce，dfce，构造直角三角形，解rtahd 和 rtcdf 即可求解。解：过点a、d 分别作 ce 的垂线 ag 、df，垂足分别为g、f，过 d 作 dhag 于 h，则有：23323360sin0

7、cddf41215.060cos0adah于是 a 点离地面的高度为42.141233（米）答：车厢的最高点a 离地面约为4 米。【问题二】如图1 所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2 米，房间高2.6 米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2 中的长廊搬入房间，在图 2 中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）。问题一图hgfdcba问题二图 1 0. 50. 51. 51. 5问题二图2 长廊房间31.45略解： 设计方案草图如图所示。说明：如说理图所示，作直线ab，延

8、长 dc 交 ab 于 e，由题意可知，ace是等腰直角三角形， 所以 ce0.5， dedc ce2， 作 dh ab 于 h， 则245sin2sin0heddedh5. 12可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间。设计方案图长廊房间31.45设计方案说理图hedcba跟踪训练：一、选择题：1、河堤的横断面如图所示，堤高bc 是 5 米，迎水斜坡ab 的长是 13 米，那么斜坡ab 的坡度i是（）a、13 b、12.6 c、 12.4 d、12 2、如图， 某渔船上的渔民在a 处看见灯塔m 在北偏东600方向， 这艘渔船以28 海里小时的速度向正东航行半小时到 b 处，在 b 处看见灯塔m

9、在北偏东150方向，此时灯塔m 与渔船的距离是（）a、27海里b、214海里c、7 海里d、14 海里第 1 题图cba015060第 2 题图北东北mba045030第 3 题图cdba3、如图，从山顶a 望地面 c、d 两点，测得它们的俯角分别为450和 300，已知 cd100 米，点 c 在 bd 上，则山高 ab（）a、100 米b、350米c、250米d、)13(50米4、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）a、a450元b、a225元c、a150元d、a300元0120选择第

10、4 题图30m20m2:1i填空第 1 题图cdba6m10m填空第 2 题图cdba二、填空题：1、如图，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基下底ab米。2、小明想测量电线杆ab 的高度（如图） ，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面cd 和地面 bc 上，量得cd4米， bc10 米， cd 与地面成300角，且此时测得1 米杆的影长为2 米，则电线杆的高度为米（结果保留两位有效数字，21.41，31.73）三、解答题：1、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点a 处观测到河对岸水边处有一点c，并测得cad 450，在距离a 点 30 米的 b 处测得 cbd

11、300，求河宽cd（结果可带根号） 。第 1 题图cdba030015dcab第 2 题图da第 3 题图cba2、如图：在小山的东侧a 处有一热气球，以每分钟28 米的速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行，半小时后到达c 处，这时气球上的人发现，在a 处的正西方向有一处着火点b，5 分钟后，在d 处测得着火点b 的府角是 150， 求热气球升空点a 与着火点b 的距离。 （结果保留根号， 参考数据：42615sin0，42615cos0，3215tan0，3215cot0）3、如图： 某海域直径为30 海里的圆形暗礁区中心有一哨所a，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45 海里的 b 处

12、向哨所驶来。哨所及时向轮船发出危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进15 海里到达c 点，才收到此时哨所第二次发出的紧急危险信号。若轮船收到第一次危险信号后为避免触礁，应立即改变航向，航向改变的角度应最大为北偏东，求s in的值；当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船立即改变航向。这时轮船航向改变的角度应最大为南偏东多少度？4、如图，客轮沿折线abc，从 a 出发经 b 再到 c 匀速航行， 货轮从 ac 的中点 d 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线abc 上的某一点e 处。已知ab bc200海里， abc 900，客轮速度是货轮速度的2倍。（ 1）两船相遇之处e 点（