高中数学平面空间向量知识点总结

1、r r相等向量：长度相等且方向相同的向量r ruuur uuur uuur uuur uuur uuurrrrrrr rr rr r>0alrrrrr rrr r r rrrr() ()()uuur1 12 22 1 2 1rr() ()1 12 2rrrrrrrr rrrrrrrr r r r22()()rrr r2rr r22rr r平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为 0 的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行3 单位向量：模为 1 个单位长度的向量4 平行向量（共

2、线向量）：方向相同或相反的非零向量uuur r uuur r r r uuur uuur uuur2、向量加法：设 AB =a , BC =b ，则 a + b = AB +BC = ACr r r（1） 0 +a =a +0 =a ；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB +BC +CD +L +PQ +QR =AR ，但这时必须“首尾相连”r r3、向量的减法： 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量r r r r向量减法：向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差，作图法：a -b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点 r的向量（ a 、 b 有共

3、同起点）4、实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度与方向规定如下：r r（） la =l×a ； （）当 时， 的方向与 a 的方向相同；当 l <0 时， a 的方向与 a 的方向r相反；当 l =0 时， la =0 ，方向是任意的r5、 两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线 Û 有且只有一个实数 l ，使得 b = la5、 平面向量的基本定理：如果 e , e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只r r 1 2 r r r有一对实数 l, l 使： a =le +le ，其中不共线的向量

4、 e , e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底1 2 1 1 2 2 1 2二.平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示：平面内的任一向量 a 可表示成 a =xi +yj ，记作 a =(x,y)。2 平面向量的坐标运算：r r(1) 若 a = x , y , b = x , y ，则 a ±b = x ±x , y ±y1 1 2 2 1 2 1 2(2) 若 A(x, y ),B(x,y )，则AB =(x-x , y -y )r r(3) 若 a =(x,y)，则 la =( lx, ly)r r(4) 若 a = x , y , b = x , y

5、 ，则 a / b Û x y -x y =0r r 1 2 2 1(5) 若 a =(x,y ),b=(x, y )，则a ×b=x ×x +y ×y1 1 2 2 1 2 1 2若 a b ，则 x ×x +y ×y =01 2 1 2三平面向量的数量积1 两个向量的数量积：r r r已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为q，则 a · b = a · b cos qr r叫做 a 与 b 的数量积（或内积） 规定 0 ×a=0ra ×b r2 向量的投影： b cos q= r R，

6、称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影| a |r r3 数量积的几何意义： a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积3 向量的模与平方的关系： a ×a=a =|a |5 乘法公式成立：r r ra +b ×a -b =a 2 -b 2 = a (r )2 r r ra ±b =a 2 ±2 a ×b+b 2 = a6 平面向量数量积的运算律：r r交换律成立： a ×b=b ×ar-b ；r r ±2 a ×b+b21 / 9( )( )r r rrr

7、rr r( )( )r r rrrrrrrrrr1 2 1 221 1 2 2rrrr r( )1、空间向量及其运算：uuur uuur uuur uuurrrr r( )uuur uuuruuur uuuruuuruuuruuur uuuruuur uuurcos= cos AB , CDrê úr r r对实数的结合律成立： (la)×b=la×b=a×lb(lÎR(r )r r r r r (r )分配律成立： a ±b ×c=a ×c±b ×c =c ×a ±

8、;b)r r r r特别注意：（1）结合律不成立： a ×b ×c ¹ a ×b ×cr r（2） 消去律不成立 a ×b=a ×c 不能得到 b =c × r r r r（2） a ×b=0 不能得到 a = 0 或 b = 0；7 两个向量的数量积的坐标运算：r r已知两个向量 a =( x , y ), b =( x , y ) ，则 a · b = x x +y y1 1 2 2 r uuur 1 2 uuur1 r28 向量的夹角：已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a ,

9、OB = b,则AOB=q（00£q£1800）叫做向量ra与rb的夹角rr a b x x +y ycos q= cos <a , b >=r r =a b x 2 +y 2 × x 2 +yr r r当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时，=00，当且仅当 a 与 b 反方向时=1800，同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题r9 垂直：如果 a 与 b 的夹角为 900则称ra与rb垂直，记作rarb10 两个非零向量垂直的充要条件： r ra b Û a · b O Û x x +y y =1 2 1

10、 20 平面向量数量积的性质 空间向量与立体几何r r r r r r（1）空间中的平行（共线）条件： a / b b ¹0 Þ $xÎR, a =xbr r r r r r r r（2）空间中的共面条件： a, b, c 共面（ b, c 不共线） Û $x, y ÎR , a =xb +yc 推论：对于空间任一点 O 和不共线三点 A 、B 、C ，OP =xOA +yOB +zOC(x +y +z =1)，则四点O、A 、 B 、 C 共面（3）空间向量分解定理：如果三个向量r rr a , b, c不共面，那么对空间任一向量ur r r

11、 r p =xa +yb +zc（4）空间向量的加、减、数乘、数量积定义及运算若 a =(x,y , z ),b=(x,y , z )，则：a ±b =(x±x , y ±y , z ±z r 1 1 1 2 2 r 2r 1 2 1 2 1 2la = lx , ly , lz a ×b=x x +y y +z z1 1 1 1 2 1 2 1 2)注 1：数量积不满足结合律；注 2：空间中的基底要求不共面。2、空间向量在立体几何证明中的应用：（1） 证明 AB / CD ，即证明 AB / CD（2） 证明 AB CD ，即证明 AB &#

12、215;CD =0（3） 证明 AB / a （平面）（或在面内），即证明 AB 垂直于平面的法向量或证明 AB 与平面内的基底共面； （4）证明 AB a ，即证明 AB 平行于平面的法向量或证明 AB 垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；（5）证明两平面 （6）证明两平面a/ bab（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面； ，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在内一个面内。3、空间向量在立体几何求值中的应用： 异面直线 AB 和 CD 的成q角 qqÎæ pùç0, úè 2 

13、1;直线 AB 和平面 a 的成 角 q（n 为平面的法向量） 平面 a 与平面 b 的成角ur uurq（ n ， n 分别为两平 1 2uuur rsin q = cos AB , nur uur ur uurcos q =cos n , n 或 cos q =-cos n , n1 2 1 2（需具体分析取哪一个）2 / 9é pùqÎ 0,ë 2 û qÎ0,pr1 2 3( )21 1（B）x x1面的法向量） 点 A 到平面 a 的距离（为平面的法向量）rnd=uuur rAB ×nrn（其中点 B 为平面内任意

14、一点）直 线（ AC /AC 平 面 a a ）的距离转化为点 A 到平面 a 的距离平 面 a 与 平 面 br（ a/ b）的距离（ n 为转化为平面 a 内的点到平面 b的距离平面的法向量） 异面直线 AB 和 CD 的距离（ n 为既垂直于 AB 也 垂直于 CD 的向量）uuur rAC ×nd = rnuuur（ AC 可以用uuurAD，uuurBC，uuurBD，即两直线上分别取一点）空间两点P，Q的距离坐标形式下：两点间距离公式uuur r r r基底形式下：若 PQ 表示成 xe +ye +ze uuur r r rPQ = xe +ye +ze1 2 3，则可以

15、得到：平面向量真题集训2004 年（9）已知平面上直线 l 的方向向量re =( -4 3, )5 5，点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分别是 O 和 A ，则r O A l e ，1 1其中 l （ ）（A）11 115 5（C）22005 年（D）28. 已知点 A（ ，1），B（0，0）C（等于（ ），0）.设BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E，那么有A. 2 B. C. 3 D. 2006 年r r r r（1）（文）已知向量 a （4，2），向量 b （ ，3），且 a / b ,则 ( ) （A）9 (B)6 (C)5 (D)32007 年5在 ABC中

16、，已知D是AB边上一点，若uuur uuur uuur uuur uuurAD =2 DB，CD = CA +lCB ，则 l3=（ ）A2 1 1 2B C - D -3 3 3 32009 年6. 已知向量a =(2,1),a×b=10,| a +b |=5 2，则| b |=（ ）A.5B.10C.5D.253 / 91 2 2 11 2 1 2AB¾¾® ¾¾®22 2AB = a +b ，则由数量积得 AB =çab÷ +2 a×b2010 年uur uur uuur（8） ABC 中

17、，点 D 在 AB 上， CD 平方 ÐACB 若 CB =a ，CA =b ， a =1 ， b =2 ，则 CD =（ ）（A）13a +2 2 1 3 4 4 3 b （B） a + b （C） a + b （D） a + b3 3 3 5 5 5 52011 年r r r r r r（3）设向量 a 、 b 满足 a = b =1 ， a ×b=-12,则r r a +2b =（A）2（B）3（C）5（D）7利用向量法解决立体几何问题基本知识回顾向量平行，垂直的坐标表示：平行 x y -x y =0，垂直 x x +y y =0直线的方向向量：1.直线的方向向量把直

18、线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向 向uuu量r.如图1,在空间直角坐标系中,由 A(x1,y1,z1)与 B(x2,y2,z2)确定的直线 AB 的方向向量是：AB=(x -x,y -y,z -z)2 1 2 1 2 1平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记 作 n ,这时向量 n 叫做平面的法向量.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?设 a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2) 是平面内的两个不 共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若 na 且 nb,则 n.换句话说,若 n·a =

19、 0 且 n·b = 0, 则 n 求平面法向量的基本步骤：第一步(设):设出平面法向量的坐标为 n=(x,y,z).第二步(列):根据 n·a = 0 且 n·b = 0 可列出方程组第三步(解):把 z 看作常数,用 z 表示 x、y.第四步(取):取 z 为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量 n 的坐标.(一).判定直线、平面间的位置关系（1）直线与直线的位置关系，不重合的两条直线 a,b 的方向向量分别为 a ,b.若 ab,即 a=b,则 ab. 若 ab,即 a·b = 0, 则 ab(2)直线与平面的位置关系 直线 L

20、的方向向量为 a,平面的法向量为 n,1 若 an, 即 a = n,则 L 2 若 an, 即 a·n = 0,则 a .（3)平面与平面的位置关系平面的法向量为 n1 ,平面的法向量为 n2若 n1 n2,即 n1=n2,则若 n1 n2,即 n1 ·n2= 0,则(二)、用向量解决距离问题两点 A, B 间距离 | AB |由¾¾®2= AB ×AB可算出；若¾¾® ® ® ¾¾® æ®ö æ®

21、46; ® ®÷ +çè ø è ø，若已知两点坐标，则可直接用两点间距离公式.点 P 到直线 AB 的距离过 点 P 作 直 线 AB 的 垂 线 PD ， 垂 足 为 D ， 则 由 PD AB 且 点 A, B, D 共 线 得PD AB =0, AD =lAB ，解出 D 点后再求 | PD | 。异面直线 a 、 b 的距离4 / 9® ¾¾®®¾¾® ® ¾¾®n×PAnnn

22、AB ×CD® ®nnana®® ® ® ®可先设 a 、 b 的公垂线段 EF （ E Îa 、 F Îb ），再由垂直向量性质得ì® ¾ ® ïa×EF =0 íïb ×EF =0 î，从而得到 E 、F 的坐标，最后算出所求¾¾®EF.点 P 到平面 a的距离 h先设平面 a 的斜线为 PA (AÎa)，再求a的法向量 n ，运用向量平移，不难得到推论

23、“ h 等于 PA 在法向量 n 上的射影 PA ×®的绝对值”，即 h=¾¾® ®，最后由此算出所求距离.®®两平行平面 a,b之间的距离由平行平面间的距离定义知道，平面 a上任意一点 A 到 b的距离就是 a到 b的距离，因此，我 们也可把 a到 b的距离转化为 A 到 b的距离，运用求点与面距离的方法来求。(三)、用向量解决角的问题两条异面直线 a 、 b 间夹角在 直 线 a 上 取 两 点 A 、 B ， 在 直 线 b 上 取 两 点 C 、 D ， 若 直 线 a 与 b 的 夹 角 为 q ， 则c

24、osquuur uuur =|cos <AB , CD >|= 。AB CD注意 ,由于两向量的夹角范围为 0°,180°,而异面直线所成角的范围为 (0°<a<90°)，若两向量 夹角 a 为钝角,转化到异面直线夹角时为 180° -a直线 a 与平面 a所成的角 q （如图1 -1）可转化成用向量 a 与平面 a的法向量 n 的夹角 w表示，由向量w平®a®w®®®aqaqaq图 11 移得：若 w£图 12 图 13p p p p时 q= -w（图 1 -

25、2 ）；若 w> 时 q=w- （图 1 -3 ）. 2 2 2 2平面 a的法向量 n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.由 n a 可知，要求得法向量 n ，只需在平面a上找出两个不共线向量 a 、 b ，最后通过解方程5 / 9ï® ®11¾¾® ¾ ®ì® ®ïa ×n = 0 ® 组 í 得到 n .îb ×n = 0A1zCBEDCAGBx求二面角 a-l-b的大小q

26、74; ®y已知二面角l， n , n 分别是平面和平面的一个法向量，设二面角l的大小1 2®®为，规定 0，则 q =<n , n >（这里若平面的法向量是二面角的内部指向平面内的1 2一点，则平面的法向量必须是由平面内的一点指向二面角的内部，如图 2-1 ，否则从二面角内® ®部一点出发向两个半平面作法向量时，二面角 q=p-<n , n >，如图 2-2 ） 1 2urn1uurn22-1a aurnuu1rn2b b2-2二面角 a-l-b的大小q（如右图），也可用两个向量Bal所成的夹角表示，在 a、 b 上分

27、别作棱 l的垂线 AB 、 CDACDb（ A 、 C Îl），从图中可知： q 等于 AB 、 CD 所成的角.2004 年2012 年云南省高考立体几何解答题汇总2004 年20（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 ABCA B C 中，ACB=90°，AC=1，CB= 2 ，侧棱 AA =1，侧面 AA B B 的两条1 1 1 1 1 1对角线交点为 D，B C 的中点为 M.1 1（）求证 CD平面 BDM；（）求面 B BD 与面 CBD 所成二面角的大小.16 / 9A -AD -C2005 年（18 ）(本小题满分 12 分)在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD底面 ABCD （）证明 AB平面 VAD（）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小VDCAB2006 年（19 ）（本小题满分分）如图，在直三棱柱ABC -A B C 中， AB =BC , D 、 E 分别为 BB 、 AC 的中点。 1 1 1 1 1（I）证明：ED 为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设AA =AC = 2 AB, 1求二面角 1 1 的大小。C