正负数加减与式子的运算之相关教学-MathSeed数学领域课程与教学

1、正負數加減與式子的化簡之相關教學高雄市前鎮國中楊青毓壹、設計想法一、緣起現在國中一年級的課本在正負數的運算的教材設計上 ，多是以黑白子或魔豆來進行教學，在進行加法運算時，同學利用黑白子可互銷的概念進行學習還算順暢，但在進行減法運算時，就開始出現學習障礙，課本上是利用黑白子互銷的觀念，在減一個數時就先對應產生一組相反數後，再進行減法運算。如：2（ -3） 20（ -3） 2【 3+（ -3）】（ -3） 2 3+（ -3）（ -3） 23 5希望學生建立減一個數相當於加它的相反數的運算概念 ，但總有一些學生感到不適應，而產生學習障礙，也影響到後來的學習。因此，我便在想要如何利用一些輔助物或遊戲來

2、協助學生學習。二、發展過程基於這樣的一個教學動機，我便開始尋找線索來加以實踐，一開始我所想到的是改良撲克牌遊戲中的 九九這個遊戲，但在與一位老師討論及實驗中發現，這個遊戲的設計中有一些瑕疵，如學生若對於正負數的加減不熟時，整個遊戲是很難順利進行的，這和原本的構思利用此活動來輔助學習的想法相違背，因此宣告失敗，但在這過程中覺得反而利用做為這個單元的熟練活動倒還不錯。前不久美國高爾夫名人賽開打，發現選手的成績正是用正負數來加以記錄，好像有一線曙光出現，但在深思後發現依然有問題，如只適合做正負數的加法運算，對於我原本想改進對正負數的減法教學的想法並無助益，因此也宣告放棄。直到在遠哲上課時遇到歐志昌老

3、師，向他請教我的想法，於是他便給了我一些做法及想法，逐漸形成這個教學活動。貳、設計內涵一、正負數的符號及其實既是運算符號，也是性質符號。根據Cajorri（ 1928）之描述，號及號的使用，最先出現於西元 1417年的某些手寫稿上，但他們所代表的意義並非加減 ，而是表示交易行為中的過剩與不足。Henricus Grammateus可能首先在 1526年將及當作運算符號，使用於代數式中 。它其實就是一種性質符號 ，表示數的性質 。在一個算式中，表示性質的符號時，通常會用小括號將之與數字括在一起，已有別於運算符號。二、正負數加減法運算的教學正負數加減法運算的教學，通常有兩種模式，一為數線模式，另一

4、為正負電荷相消模式。數線模式是將被加數 、加數及和，分別用有向線段，在163數線的上方予以圖示，這種加減法，其實就是一維空間的向量加減法。這種表示法的缺點是：無法有效的解釋減法運算，減法必須建立在加法的反運算上，民國 83 年國編本即採用水位升降之方式，建立數線加減法之模式。電荷相消模式首先假設：同量但正負相反的電荷合在一起時，可以相抵銷而予以忽略。因此，作數的合成或分解活動時，在任意時刻均可加入或取出等量但正負相反的電荷。在此模式下，加法可看成兩組電荷的合成，而減法則看成一組電荷的分解，這種合成及分解的說明方式與學生舊有的加減 概念相符合。在教學時教師需事先製作正反面黑白顏色的紙板若干個 ，

5、並在進行活動前說明活動規則，代表翻面，如 12，1 就代表一個白色面向上的紙板， 2 就代表兩個白色面向上的紙板，在按照活動規則及電荷相消模式，進行操作性輔助學習，在操作幾次後，應引導學生以半具體物取代黑白紙板進行學習。對於國一學生而言，本教學活動正是他們目前的學習範圍，因此對於國一學生的適用性上是無庸置疑的，且本活動也可作為國二、國三學生的補救教學之用。三、學生能力分析先備能力：1.能做正數（整數、小數、分數）的加、減法運算。2.能理解正數的交換律、結合律。重點能力：1.能做正負整數的加、減法運算。2.透過操作，能了解整數加、減法的意義及計算法則。後續發展：能利用數的運算規則，會做簡易的文字

6、式化簡。四、教學目標1.能做整數的正負加法運算。2.能做整數的正負減法運算。3.會做簡易的代數式化簡。164五、對應的能力指標A-3-3A-3-11A-3-1x y1.A-3-22.x yC-R-1C-T-1C-T-2C-S-5C-C-8165能力指標與本活動的關聯A-3-1能用 x、 y、 的式子表徵生對於生活情境中所存在的數量關係，可活情境中的未知量及變量。用含未知數的式子來表示其規律性。如兄弟倆年齡相差兩歲，因此當弟弟 n 歲時，哥哥為n2 歲。A-3-2能將生活情境中的問題表徵如兄弟倆年齡相差兩歲，因此當弟弟 n為含有 x、y、 的等式或不等式， 歲時，哥哥為 n2 歲。因此可藉由弟弟

7、今年透過生活經驗檢驗、判斷其解，並 13 歲，則可得哥哥今年應該為 13215 歲，能解釋式子及解與原問題情境的而來查証是否正確。關係。A-3-3能利用數的合成分解或逆利用數的合成分解做2x312x向思考解決由生活情境中列出的（2x2x）（ 31） 2 的式子化簡運算。等式A-3-11 能以正、負表徵生活中在本活動中主要在提供課本利用黑白相對的量，並能操作負整數的合成子做正負整數的加減運算時須利用0a分解。（-a），做（ -2）3（-2） 33（-3）（-2） 33（-3）（ -2）（ -3） -5，在解題過程中須利用互為相反數的兩數之和為零的性質，而使原本負數減正數的題目變成負數加負數的題目

8、，但根據教室觀察，學生對於這部分也最感到困擾，因此便提出此活動來加以改善。C-T-1 能把情境中與問題相關的數如活動情境中灰姑娘想要減肥而參加了量形析出。減重班，第一個月她瘦了3 公斤，表示體重變化-3 公斤。C-T-2 能把情境中數量形之關係以如活動情境中灰姑娘第一個月她瘦了3數學語言表出。公斤，第二個月胖回了5 公斤，第三個月又減了 4 公斤，可用算式（ -3） 5（ -4）來表示。C-S-5 瞭解一數學問題可有不同的在正負數的加減運算中提供除了數線、解法，並能嘗試不同的解法。黑白子的方式外的學習方法。C-C-8 能尊重他人解決數學問題的解決問題的方法人人不同，無論是什麼多元想法。方法，只

9、要能解決問題的就是好方法，而且每一位學生所能接受的方式也都不盡相同，因此要能具有包容接納不同聲音的氣度，而激盪出更多多元的想法。166參、教學設計一、活動目標1.藉由操作性活動，協助學生學習正負數的加法運算。2.藉由操作性活動，協助學生學習正負數的減法運算。3.藉由操作性活動，協助學生學習一元一次式的化簡。二、教學年級國中一年級學生。三、教學節數六節課（ 270 分鐘）。四、實施方式設計這個活動的主要目的是為了針對一些教科書利用黑白子進行正負數的加減法運算，所造成學生的學習迷失提出改進方案。在實施上作者事先會針對本活動所需用到的教具加以設計製作（需注意磁鐵的吸力問題） ，配合課本的例題進行黑白

10、圓板的操作，這時以察覺正負數加減法的運算規則為目的。接下來作者會在黑板上另外命題，希望學生以之前所察覺的運算規則進行運算求出結果，再利用黑白圓板的操作來加以驗證。在這過程中因牽涉到具體物的操作，所以在命題上所採用的數字以 -1010為主，以免增加操作上的困難。以後再延伸到大的數字的正負數計算。而並非經由如此的過程學生便能全盤了解 ，因此作者會不斷的以十題的隨堂測驗形式，要求學生反覆練習以求計算上的熟練 ，並不時的在隨堂練習中加入 你為什麼知道這麼算是對的？的問句，或要求學生針對題目做情境擬題活動，以增加學生做答反思與驗證的機會。本活動以國中一年級的學生為主要學習對象，當然也可以作為國中二、三年

11、級學生補救教學之用。在設計上國一上學期在學完正負數加減法運算，也可以將活動延伸至國二上學期的一元一次式的化簡運算，活動是以上學期四節課、下學期兩節課，在數學課正常教學時數實施。167五、活動流程活動一：正負數的加法運算活動說明：藉由操作活動協助學生學習正負數的加法運算。情境布置：1.正反面分別為黑白顏色的圓形紙板30 個。2.小白板塊。主要問題與活動說明評量重點1. 各位同學今天將延續上次讓學生說說看這些規則的學生能清楚了解整個操的課程進行正負整數的加意思，以了解學生是否能掌作規則。法運算，首先我們先設立以握整個操作規則。若有學生不懂可以用教下規則：具圓板舉例說明。(1)一個白色的圓板會與一個

12、黑色的圓板互相抵消。(2)將計算式子中的 ，在操作時代表將教具翻面。(3)每一個正數都用和它數量相同的代表；每一個負數都用和它數量相同的代表。學生彼此討論或回答只要能以多元的想法回2.我們先來試試看如何利用1.（-2）（ -3） -5，因為補答問題都可接受。教具計算（ -2）（ -3）？習班剛教過。2.欠 2 元再欠 3 元，共欠 5 元，所以（ -2）（ -3） -5。3.其他。學生隨時可對操作過程提出問題。3. 2就用 2 個代替， 3就用 3 個代替，就代表翻面，因此（-2）（-3）利用教具就變成（翻面）（翻面） （）（），結果為 5個，也就是（ -2）（ -3）-5。學生彼此討論並上台

13、練習。有學生在學習過程中利4.接下來我們再多找一些例 2（ -3）用一元銅板來操作，是很子，讓同學上台來練習，其（翻面）棒的嘗試。餘的同學除了隨時給予上（）以分組競賽的方式來進台的同學支援外，也可以自（）行活動，效果會更佳。己試試看。2（ -3） -1168學生彼此討論後嘗試回答。沒有標準答案，只要學生5. ××同學來試試看做這個題1.畫的。覺得好用就好。目：2.撕一些小紙片來代替。目標在引導學生由具體2（ -3）？3.用銅板來代替。物操作進入半具體物操4.其他。作。學生思考後回答。讓學生發表自己的想法。6. ××做的很好，底下的同學也 1.我覺得用銅板

14、不太好，因為能給上台的同學建議很銅板太重了，且如果題目是好，但是在未來遇到這些問56（-35）？要用到太多題時，手邊又沒有東西可以銅板，所以不好。操作要怎麼辦？同學想想2.而用紙片就太輕了，而且不看有沒有什麼變通方法？好拿，剛才還有人呼吸太用力而飛走了幾張，所以不好用。3.用畫的很方便，而且可用的符號組合很多 ，如、×、1、 。4.其他。各組彼此合作並把解題過學生能利用符號操作找7. 我們先針對同學提出的替程寫在小白板上。出正確答案。代物想想看適不適用？1. ××××（-2） 3 12.1111（-2） 3 13.其他。讓學生由半具體的操作進學

15、生可隨時針對解題過8. 我們來出個題目給各組，你入抽象符號學習。程分析提出疑問。們用自己所發明的符號來解這題目，（ -2） 3？學生彼此討論自己的發現。9.我們來將同學們的解題過程分析一下×× （-2） 3（ -2） 2××11學生彼此討論後回答。學生能發表自己的看法10.同學說說看，你們有何發1.異號數相加時，就從大數中及發現。現？拿出和小數一樣多的數來互相抵銷後，剩下的就是答169案。2.結果會與 3 2 的結果一樣 。3.其他。11.我們把之前那個題目的操作解題過程也拿來分析。××× 2（ -3）××

16、;×2（-2）×（-1）-112.同學說說看，你們有何發現？13.指定作業：P.104 隨堂練習學生彼此討論自己的發現。學生彼此討論後回答。學生能發表自己的看法1.我覺得做加法運算時，就是及發現。拿大的數減小的數，減剩下的就是答案。2.我覺得當兩數異號時，做加法運算其實是在做減法運算；只有兩數同號時才是做加法運算。3.其他。學生試做練習的題目。見附錄一。錯誤人數若超出教師預估的正常範圍，需進行補救教學。也可嘗試讓學生將題目加以擬題，讓學生驗算答案的正確性。170活動二：正負數的減法運算活動說明：藉由操作活動協助學生學習正負數的減法運算。情境布置：1.正反面分別為黑白顏色的圓

17、形紙板30 個。2.小白板塊。主要問題與活動說明評量重點1.各位同學今天將延續上次的讓學生說說看，以確定學學生能說出課程進行正負整數的減法運生是否還記得操作規則。1.一個白色的圓板會與一個算，操作的規則與加法運算黑色的圓板互相抵消。時所設立的規則相同，我們2.將計算式子中的 ，在先請同學說說看以前的規則操作時代表將教具翻是什麼？面。3.每一個正數都用和它數量相同的代表；每一個負數都用和它數量相同的代表。2.我們來試試看如何利用教具學生彼此討論或回答只要能以多元的想法回計算 2 3？1.2 3-1，因為補習班剛教答問題都可接受。過。2.只有 2 元但須花掉3 元，因此不夠 1 元，所以 2 3-

18、1。3.其他。3. 2就用 2 個代替， 3學生隨時可對操作過程提因為 2 3，是想要將原有就用 3 個代替，就代出問題。的 2 減掉 3，因此主角是表翻面，因此 23 利用教具 為什麼是對後面3 個做 3，所以做翻面時就必須就變成（翻面）翻面的動作？將後面的 3 個做翻面動（）（作。），結果只剩下1個，也就是23 -1。4.接下來我們再多找一些例子，讓同學上台來練習，其餘的同學也可以自己試試看。5. ××同學來試試看做這個題學生彼此討論並上台練有學生在學習過程中利用目：習。一元銅板來操作，是很棒的2（ -3）？ 2（ -3）嘗試。翻面（翻面）以分組競賽的方式來進行（翻面（

19、） ） 活動，效果會更佳。（）2（ -3） 51716.××同學做的很好，底下的同 各組彼此合作並把解題過目標在引導學生由具體物學也能給上台的同學建議很程寫在小白板上。操作進入半具體物操作。好，再來請同學分別使用自1.××（翻面）讓學生發表自己的想法。己發明的符號，進行練習。××（×××）（ -2） 3？（-2） 3-52.11（翻面）11（111）（-2） 3-53.其他。7.教師重新佈題：（ -2）（ -3）？8.我們來將同學們的解題過程分析一下（翻面2（ -3） 2-3（×× 2

20、3×） 5各組彼此合作並把解題過程寫在小白板上。1.（翻面）翻面（翻面）（××）翻面（×××）××××（ -2）（ -3） 12.（翻面）翻面（翻面）（××）翻面（×××）（××）××（ -2）（ -3） 1 3.其他。學生由半具體的操作進入抽象符號學習。讓學生發表自己的想法。學生能利用符號操作找出正確答案。9.同學說說看，你們有何發學生彼此討論後回答。學生可隨時針對解題過程現？1.減一個負數會變成加一個分

21、析提出疑問。正數。2.減負數等於加它的相反數 。3.其他。10.我們再來多看一些題目的學生觀察符號操作所產生學生能利用符號操作找出操作解題過程也拿來分析。的變化，與數的計算上運正確答案。172×× （-2） 3算符號的改變。××（翻面（ -2）（ -3）××（×××）-5×××××11.同學說說看，你們有何發學生彼此討論後回答。學生能發表自己的看法及現？1.減一個數與加它的相反數發現。的結果相同。2.當減一個數時可以把這個看做是 -。3.其他。12.剛才還

22、有一種題型 ，我們也一併分析看看（翻面）（翻面）（××）（×××）（××）（翻面×××）（××）（）××（ -2）（ -3）（ -2）（ +3）（ -2） 3（ -2） 21（ -2） 21 1讓學生觀察符號操作所學生能利用符號操作找出產生的變化，與數的計算正確答案。上運算符號的改變。13.同學說說看，你們有何發現？14.指定作業：P.115 隨堂練習學生彼此討論後回答。學生能充分發表自己的看1.減掉負的就會變成正的。法。2.把減法運算轉換成加法運學生發現

23、如 （-5）（ -3），算會比較好算。可以直接用扣的來計算，3.-2 個減掉 -3 個會-5 個扣掉 3 個還剩下 2少 1 個，所以（ -2）（ -3） 個，會等於（ -2）。 -（ -1），而 -（ -1） 1。 於 -（-）需要特別提出來向4.其他。學生舉例說明，可以用一個銅板做翻面活動向學生說明。學生試做練習的題目。附錄二。誤人數若超出教師預估的正常範圍，需進行補救教學。可嘗試讓學生將題目加以擬題，讓學生驗算答案的正確性。173活動三：會做簡單的文字式化簡活動說明：藉由操作活動會做簡單的一元一次式的化簡。情境布置：1.正反面分別為黑白顏色的圓形紙板30 個。2.正反面分別為黑白顏色的方

24、形紙板30 個。3.小白板塊。主要問題與活動說明評量重點1.我們今天要介紹的是一元一次式的化簡，我們先來嘗試分析 7x 4 3x 5。2.7x 4 3x 5 如何用具體物表對於新的學習先由具體物引給學生多元表達的機會。示？入。令為x，為 1，則 7x 4 3x 讓學生彼此討論如何將一元 5 可用一次式用具體物或半具體物表示。表示。3.則加以整理得讓學生練習做分類整理。因為每一個代表1 個x，每一個代表1，所以化簡結果為 10x9。4.和可以加在一起而得到2 學生彼此討論後回答。學生知道非同類不能相加減。個或 2 個嗎？1.不可以，因為兩個不是相同的以延伸得未知量與已知量不東西。能當作數字般相加

25、減，如2x2.不可以，因為他們代表不同的 35x。東西所以不能相加。3.其他。能知道3x x x x，而非 3x5.我們將剛才的操作直接用x 和 將具體物或半具體物操作轉 x×x×x。1 代換，則7x 可以寫成x x換成抽象符號操作，以便學生學生能知道在做加減化簡 x x x x x， 3x 可以寫能直接由一元一次式作化簡。時， 3x 的意思是x x 成 x x x，4 可以寫成1 1 學生能知道化簡時必須將同x， 2x 的意思是x x。 1 1， 5 可以寫成1 1 1類量放在一起相加減。 1 1，因此 7x 4 3x 5 可以寫成（ x x x x x xx）（ 1 1

26、 1 1）（ x x x）（ 1 1 1 1 1）（ x x x x x x x）（ x x x）（ 1 1 1 1）（ 1 1 1 1 1） 10 個 x 9 個 1 10x 9。6.我們再來看另一個題目6x 5學生彼此討論後上台操作。能正確操作具體物而得到答 5x 3。一樣我們先利用具學生也可以利用半具體物的案 x 2。操作練習得到答案。體物操作一遍。 6x 5 5x 3可用正負未知數的運算規則與正負數的運算規則相同。（）（）表示，代表翻面，因此在翻面後得到174，一個和一個互相抵銷，一個和一個互相抵銷，得到，因為每一個代表1 個x，每一個代表1，所以化簡結果為 x 2。7.我們再用另一個

27、方法試著解這個題目，分別將具體物用單由具體物或半具體物操作轉位 x、 1 代入可得到，化為抽象符號操作，以呼應學能正確將具體物或半具體物（ x x x x xx）（ 1 1習目標能作一元一次式的化操作轉化為抽象符號操作。 1 1 1）（ x x x x簡。 x）（ 1 1 1）（ x x x x x x ）（ x x x x x）（ 1 1 1 1 1）（ 1 1 1） x（ 1+1） x 28.同學們從操作中有何發現？學生彼此討論後回答。進行觀察發現活動時，要多鼓1.未知數必須和未知數作相加勵學生說說看，他看到了什減，數要和數做加減。麼。2.可以直接將6x 減 5x，而將 5減 3，而得到答

28、案。3.其他。9.讓我們利用下一個題目練習，觀察同學的發現是否為真？學生彼此討論並練習。能正確完成操作得到答案（ -5x ） 6 3x 2？1.（ -5x ） 6 3x 2 可用（ -8x-4。） （）需反覆向學生提醒不夠減（）（）， -時，要將看成-。代表翻面所以得到學生對於何時需做翻面 的（）（動作不易拿捏，需多給予練習）（） （），機會。要減 3 個和減6 個，沒得要讓學生學會直接就式子做減，所以也代表翻面，化簡，是本活動的學習目標。得到（）（） （）（），歸類整理後得到（）（）（）（），再整理後得（）（） （），因為代表 -x，代表 -1，所以答案為 -8x 4。2.因為 -5x -x

29、-x-x-x-x ，減 3x 沒得減，所以將看成-，得到 -3x -x-x-x ，和 -x-x-x-x-x合併得到 -8x，而 6 2，減 6175沒得減，所以將看成 -，得到 -6 2 -4，因此答案為-8x-4。3.（ -5x） 6 3x 2（ -5x） 3x 6 2（ -5x） -3x-6 2 -8x-44.其他。10.由上一個題目的練習，我們發現什麼？學生彼此討論並嘗試回答。學生能嘗試回答。1.含有未知數的項，可放在一起作加減運算；不含未知數的再放在一起運算。2.作答時要先將含未知數的項先放在一起，並加以運算；不含未知數的放在一起做運算。3.要把有x 的放在一起，沒有x的放在一起。4.

30、其他。11.根據同學的發現，我們化簡2x 5 4x 1 時可得學生能根據發現做代數式的2x5 4x 1化簡運算。（ 2 4） x（ 5 1） -2x 612.本活動做翻面活動介紹是要學生了解未知數和數在做式子化簡時，是屬於不同類量，不能一起相加減，要將所有未知數放在一起化簡。學生試做練習的題目。見附錄三。13.指定作業：錯誤人數若超出教師預估的隨堂練習正常範圍，需進行補救教學。六、評量方式因應九年一貫的實施，根據教育部公佈的評量準則以及地方版的評量細則，教學活動的評量必須考慮到：評量的型態是多元化的；評量的歷程是完整並且有意義的；評量是以生活與實用為取向的；評量是親師生之間的溝通等四個象度。因

31、此，整個教學活動的歷程，必須作整體性的考量，才是完整而且有真正的參考價值。本活動的評量活動是根據學生在本活動的參與程度、老師在活動歷程對學生的觀察、配合學習單所做的資料收集及與同組組員的分工和合作默契加以評分。教師在評量項目根據做得很好、已經做到、部分做到、繼續努力分別打上 4、3、2、1。肆、教學省思與改進我在課程設計之初，只是在教學過程中發現有一些學生，對於正負數的加減176法及一元一次式的化簡都仍然有問題，因此我便在想除了課本所提的方法外，是否還有其他的方法可以幫助學生學習正負數的加減法 ，幸好再與一位老師討論過後，發現只要將教具加以改變就可以了，於是才有這個課程活動設計的誕生。在將這個課程設計於課堂中實施中，可由兩部分加以討論。若一開始就利用這種方式進行教學 ，有一些學生對於利用具體物進行學習會感到不耐煩，但在強制要求進行操作後，沒有上台的同學會不斷的給予台上的同學指導，而這也是我們所樂見的。且在操作過程中會發現學生對於減號 、負號需要做翻面的動作常會忘記，這時可將翻面動作與數學式子做對照，使學生察覺我們現在是以相消的模式在做正負數的加減運算。在反覆操作幾次後，有一些觀察理解較好的同學已經可發現一些運算規則 ，如負數加負數與正數