2022年2022年高中数学知识点总结直线的方程两条直线的位置关系线性规划

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载要点重温之直线的方程.两条直线的位置关系.线性规划1 直线的倾斜角的范畴：0 , , x 轴及平行于x 轴的直线倾斜角为0 而不为； y 轴及精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载平行于 y 轴的直线的倾斜角为而不为没有倾斜角 （只为斜率不存在） ；已知斜率 （的范畴）2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载会求倾斜角（的范畴） ,记住：当倾斜角为锐角时,斜率k 与同增同减,当为钝角时, k与也同增同减；斜率的求法：依据直线方程依据倾斜角依据两点的坐标方向向量精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（以 a =（ m、n

2、）（ m 0）为方向向量的直线的斜率为n）；关注斜率在求一类分式函数值域m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载时的运用； 举例 1 已知两点a1, 5, b3, 2,直线 l 的倾斜角为直线倾斜角的一半,就直线 l 的斜率为：解析：记直线l 的倾斜角为,就直线ab 的倾斜角为2,其斜率tan2= 34精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 tan3 tan=-3 或 tan= 1 而由 tan2=3>0 得 2为锐角,就（ 0,）,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1tan 24344精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载tan= 1 ；3 举例

3、2函数 yysin1 的值域为；a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3cosx解析：记 p（ cos、sin） 、a - 3、1o就 y=k pa, p 点的轨迹为圆心为原点的单位圆,如右图：当直线pa 与圆相切时,其斜率分别为0 和3 ,4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y=k pa 3, 0 ；注：这里存在一个k pa 在 0 与43“之间”仍为“之外”的问题,原4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就为其间为否有斜率不存在的情形,如有就在“之外”,如无就在“之间” ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 巩固 1已知直线 l ：x cosy2

4、0 就 l 倾斜角的范畴为：；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22y4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 巩固 2 实数 x、y 满意 xy2 x2 y10、就的取值范畴为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 4 、3b 0、 43xc 2、4 3d 4 、03精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 迁移 点 p 为曲线 yx 3x2上的动点,设点p 处切线的倾斜角为,就的取值范3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载围为 a .0、2b.0、3、243c.、4d.、 324

5、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2“点斜式”为直线方程的最基本形式,为其它各种形式的源头,但它不能表示斜率不存在的直线；解决“直线过定点”的问题多用“点斜式”；“斜截式”最能表达直线的函数性质（一次函数, 一次项系数为斜率） ,“斜截式”中所含的参数最少（ 2 个,而其它各种形式中都为3 个）,所以用待定系数法求直线方程时多设为“斜截式” , 它也不能表示斜率不存在的直线；“截距式”最能反映直线与坐标轴的位置关系；留意：截距为坐标而不为距离；在两坐标轴上截距相等的直线斜率为-1 或过原点 ；“截距式”不能表示斜率为 0 .斜率不存在以及过原点的直线；“两点式”完全可以由“点斜式”

6、替代“,两点式”不能表示斜率为 0 和斜率不存在的直线,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载但它的变形（ “积式）”： x2x1 yy1 y2y1 xx1 却能表示全部的直线；“一般式”精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载能表示全部的直线,它为直线方程的“终极”形式； 举例 已知直线 l ： kx+y - k+2=0 和两点 a （ 3, 0）, b（ 0, 1）,以下命题正确选项（填上全部正确命题的序号）；直线 l 对任意实数k 恒过点 p（ 1,- 2）；方程 kx+y - k+2=0 可以表示全部过点p（ 1, - 2）的直线；当 k=± 1 及 k=2 时

7、直线 l 在坐标轴上的截距相等；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yx0如01 ,就直线 x01 y2 y02 x1 与直线 ab 及直线 l 都有公共点；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3使得直线l 与线段 ab 有公共点的k 的范畴为 - 3, 1；使得直线l 与线段 ab 有公共点的k 的范畴为 , - 3 1 , ；解析：直线l ：y +2= - k（x - 1）恒过 p（1,- 2）,方程 kx+y - k+2=0 不能表示直线x=1 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 k= - 1 时直线 l 在坐标轴上的截距相反；如x0y031 ,就点

8、m （ x 0、y0）在直线ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载上（截距式） ,又点 p（ 1, - 2）在直线 l ,而直线 x01 y2 y02 x1 过点 m ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p（两点式）,即与直线 ab 有公共点 m ,与直线 l 有公共点 p；直线 l 与线段 ab 有公共点,不宜先解方程组再解不等式组（麻烦） ,数形结合易见,直线 l 应在直线 pa 到 pb 之间,而其间有斜率不存在的位置,故命题正确； 巩固 已知圆 c：x2+y - 2 2=1,就在坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线有条

9、？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载x 2y2 迁移 对任意实数m,直线（ m+2 ）x- 2m-1y - 3m - 4=0 和椭圆1 恒有公共点,9m就 m 的取值范畴为；3. “到角”的范畴：（ 0,）,“到角公式”就为两角差的正切公式,多用于解决与角平分线有关精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的问题；“夹角”的范畴（： 0, ；两直线2l1 ： a 1x+b 1 y+c 1=0、l 2 ： a2 x+b 2y+c 2=0 平行.垂精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载直的条件有“比”和“积”两种

10、形式（重合只有“比式）,”如：l1 l 2a 1a2 +b 1b 2 =0 ,如 l1 . l 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载不重合, 就 l1 l 2a 1b 2=a2b 1；判定两直线位置关系时要特殊留意斜率不存在及斜率为0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的情形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 举例 1 直线 l1 ： x=1 到直线1l 2 ： 2x+y+1=0 的角为：（）1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a arctan2、b arctan2c-arctan2d arctan-

11、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：记直线1l1 到 l2 的角为,直线l2 的倾斜角为,作图可见=-,tan=-cot2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=、应选 b；2 举例 2 已知 p（ x0、y0）为直线 l ：fx、y=0外一点,就直线fx、y+f （ x 0、y0）=0 与直线 l 的位置关系为；设 a. b.c 分别为 abc中角 a.b.c 的对边,就直线:精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xsin aayc0 与直线 bxy sin bsin c0 的位置关系为；精品学习资料精选学习资料

12、 - - - 欢迎下载解析：方程fx、y=0 与 fx、y+f （ x0、y0） =0 两变量的系数完全相同,而f（ x 0、y0 ） 0,即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载常数项不同,故平行；由正弦定理知：b sin aa sin b0 ,故垂直；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 巩固 已知直线l 1 的方程为y=x,直线 l2 的方程为y=ax+ba、b 为实数 ,当直线 l 1 与 l 2 夹角的范畴为 0, 时, a 的取值范畴为：12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.3 、1 1、3 , b.0 , 1 ,c.33 、3 ,d.1、3 3精

13、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 迁移 直线 xa 2 y10 与直线a 21 xby30 相互垂直,a、br、 就| ab|的最小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载值为： a 1b 2c 4d 5（）4点到直线的距离公式在求三角形的面积.判定直线与圆的位置关系.求圆的弦长.解决与圆锥曲线的其次定义有关的问题等场合均有运用,推导两平行线间的距离公式也为它的一个运用； 举例 已知 5x 12y 60,就x2y2 的最小值为 :精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

14、迎下载a.60 13b.135c.1312d. 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：x2y2 表示直线 l ：5x 12y 60 上的动点到原点的距离,其最小值即原点到直线l的距离,选a ；注：此题如代入消元.配方求最值就很麻烦； 巩固 直线 l 过点（ 1, 0）,且被两平行直线3x+y - 6=0 和 3x+y+3=0所截得的线段长为9, 就直线 l 的方程为；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 迁移 如动点 p（x、y ）满意 |x+2y-3|=x12 y2 2,就 p 点的轨迹为：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 圆b.椭圆c.双曲线d.抛

15、物线 提高 如 a.b.c 为实数, 恒存在实数x、y、使得 ay-bx=c xa 2 yb2 0、 就 a.b.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222222222222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c 满意 :a.c a +bb.c>a +bc.c<a +bd.c a +b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 点 mm、n 关于直线 y =±x+b 的对称点m ±nb ,±m+b ,即：将 m 点的坐标代入对称轴方程求得m / 的坐标；但对称轴斜率不为±

16、;1 时,只可依据中.垂建立方程组 即 mm /与对称轴垂直且其中点在对称轴上,解出对称点坐标；光线反射问题.角平分线问题.到两定点距离之和（差）的最值问题等都与对称有关； 举例 1 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使得点a （ 0, 2）与点b（ 4, 0）重合,如此时点 c（ 7, 3）与点 d （ m, n）重合,就m+n 的值为；解析：“折痕”为ab 的中垂线 l ： y=2x - 3, c（ 7, 3）.d （m ,n）关于 l 对称,就：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n37m32n31m 35n 31m+n=34 ；5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

17、载m725 举例 2 在 abc 中,已知 a （ 2,3）,角 b 的平分线为 y 轴,角 c 的平分线为 l ：x+y=4、求 bc 边所在的直线方程解析：由题意知直线 ba .bc 关于 y 轴对称,即 a 关于 y 轴的对称点 a 1- 2、3在直线 bc 上；直线 ca .cb 关于 l 对称,即 a 关于 l 的对称点 a21、2 在直线 cb 上；直线 bc 即直线 a 1a 2：x+3y-7=0、 巩固 已知点 a 在 x 轴上,点b 在直线 l ： y=x 上, c（ 2, 1）,就 abc 的周长的最小值为；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 迁移 已知点 a1

18、 .1,曲线 c 上的点 x .y 满意：x52 cosa y72sin a,一束光线从点a 出精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载发经 y 轴反射到曲线c 上的最短路程为：（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a622b522c8d10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.不等式 ax+by+c>0a>0所表示的区域为直线ax+by+c=0的右侧,不等式 ax+by+c<0a>0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载所表示的区域为直线ax+by+c=0的左侧；a0 时情形相反；也可以说：不等式 ax+by+c&

19、gt;0b>0所表示的区域为直线ax+by+c=0的上方,不等式ax+by+c<0b>0所表示的区域为直线ax+by+c=0的下方； b0 时情形相反；目标函数z=mx+nym>0在“可行域”d 内的最值：令mx+ny=0、在“可行域”d 内平移直线mx+ny=0使之位于最左侧, 此时 z 取得最小值 ; 位于最右侧,此时z 取得最大值 ;m<0 时情形相反；假如z=mx+nyn>0、也可以说：在“可行域”d内平移直线mx+ny=0使之位于最下方,此时z 取得最小值 ; 位于最上方,此时z 取得最大值;n<0 时情形相反； 如线性目标函数的最优解不止一

20、个,就目标函数为0 的直线与“可行域”的一个边界平行或重合； 举例 已知 x、y满意约束条件：2x-y 0、x+y-2 0、6x+3y 18、且 z=ax+ya>0 取得最小值的最优解有无穷多个 、求 a 的值；解析：要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个,令ax+y=0 并平移使之与过精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 c（2 、 4 ）（可行域中最左侧的点）的边界精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载33重合即可,留意到a>0,只能和ac重合, a=1 举例 2 已知点 p3、- 1和 q- 1、2,直线 l ： ax+2y - 1=0 与线段 pq 有

21、公共点,就实数a 的取值范畴为：a. 1 a3b.a 1 或 a 3c.a 1d.a 3解析：此题可参照“3 举例 ”的做法,确定直线l 的斜率的范畴；现在用不等式所表 示的区域解决：直线l 与线段 pq 有公共点即点p.q 在直线 l 的两侧或在直线l 上,记： f x、y= ax+2y - 1、 就 f3、- 1f - 1、2 0、 解得： a 1 或 a3,选 b ；“ 3 举例 ”也可照此办理； 巩固 1已知 x、y满意约束条件：2x-y 0、x+y-2 0、6x+3y 18、 且 z=ax+y 取得最大值的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载最优解恰为（3 、3 ）,就 a

22、 的取值范畴为；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 巩固 2 点（ -2 , t ）在直线2x-3y+6=0 的上方,就t 的取值范畴为； 迁移 双曲线 x 2- y2=1 右支上一点p（ a、b）到直线 y=x 的距离为2 ,就 a+b 的值为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1a. -b.21c. -2111或d.2 或222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7关注“线性规划”问题的各种“变式：”“可行域”由不等式和方程共同确定 （为线段或射线） ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载“约束条件”由二次方程的“区间根”间接供

23、应,“约束条件”非线性,目标函数非线性,如：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x a（斜率）,xy ba 2 yb 2（距离）等；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 举例 实系数方程x 2ax2b0 的一个根大于0 且小于 1,另一个根大于1 且小于 2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 b2 的取值范畴为a1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：f x = x2ax2b ,数形结合简单得到使实系数方程a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

24、x2ax2b0 的两根分别在0 , 1 和1 , 2 内当且仅当：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 00f 10f 20b01a2b42a2b0点 p（ a , b ）的可行域如右,0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载记 a（ 1, 2）,线段 pa的斜率为b21k, k= 、1 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载papaa14 巩固 如 x、y满意 :x+y-3 0、x-y+1=0、3x-y-5 0、 设 y=kx、 就 k 的取值范畴为 提高 已知不等式ax2+bx+a<0ab>0 的解集为空集,就a2+b2-2b 的取值范畴为；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 巩固 1 0、 3、 44简答 , 巩固 2a , 迁移 b ； 2.巩固 3 , 迁移 92、99、 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 巩固