2022年2022年高中数学必修五《等比数列前n项和》教案

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载等比数列的前 n 项和教案一.教学目的1.懂得等比数列的前n 项和公式的推导方法； 把握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简洁问题2.通过公式的推导过程,提高同学的建模意识及探究问题.分析与解决问题的才能,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法,渗透方程思想.分类争论思想及转化思想,优化思维品质3.通过经受对公式的探究,激发同学的求知欲,勉励同学大胆尝试.勇于探究.敢于创新,磨练思维品质,从中获得胜利的体验,感受思维的奇特美.结构的对称美.形式的简洁美.数学的严谨美二.教学重点.难点.关键教学重点：等比数列的前n 项和公式的推导及其简洁应用教学难点

2、：等比数列的前n 项和公式的推导；教学关键：推导等比数列的前n 项和公式的关键为通过情境的创设,发觉错位相减求和法；应用公式的关键为如何从实际问题中抽象出数量关系,建立等比数列模型,运用公式解 决问题；三.教具.学具预备多媒体课件；运用多媒体教学手段,增大教学容量和直观性,提高教学效率和质量；四.教学方法数学为一门培育和进展人的思维的重要学科,因此在教学中不仅要让同学“知其然”,仍要“知其所以然”,为了表达以同学进展为本,遵循同学的认知规律,表达循序渐进和启示式教学原就,我进行这样的教学设计：在老师的引导下,创设情形,通过开放式问题的设置来启示同学进行摸索,在摸索中体会数学概念形成过程中蕴涵的

3、数学方法和思想,使之获得内心感受；本节课将采纳“多媒体优化组合勉励发觉”式教学模式进行教学；该模式能够将教学过程中的各要素,如老师.同学.教材.教法等进行积极的整合,使其融为一体,制造正确的教学氛围；主要包括启示式讲解.互动式争论.争论式探究.反馈式评判；五.学法指导 “授人以鱼,不如授人以渔” ；教为为了不教,教给同学好的学习方法,让他们会学习,并善于用数学思维去分析问题和解决问题,受益终身；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依据二期课改的精神,转变同学的学习方式也为本次课改的重要内容,数学作为基础教育的核心学科之一,转变同学的数学学习方式,变同学被动接受式学习为主动参加式学习,

4、 不仅有利于提高同学的整体数学素养,也有利于促进同学整体学习方式的转变；在课堂结构 上我依据同学的认知层次,设计了创设情形观看归纳争论争论即时训练总 结反思任务连续,六个层次的学法,他们环环相扣,层层深化,从而顺当完成教学目的；自主探究.观看发觉.类比猜想.合作沟通；抓住同学情感和思维的兴奋点,激发他们的兴 趣,勉励同学大胆猜想.积极探究,准时地给以勉励,使他们知难而进；同时从同学原有的 认知水平和所需的学问特点入手,老师在同学主体下赐予适当的提示和指导；引导同学理论 联系实际,抽象出数量关系,建立数学模型,获得解决问题的方法,帮忙同学培育勇于探究.不断创新的思维品质；精品学习资料精选学习资料

5、 - - - 欢迎下载六.教学过程1.复习回忆,引旧导新（ 1）等比数列 an 的定义及通项公式an an 1q n2 , ana q n 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1；（ 2）等比中项：假如a、b、c成等比,就 bac ；（ 3）等比数列 an 的一些结论：nmanam qpqmn时,就 a p aqaman2.创设情境,提出问题在古印度,有个名叫西萨的人,创造了国际象棋,当时的印度国王大为称赞,对他说：我可以满意你的任何要求西萨说：请给我棋盘的 64 个方格上,第一格放 1 粒小麦,其次格放 2 粒,第三格放 4 粒,往后每一格都为前一格的两倍,直至第 64 格国王令

6、宫廷数学家运算,结果出来后,国王大吃一惊为什么呢？师：同学们,你能说明这为为什么吗？本节课我们争论等比数列前n 项和,通过学习,我们就可以很简洁说明这个问题了；（板书课题）2.5 等比数列的前 n 项和一般地,等比数列的前n 项和用 sn 表示,即：sna1a2an ；设计意图：设计这个情境目的为在引入课题的同时激发同学的爱好,调动学习的积极精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载性故事内容紧扣本节课的主题与重点；此时我再问：同学们,你们知道西萨要的为多少粒小麦吗？引导同学写出麦粒总数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1+ 2 + 22+ 23+263 ；带着这样的问题,同学

7、会动手算了起来,他们想到用运算器依次精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载算出各项的值,然后再求和这时我对他们的这种思路赐予确定设计意图：在实际教学中, 由于受课堂时间限制, 老师舍不得花时间让同学去做所谓的“无用功”,急赶忙忙地抛出“错位相减法”,这样做有悖同学的认知规律：求和就想到相加,这为合乎规律顺理成章的事,老师为什么不相加而立刻相减呢？在整个教学关键处同学难以转过弯来,因而在教学中应舍得花时间营造学问形成过程的氛围,突破同学学习的障碍同时,形成繁难的情境激起了同学的求知欲,迫使同学急于寻求解决问题的新方法,为后面的教学埋下伏笔；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3

8、.师生互动,探究问题在确定他们的思路后, 我接着问：1+ 2 + 22+ 23+263 为什么数列？有何特点？应精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载归结为什么数学问题呢？ 探讨 1：设1+ 2 + 22+ 23+263 ,记为（ 1）式,留意观看每一项的特点,有何联精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载系？（同学会发觉,后一项都为前一项的2 倍）探讨 2：假如我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项,（1）式两边同乘以2 就有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2s64= 2+ 22+ 23+ 263 + 264 ,记为

9、（ 2）式比较（ 1）2 ）两式,你有什么发觉？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设计意图：留出时间让同学充分地比较,等比数列前n 项和的公式推导关键为变“加”为 “减”,在老师看来这为“天经地义”的,但在同学看来却为“不行思议”的,因此教学中应着力在这儿做文章,从而抓住培育同学的辩证思维才能的良好契机；经过比较.争论,同学发觉：（1）.（ 2）两式有很多相同的项,把两式相减,相同的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载项就消去了,得到：全过程；s642641；老师指出：这就为错位相减法,并要求同学纵观老师推导精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载师：为什么（ 1）

10、式两边要同乘以2 呢？生：乘以 2 后使得（ 1）式与（ 2）式显现相同的项,从而可以实现两式相减,消去相同的项；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设计意图：经过繁难的运算之苦后,突然发觉上述解法,不禁惊呼：真为太简洁了！让同学在探究过程中,充分感受到胜利的情感体验,从而增强学习数学的爱好和学好数学的信心；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.类比联想,解决问题这时我再顺势引导同学将结论一般化,设等比数列 an ,首项为a1 ,公比为 q ,如何求精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载前 n 项和 sn 呢？在此让同学自主完成,并叫一名同学上黑板,然后对每个同学

11、在自觉争论时遇到的难题进行指导点拔；设计意图：在老师的指导下,让同学从特殊到一般,从已知到未知,步步深化,让同学精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载自己探究公式,从而体验到学习的开心和成就感；a1 - a1qn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在同学推导完成后,我再问：由1- qsn= a1- a1qn 得sn =1 - q,对不对呢？这里精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的 q 能不能等于 1？等比数列中的公比能不能为1？ q=1 时为什么数列？此时sn导同学对 q 进行分类争论,得出公式,同时为后面的例题教学打

12、下基础）.（这里引精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即： sna1 11na1q n q1qq1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载再次追问： 结合等比数列的通项公式aaqn 1 ,如何把 s 用 a .a .q 表示出来？ （引精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1n1n导同学得出公式的另一形式）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即： sna11na1anqq1 qq1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设计意图：通过反问精讲,一方面使同学加深对

13、学问的熟悉,完善学问结构,另一方面使同学由简洁地仿照和接受,变为对学问的主动熟悉,从而进一步提高分析.类比和综合的才能这一环节特别重要,尽管时间有时比较少,甚至仅仅几句话,然而却有画龙点睛之妙用；5.争论沟通,延长拓展在此基础上,我提出：探究等比数列前n 项和公式,仍有其它方法吗？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方法二：我们知道 、sn = a1 +a1q+a1q2 +a1qn-1 = a1 +qa1 +a1q+a1qn-2；那精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载么我们能否利用这个关系而求出sn 呢？精品学习资料精选学习资料

14、 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即：提取公比 q,有：saa qa q2a qn 2a qn 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n11111a（q aa qa qn 2）1111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1q（sna1q n 1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1q sna1a1q n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1 1sn1na1qn q1qq1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方法三：依据等比数列的定义又有a2 = a1a3 =

15、a2a4 =a3an an-1= q ,能否联想到等比定理从精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载而求出sn 呢？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即：利用等比定理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2a3a1a2a2a3a4anqa3an 1ansna1q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1a2an 1snan精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1q snsna1a11na1an qan qq1 qq1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

16、载设计意图：以疑导思,激发同学的探究欲望,营造一个让同学主动观看.摸索.争论的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载氛围. 以上两种方法都可以化归到sna1qsn1 、 这其实就为关于sn 的一个递推式,递推数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载列有特别重要的争论价值,为争论性学习和课外拓展的极佳资源,它源于课本,又高于课本,对同学的思维进展有促进作用；6.例题讲解,形成技能例 1.口答以下各题：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 求等比数列 1、 1 、 1 、 1 、248的前 10 项的和；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习

17、资料 - - - 欢迎下载(2) 已知等比数列 an 中,a12 , q3 ,求s3 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 请利用第 2 题的数据,自己编题,改求 自己拟题能巩固和深化所学的学问a1 或求 q,并求解精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载21 10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载生： 口答 （ 1）s10111023精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） s32133 2613115122精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 生甲：已知： q=3, s326 求 a1

18、 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：s3a 133 11326 ,a12 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载生乙：已知：a12 , s326；求 q；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：s3211q3 q26 ,q2q120q3或q=-4 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2.已知 an为等比数列,且 sna , s2nb , ab 0 ,求s3n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

19、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载师：要求s3n ,需知a1 ,q,而已知条件为sn 和s2n 能否进一步挖掘题目的条件,使精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知和未知沟通起来？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载生甲： sna1 11qn aq1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 1q2 n a 1qn 1qn 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s112nb2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1q1q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）式除以（ 2）式得： 1

20、q nb ,即aq nb a13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1a 1 b12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载将（ 3）式代入（ 1）式得： aa1q,就a11qa,2ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s3na11q3 n a1 b13 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载21q2aba以下再化简即可精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载师：这位同学处理问题很奇妙他没有分别求得a1 与q 的值,而改为求qn 与a1的1q精品学习资料精选学习

21、资料 - - - 欢迎下载值,这样使问题变得简洁些,请问同学们,这样解这个题目为否有问题呢？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载生乙：我认为第（ 1）式就有问题,他附加了条件q1 ,而对 q1 情形没有考虑精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载师：对！使用等比数列前n 项和公式时, 要特殊留意适用条件, 即 q1 时, snna1 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1a 1qn aa q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载q1 时, sn1q1n；1q精品学习资

22、料精选学习资料 - - - 欢迎下载 含字母已知数的等比数列求和题目,同学常忽视q=1 情形,要引起足够重视,以培育同学思维的严密性 同学演算习题,老师投影出正确答案精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：设数列的公比为 q ；如 q1 此时数列为常数列 ,就 snna 1a,s2n2na1b ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载此时, 2 ab ,就 s3na3a或s3 b；如 q1 ,即 2 ab ,就由已知精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sa11n13 nqn q13n2a1精品学习资料精选学习资料 - -

23、 - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s2na1 11q2 n bq2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由于 ab0 ,所以由（ 2）式除以（ 1）式得：1q2 n1qnb ,即 1q nab,所以a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载q nb a131将（1）式式变形后代入（ 3）式得：aaa2,于为数列的前 3n 项的和精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1q1qn2ab3n222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为： s3na11

24、qa1 b13 xaabb .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1q2abaa师： 小结 这节课我们从已有的学问动身,用多种方法 迭加法.运用等比性质.错位相减法 推导出了等比数列的前n 项和公式,并在应用中加深了对公式的熟悉如已知 a1,n,q,就挑选a 1qn 1q1sn1qna1q1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知 a1,q,an,就挑选精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1sn1na1an qq1 qq1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对含字母的题目一般要分别考虑q=1 和 q1 两种情形,不能附加条件,统一按精品学习资料精选学习

25、资料 - - - 欢迎下载sa1an qa1 1q 去解题；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn1q1q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aa qa 1qn 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载小结：等比数列的通项公式aa qn 1 和前 n 项和公式 s1n1中,从精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1n1q1qa1 、 q、 n、 an 、 sn 这五个量中,只要知道任意三个量,均可求得其余两个量；7.加强练习,深化熟悉精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）求1 1 、221 、3 148、4 1 、5 11632的前 n 项

26、和精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）求1 、 2 、 3 、 4 、 5的前 n 项和精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载248 1632精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）求数列 1aa 2a3an 1a0 的前 n 项和；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4）画一个边长为2cm的正方形 、再将这个正方形各边的中点相连得到第2 个正方形 、依此类推 、 这样一共画了 10 个正方形 、求这 10 个正方形的面积的和；8.总结归纳,加深懂得以问题的形式显现,引导同学回忆公式.推导方法,勉励同学积极回答,然后老师再从学问点及数学思想方法方面总结：(1) 等比数列的前 n 项和公式(2) 公式的推导方法错位相减法(3) 求和思路构造常数列或部分常数列；通过师生的共同小结,发挥同学的主体作用,有利于同学巩固所学学问,也能培育同学的归纳和概括才能；进一步完成认知目标和素养目标；设计意图：以此培育同学的口头表