(完整word版)初中数学竞赛全辅导第二十二讲圆幂定理

1、第1页(共9页)相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幕定理.園黑宦理实质上是反映两条相交直线与圆的位貫关系的性质定理，其本质是与比例线段有关.存相交弦宦理、切富线定理、割疑定理有看密切的联系；主要際现在；P1. 用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两 条相交弦使其交点在圆外的情况；A2. 从定理的证明芳法看，都是由一对相似三角形得到的锌积式.熟悉以下基髙图形、基本结论；卜【例题求解】PB=_ .(思路点拨 综合运用圆幕定理、勾股定理求PB 长.注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经 历了四个阶段：(1)

2、平行线分线段对应成比例；(2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来；(4) 圆中的比例线段通过圆幕定理明快地反映出来.注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幕定理等知识，通过代数化获解，加强对 图形的分解，第二+二讲则 DE 的长为()A . 3 B . 4C15D .1645(全国初中数学联赛题)思路点拨连 AC,CE由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件.【例2】如图，在平行四边形D【例1】如图，PT 切OO 于点 T, PA 交OO 于 A、B 两点，且与直径CT 交于点 D,成都市中考题)ABCD 中，过 A、B

3、C 三点的圆交 AD 于点 E,且与 CD 相切，若 AB=4, BE=5,第2页（共9页）注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键.【例 3】如图， ABC 内接于OO, AB 是/ O 的直径，PA 是过 A 点的直线，/ PACN B.（1）求证：PA 是OO 的切线；（2）如果弦 CD 交 AB 于 E, CD 的延长线交 PA 于 F, AC=8 CE ED=6: 5, AE BE=2 3,求 AB 的长和/ECB 的正切值.（北京市海淀区中考题）思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识.（1）问的证明为切割线定理的运用创造了条件；弓I入参数 x、k 处理 问中的比例式，把相

4、应线段用是的代数式表示，并寻找 x 与 k 的关系，建立 x 或 k 的方程.【例 4】如图，P 是平行四边形 AB 的边 AB 的延长线上一点，DP 与 AC BC 分别交于点 E、E, EG 是过 B、 F、P 三点圆的切线， G 为切点，求证：EG=DE（四川省竞赛题）思路点拨由切割线定理得EG=EF EP,要证明 EG=DE,只需证明DE=EF EP,这样通过圆幕定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明.注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幕定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化 问题的桥梁.需要注意的是，圆幕定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面

5、几何各种类型的问 题中.第3页（共9页）【例 5】如图，以正方形 ABCD 勺 AB 边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O, DF 切半圆于点 E,交 AB的延长线于点 F, BF= 4.求：（1）cos / F 的值；（2）BE 的长.（成都市中考题）思路点拨解决本例的基础是： 熟悉圆中常用辅助线的添法（连 OE AE）;熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法.对于 （1），先求出 EF, FO 值；对于（2），从 BE FsEAF, Rt AEB 入手.注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可 从以下方面入手：（1） 多视点观察图形如

6、本例从D 点看可用切线长定理，从F 点看可用切割线定理.（2） 多元素分析图形图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三 角形.（3）将以上分析组合，寻找联系.学力训练1. 如图，PT 是OO 的切线，T 为切点，PB 是OO 的割线，交OO 于AB 两点，交弦 CD 于点 M 已知 CM=10MD=2 PA=MB=4 贝UPT 的长为_.（绍兴市中考题）2._ 如图，PAB PCD 为OO 的两条割线，若 PA=5, AB=7, CD=11,则 AC: BD=_ .3.如图，AB 是OO 的直径，C 是 AB 延长线上的一点， CD 是OO 的切线，D 为切点，过点

7、 B 作OO 的切线交CD 于点 F,若 AB=CD=2,贝UCE=_ .第4页（共9页）（苏州市中考题）则此圆的直径为（）A .8、2B .6 2C .4.一2D .2.2(昆明市中考题)6. 如图，OO 的直径 Ab 垂直于弦 CD 垂足为 H,点 P 是 AC 上一点（点 P 不与AC 两点重合），连结 PCPD PA AD 点 E 在 AP 的延长线上，cpD 与 AB 交于点 F,给出下列四个结论：CH=AH BHAD= AC:AD=DF DP/ EPC=/ APD 其中正确的个数是（）A . 1 B . 2 C . 3 D . 4（福州市中考题）7.如图，BC 是半圆的直径， O

8、为圆心，P 是 BC 延长线上一点，PA 切半圆于点 A, AD 丄 BC 于点 D.（1）若/ B=30,问 AB 与 AP 是否相等？请说明理由；（2）求证：PD- PO=PC PB（3）若 BD DC=4 l，且 BC= 10,求 PC 的长.li天津市中考题）4.如图，在 ABC 中，/ C=90, AB=10, AC=6 以 AC 为直径作圆与斜边交于点P,则 BP 的长为（）A . 6.4 B.3. 6 D . 85.如图，OO 的弦 AB 平分半径 OC 交 OC 于 P 点，已知 PAPB 的长分别为方程x2-12x 24=0 的两根,第5页（共9页）绍兴市中考题）第6页（共9

9、页）&如图，已知PA 切OO 于点 A,割线 PBC 交OO 于点 BC, PD 丄 AB 于点 D,PDAO 的延长线相交于点E,连 CE 并延长交OO 于点 F,连 AF.（1） 求证： PBDAPEC（2） 若 AB=12, tan / EAF=2，求OO 的半径的长.3（北京市崇文区中考题）9.如图，已知 AB 是OO 的直径，PB 切OO 于点 B, PA 交OO 于点 C, PF 分别交 AB BC 于 E、D,交OO 于F、G,且 BE BD 恰哈好是关于 x 的方程x2_6x （m24m -130（其中m为实数）的两根.（1）求证：BE=BD （2）若 GE- EF=6

10、j3，求/ A 的度数.（山西省中考题）10.如图， ABC 中，/ C=90, O 为 AB 上一点，以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 相交于点 E,与 AC 相切于点 D,已知 AD=2 AE=1,那么 BC=_.（山东省临沂市中考题）PA 切半圆于点 A, AH 丄 BC 于 H,若 PA=1, PB+PC=a(a2),11.如图，已知AB、C、D 在同一个圆上,BC=CD AC 与 BD 交于 E,若 AC=8 CD=4 且线段 BE ED 为正整数，则 BD=_12.如图，P 是半圆 O 的直径 BC 延长线上一点,E第7页（共9页）则 PH=()A.2B .1C.aD .a

11、aa2313.如图，ABC 是OO 的内接正三角形，弦 EF 经过 BC 的中点 D,且 EF/ AB,若 AB=2 则 DE 的长为（）A.1B .5 -1C .D . 122 214.如图，已知 AB 为OO 的直径，C 为OO 上一点，延长 BC 至 D,使 CD=BC CE 丄 AD 于 E, BE 交OO 于 F, AF 交 CE 于 P,求证：PE=PC（太原市竞赛题）15.已知：女口图，ABCD 为正方形，以 D 点为圆心，AD 为半径 的圆弧与以 BC 为直径的OO 相交于 P、C 两点，连结 AC AP、CP 并延长 CP AP 分别交 AB BCOO 于 E、H、F 三点，

12、连结 OF（1）求证： AEP CEA （2）判断线段 AB 与 OF 的位置关系，并证明你的结论；求 BH:HC（四川省中考题）16.如图，PA PB 是OO 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是 AB 与 PC 的交点，若 PE=2, CD=1 求 DE 的长.（国家理科实验班招生试题）17.如图，OO 的直径的长是关于 x 的二次方程x22（k -2）x 0（ k 是整数）的最大整数根，P 是OO 外一点，过点 P 作OO 的切线 PA 和割线 PBC 其中 A 为切点，点 B、C 是直线 PBC 与OO 的交点，若 PA PBPC 的长都是正整数，且 PB 的长不是合数，求 PA+P

13、B+PC 的值.（全国初中数学竞赛题）（第题）第8页（共9页）第9页（共9页）第10页（共9页）圜n幕定理【刮题求解】例1 15由CD - DT-AB *DT=9t FTS=FB PA - PI DT=,即PflCFB+BAJ = (PB+BD)r- DT1PB例工 选l AC=BE-H,ACD-ZABC. AC-BCyD=5, tX= AB= 4,St DE =爺工辱913(1) ZP4C + CAB=B+ ZCAB90ar故PA是g的切线it2)CE=S,D*5i.AF=2x,B=3jCOrO)，Flj UE DE-.4E-得30t2=SJ-1, A x=AE=25ktBE=35k，又FA

14、1- DF *CF=EFi-AEi,即DFtDFr li*-(DF + 5iJa- (275)4.W得DF= 5b *： DF- DE即D为EF的中点.连第AD,刚AD=DF=Dt推得AF=C，tb FA1= DF * CF得护二5坯5Jt十51砒几解 得i = y?5, AB- Ar BE= 5 75*= 10.IRECB =igZAEF- 2.钢5(由QEEADAF,得黑=焉三磊+即AF=2F，X EF-Fa FA = BF* 2EF.*-Er-2BF=,AF = 2EF-16, AAB=AF-BF-J2.FO=-5-ABBF-10cO!iZ-F-FZr(z 5由REFsEAF.得普=霁=

15、斋=4点BE=k,则AE=2k,由AF+EE5序 得尸+“=i凸*解得左=导/訂故旋二岛.【学力训练】二-由CD YR * CA-CB(AB+CB)dd 5=真_、连06由RtZJ7DCsRtZEBG得茨=希4. A 5. A 6. C 7. C1)AJ3=AP4(2)PAI*PC PH= PD * PO；(3PC=y.H* (l)PAlPB PC=PD - PEtA| = 又桶)作OG丄心血于G t PE/AF, AG- yAB=&, V CXi/ED FA, ；.ZCX；=ZAF.AG 2lan?kf)(r = g =了*_)CJ 9,沖。=i/AG + CX72 3 h/J 3.

16、4+ A=-4(m2)J0,.,.m=-2,方 程 为F &r + 9 S解 側BE=BD3t 2ME * BE=GE* FE=B羸 二.丸E乜與.iiEFBCooAJf,PBDooAIAEt.BC_PB_BD .mbC HDt. BC BD 3搐从“丽_丽_亦御丽=意叱AD丽=惑=彷士亍故= Q風聲II* 7 BDCD=4.由厶HCESAMB得BC* = (7E AC,4E=6.CE=2,由BE * DE=AE EC-2. /3P=B+EDBC+ CD=S、：. BE+ ED7,DE= 6+BE-,可推得符合条件的是DE=3,BE=4或DE=4,HE=3.也A 13. B可证明DE=

17、GF.由JJD * DC=DE DF= DEfDC+GF).褂DELDET-0解得0忙=适尹.4连OC*则CX1/AD.可证明PC为0(1切线匸尸U = FF* PA，X由ZPEFs尸总E,得尸E1-PF PA.iA PC = PP .即PC= P,忒略G)线段AB与OF是平杆的，不妨设AB*BC=2a.连BFF*则EA1- EP EGE册=EF EC, /. ES=EA=a.又EC士辰匸BF=at由AEPsZEN，得等=霁* 二舟卩又A呼=AF AF.AF= yioa, XA帶=券再+在厶OJiF中，OJ=OF sBF屁上FCJB-90X丄OB*； AB/OFf丫AH/OF,/.焉=铝=佥乂

18、 芬只OH十Mi匸H=yfl,CH-a+-j-a=.A BH t CH-.16. it PO交AE于H*设DE-J. !H!| PA1= PE * PC=2(x+3，tE RtAAFW中.AP AH1+ PH1.即AH + FH 2(jr+3)，左RtAPHD卡，PH+ DH=(十2尸.JZ. AD * DB=ED DC,jiff AU - DJ=(AHDHMA H十D HUAHDH*.人A/T DfT齐工1 由縛(工+2F+J 20T+ 3+解得= 壬二*17，设方程两报为Ji+巧*4冬巧则Ji十工：= 4 2釈1),加卅=A.由题设及知，寸、貝掷是整數*从、俏去八得柑寸+1X2业十1) = 9占W4.il当i0时，斗 4故雄大:的蔓牧根为4于是通O的直桓为札所以凤运4*. BC= PC-尸H为正飪數：BC= 1,2.3或+誉结AB.AC,由PABsOPCA,得P