3直线与圆的方程的应用

1、4. 2.3直线与圆的方程的应用【学习目标丨1理解直线与圆的位置关系的几何性质；2会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题;3会用“数形结合”的数学思想解决问题.新知探究点点落实重点难点牛牛击破问题导学知识点坐标法解决几何问题的步骤用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示 问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论题型探究类型一直线与圆的方程的应用例1某圆拱桥的水面跨度 20 m，拱高4 m 现有一船，宽10 m，水面以上高3

2、m,这条船 能否从桥下通过？解建立如图所示的坐标系.yi*A D1依题意，有 A( 10,0), B(10,0), P(0,4), D( - 5,0), E(5,0).设所求圆的方程是(x a)2 + (y b)2= r2,Ia+ 10 i + b = r ,于是有a 10 2+ b2= r2, a2+ b 4 2= r2解此方程组，得 a = 0, b= 10.5, r = 14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是2 2 2x + (y + 10.5) = 14.5 (0W yW 4).把点D的横坐标x=- 5代入上式，得y 3.1.由于船在水面以上高3 m,3v 3.1 ,所以该船可以从桥下

3、通过.反思与感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤: (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知;(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素;求解：禾U用直线与圆的有关知识求出未知;(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.拱顶离水面 2 m，水面宽12 m,跟踪训练1如图，一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时,当水面下降1 m后，水面宽为 米.L2Fy轴，水面所在弦r = 10, (X0,- 3)(x0答案 2 51 解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为 建立直角坐标系，设圆心为C,圆的方程设为x2 + (y+ r)2= r2, 的端点为

4、A, B,贝U A(6, - 2)，将A(6, - 2)代入圆的方程，得 圆的方程为x2 + (y+ 10)2= 100.当水面下降1米后，可设点 A' >0)，将A' (xo, - 3)代入圆的方程，得xo= 51, 当水面下降1米后，水面宽为2X0= 2 ,51 米.类型二 坐标法证明几何问题例2如图所示，在圆0上任取C点为圆心，作圆C与圆0的直径AB相切于D,圆C与圆0交于点E, F,且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.证明以AB所在直线为x轴,O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设 AB|= 2r, D(a,O),则|CD|= “ r2- a2,C(

5、a,- a),圆 O: x2 + y2= r2,圆 C： (x-a)2 + (y- 'r2-a2)2 = r2-a2.两方程作差得直线 EF的方程为2ax+ 2 ' r2- a2y= r2+ a2.令 x= a, 得 y = 2- r2-a2, H(a, 2 , r2-a2),即卩 H 为 CD 中点, EF平分CD.反思与感悟(1)平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下： 建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化 为代数问题. 通过代数运算，解决代数问题. 把代数运算结果 “翻译”成实际或几何结论.(2)建立适当的直角坐标系应遵循

6、的三个原则： 若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴. 常选特殊点作为直角坐标系的原点. 尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的直角坐标系，会简化运算过程.跟踪训练2如图，直角 ABC的斜边长为定值 2m,以斜边的中点 O为圆心作半径为 n的 圆，直线BC交圆于P, Q两点，求证：AP|2 + |AQ|2+ |PQf为定值.Q证明如图，以0为坐标原点,以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(-m,0)，6C(m,O), P(- n,0), Q(n,0).设A(x, y)，由已知，点A在圆|AP|2 + |AQ|2 + |PQ|22 2 2 2 2=(x+ n) + y + (x n

7、) + y + 4n =2x2 + 2y2 + 6n2= 2m2+ 6n2(定值).类型三直线与圆位置关系的应用 例3 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60 km处，受影响的范围是半径长为20 km的圆形区域(如图)已知港口位于台风中心正北30 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解建立如图所示的直角坐标系，取10 km为单位长度，由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6,0), (0,3),所以轮船航线所在直线方程为x + y= 1 ,63即 x+ 2y 6 = 0,台风区域边界所在圆的方程为x2+ y2= 4.由点到直线的距离

8、公式，得圆心到直线的距离6|12+ 22=5>2.34.故A、B两人相遇在正北方离村落中心15 km 处.4所以直线x+ 2y 6= 0与圆x2 + y2= 4相离， 因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响.反思与感悟 针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关 键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题.跟踪训练3设半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为 3 : 1,问A、B两人在何处相遇？解

9、 由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为 y轴的正方向，建立直角坐标系，如图， 设A、B两人的速度分别为 3v km/h , v km/ h,设A出发a h,在P处改变方向，又经过b h到达相遇点Q,则 P(3av,0), Q(0, (a+ b)v),则|PQ|= 3bv, |OP|= 3av, |OQ= (a+ b)v.在 Rt OPQ 中，|PQ|2= |OPf + |OQ|2得 5a = 4b.0v(a+ b )kPQ=,二 kPQ =3av 03设直线PQ的方程为y=x+ m,由PQ与圆x2+ y2= 9相切，| 4m|得 =3,解得m =42 + 32达标检测1一辆

10、卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道（半径为3.6 m），则这辆卡车的平顶车篷篷顶距 地面咼度不得超过（）A 1.4 m B 3.5 m C. 3.6 m D. 2.0 m答案 B 解析 如图，圆半径|0A|= 3.6,卡车宽1.6,所以AB|= 0.8,所以弦心距 |0B|=- 3.62- 0.82- 3.5(m).2 据气象台预报：在 A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响.从现在起经过约h，台风将影响A城，持续时间约为h(结果精确到0.1 h).答案 2.06.6解析 以B为原点，正东方向所在

11、直线为x轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是y=-x,受台风影响的区域边界的曲线方程是(X-a)2 + (y+ a)2= 2502.依题意有(300 a)2+ a2w 2502, 解得150 25 . 14<a< 150+ 25 .14,. 迪=” 150+ 2514l 2.014040V2|a2 a11At 402X 50. 14406.6,从现在起经过约2.0 h,台风将影响A城，持续时间约为 6.6 h.3设村庄外围所在曲线的方程可用(x 2)2+ (y+ 3)2 = 4表示，村外一小路方程可用x y+ 2=0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为 .答案乎2|2+ 3

12、+ 2|解析 由圆心(2, 3)到直线x y+ 2= 0距离为; =7子，722则从村庄外围到小路的最短距离为2.4 .已知集合 A= (x, y)|x y+ m> 0，集合 B = (x, y)|x + yw 1 若 A A B= ?，则实数 m的取值范围是.答案 m< .2解析 如图，A = (x, y)|x y+ m>0表示直线x y+ m= 0及其右下方区域，B = (x, y)|x2+ y2w 1表示圆x2 + y2= 1及其内部，要使A A B = ?，则直线x y+ m = 0在圆x2 + y2= 1的下方，即|0 0 + m|2>1，规律与方法1 禾U用

13、坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中 “数”的问题，应 用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决（或未解决的问题）转化化归都离不开转化与化归所谓转化与化归思想是指把待解决的问题 为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识.2利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题.强化训练拓牖提升40分钟课时作业一、选择题1. 方程1 x2= X+ k有惟一解，则实数 k的取值范围是（）A . k = .2B. k （ . 2, .

14、2）C. k 1,1）D. k= .2或1 w k<1答案 D解析由题意知，直线y= x+ k与半圆x2+ y2= 1（y > 0）只有一个交点，结合图形（图略）易得一1 w k<1 或 k= .2.2. y= |x|的图象和圆x2+ y2= 4所围成的较小的面积是（）n 3 n 3 nA. B. C. D . n442答案 D 解析 数形结合，所求面积是圆 x2+ y2= 4面积的:3. 如图所示，A、B是直线l上的两点，且 AB= 2，两个半径相等的动圆分别与I相切于点A,B，C是两个圆的公共点，则圆弧 AC, CB与线段AB围成的图形面积 S的取值范围是（）B (0,2

15、 )D. (0, n 2A . (0,2 2】nC. (0, 2】答案 A解析 如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S取得最大值,此时ABO2O1为矩形，1 n 2n且 Smax= 2 X 1 2 X 2 = 2 n4 .已知点A( 1,1)和圆c： (x 5)2+ (y 7)2= 4，一束光线从 A经x轴反射到圆C上的最短路程是()A. 6 ,2 2 B. 8 C. 4 .6 D. 10答案 B解析 点A关于x轴的对称点A' ( 1, 1), A'与圆心(5,7)的距离为-，5 + 1 2+ 7+ 1 2 =10.所求最短路程为10 2= 8.5设集合 A = (

16、x, y)|(x 4)2+ y2= 1 , B = (x, y)|(x t)2 + (y at + 2)2= 1，若存在实数 t,使得An BM ?，则实数a的取值范围是()44A . (0, 3B . 0 , 3)4 C . 0 , 3D . 0,2答案 C 解析 首先集合A, B实际上是圆上的点的集合,即A, B表示两个圆,an B丰?说明这两个圆相交或相切（有公共点）, 由于两圆半径都是 1,因此两圆圆心距不大于半径之和2, 即” t 4 2+ at 2 2<2, 整理成关于t的不等式:22(a2+ 1)t2 4(a + 2)t+ 16< 0, 据题意此不等式有实解，因此其判

17、别式不小于零, 即= 16(a+ 2)24(a2 + 1)x 16>0，解得 0w a<3.346.如图所示，已知直线l的解析式是y= 3X 4，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，一个半径为1.5的圆C,圆心C从点（0,1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着 y轴向下运动，当圆C与直线I相切时，该圆运动的时间为B. 6 s 或 16 sC. 16 sD. 8 s 或 16 s答案 B 解析当圆与直线I相切时,圆心坐标为（0, m）,|m+ 4|则圆心到直线I的距离为=1 +32,332-（-2）该圆运动的时间为=6 s0.53132 三 或=16 s.二、填空题7 .若O O:

18、 X2 + y2 = 5与O Oi： (x m)2+ y2= 20(m R)相交于A、B两点，且两圆在点 A处的 切线互相垂直，则线段 AB的长度是 .答案 4解析 如图所示，在 Rt OOiA 中，|0A|= 5, QiA|= 2,5, |001| = 5, |AC |AB|= 4.8 .已知圆O: X2 + y2= 5和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于.答案弩4解析 点A(1,2)在圆X2+ y2= 5上，过点A与圆O相切的切线方程为 x+ 2y = 5,易知切525线在坐标轴上的截距分别为5、2所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为亍.9 已知 M

19、= (x, y)|y= .9-X,沪 0 , N=(x, y)|y= x+ b，若 M n?，则实数 b 的取值范围是.答案(3,3 2解析 数形结合法，注意 y= 9 x2,护0等价于x2+ y2= 9(y>0),它表示的图形是圆 x2+ y2= 9在x轴之上的部分(如图所示).结合图形不难求得,当一3<bw 3 2时，直线y= x+ b与半圆x2 + y2= 9(y>0)有公共点.10.过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x, y)|x2 + y2w 4分为两部分，使得这两部分的面积之 差最大，则该直线的方程为 .答案 x+ y 2= 0解析由题意知点P(1,1)在圆x2+ y2= 4内，则过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，则所求直线与圆心 O和P(1,1)连线垂直，该直线斜率为1, 由点斜式方程得y 1 = (x 1), 即 x+ y 2= 0.三、解答题11如图所示，已知P(4,0)是圆x2+ y2= 36内的一点，A, B是圆上两动点，且满足/ APB= 90° 求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.设AB的中点为R,坐标为(x,y)，连接 OR, PR,则在