理科二轮复习专题限时集训10数列

1、专题限时集训(十)数列组真题重组练1. (2018-全国卷【I)记S“为等差数列伽的前"项和，已知血=一7, S3=-15.(1) 求如的通项公式；(2) 求S“，并求S“的最小值.解(1)设伽的公差为d,由题意得3g + 3= 15.由t/i = 7得(1=2.所以伽的通项公式为an=2n9.(2)由得 Sn=n2一 8 = ( 一4)2 16.所以当n=4时,S”取得最小值,最小值为-16.2. (2020全国卷I )设如是公比不为1的等比数列，创为42,的等差中项. 求如的公比；(2)若“ I = 1,求数列“加的前n项和解设a“的公比为g,由题设得2“1=“2+心，即2a=a

2、q-a(r.所以g'+g 2 = 0,解得q= 1(舍去)或q=2.故如的公比为一2.(2)记S”为加“的前n项和.由(1)及题设可得，為=(一 2广所以 S“=l+2X(-2)+X(-2)”r,一 2S”=-2+2X(2)2+(m-1)X(2)"T+tiX(2)".1 ( 2 可得 3S/1=l+(-2)+(-2)2+- + (-2)n",-nX(-2),=一，以(一2)件 所以S”誌-型誉空3. (2019-全国卷II)已知数列如和如满足4 = 1,仞=0,4如十=3伽一 + 4,4加+1 =3/?”一伽一4.(1) 证明：a”+b“是等比数列，如一b

3、“是等差数列；(2) 求“”和b“的通项公式.解|(1)证明：由题设得4(如1+%+1) = 2(為+久)，即如+1+仏+!=知“+仇).又因为+加=1,所以如+%是首项为1,公比为+的等比数列.由题设得 4（如1/?卄）=4（如一切）+ 8,即 anibn+i=anbn+2. 又因为血一切=1,所以a,-bn是首项为1,公差为2的等差数列.由（1）知，a“+b"=2"-i, a”bn = 2n 1.所以/=（/+%）+（如一切）=戶+一刁1 1 , 1 b” 2【（""+ bn）bn） 芒 川 + 4. （2016-全国卷II）,为等差数列如的前八项和

4、，且5 = 1, 57=28.记b“=lg如，其中力表示不超过x的最大整数,如0.9 =0, lg 99 = 1.（1）求 Z?i, hy Z?ioi:（2）求数列0的前1 000项和.解（1）设伽的公差为，据已知有7+21=28,解得d=l.所以伽的通项公式为Un = 11./?i = lg l=o, /?n = lg 11=1, /?ioi = lg 101 = 2.Of 1,(2)因为 bn = <2,<3,10V1O,10WV100,100WVl 000,n= 000,所以数列亦的前1 000项和为1X90+2X900+3X1 = 1 893.B组模拟重组练1. （2020

5、安阳模拟）已知等差数列如的前幵项和为S”,正项等比数列切的 前”项和为.若创=仞=3,血+6=14,如+“3 = 34.求数列0与%的通项公式;（2）求数列如+bn的前”项和.解设等差数列如的公差为，等比数列%的公比为g（g0）,由 di=bi=3, a汁血=14,心+6 = 34,得 d2+“2=3+3q= 14,如+6 = 3+2d + 3q2 = 34,解得：d=2, q = 3. an = 3+2(/? 1) = 2n + 1, bn = 3". (2).如+九=(2卄1)+3",an+bn的前”项和为(di+d2+“+d") + (bi+b2 +/?“)

6、 =(3+5 + +2/i+1)+(3+32+3")(3+2n+l)“3(13"), 3(3"1)2 十 3I 2)十2 2. (2020潍坊模拟)已知等比数列如的首项尙=2,且“2,心+2,如成等差 数列.(1) 求如的通项公式；若b” = 10g2如求数列'忘的前“项和Tn.解(1)等比数列血的首项创=2,公比设为q,。2,心+ 2,如成等差数列，可得02 + 04 = 2(03 + 2),即有 2t7+2t7(2020吉林二模)已知等差数列如的前"项和为且4=一3, 56=0.(1) 求数列如的通项公式；(2) 求使不等式S”伽成立的n的最

7、小值.解设等差数列如的公差为d,/ C12 = 3, S6 = 0,+= 3.6a +15=0 解得 41 = 5, d=2.cin 5+2(n 1) 2n7. = 2(2+2),解得 q = 2.则 an=a(fl=2T.(2) b“ = log?如=log22" = n,t 1 1 1 1'仇仏+1 n(n + 1) ft + 1'前n项和Tn= 1(2)不等式 Sn>Un,即一5/? + H(Z?1)X2>2h-7> 等价于(h-1)(/7-7)>0,解得n>7使不等式SQ伽成立的72的最小值为8.4. (2020淄博模拟)已知数列

8、如满足山=寸，且血=专+誌心2,底N*).(1)求证：数列2”如是等差数列，并求出数列伽的通项公式;求数列如的前n项和S”.解证明：当心2吋，由专1+右，两边同时乘以2”，可得2"如= 2"T如_i+2,即 2”伽一2”一匕li=2(h$2).3 T2 怙 i = 2X=3,数列2"如是以3为首项，2为公差的等差数列./ 2nan = 3+2(n 1) = 2/? + 1,. 2n +1* a” 2“ 9 丘 N (2)由(1)可知,c .,3,5,7,. 2h-1 I 2n+lSn =(ll i G2十十亍 + 去十壬十十2"，2n 12/7 + 1两

9、式相减，可得:轧=|+£+存2"一2/?+ 1”+1322"2舁+1=尹 i 2n+, 1_25 2/?+ 5 =22« + 5C组重点强化练1. 已知数列如的前"项和Sn=n2-2kn(kN*)t S”的最小值为一9.确定&的值，并求数列如的通项公式；(2)设隔=(一1畑,求数列加的前2卄1项和T2n+1.解(1)由已知得 Sn=n22kn=(nk)2k1f因为则当 n=k 时，(S“)min=-Q=-9,故 k=3.所以 Sn=n26n.因为 5/j-i=(n I)2 6(/71)(/72),所以 an=SnSn-l =tT 6/7

10、) (77 I)2 6(一 1) =2" 7(事2).当 ”=1 时，Si=m = -5,满足伽=2“一7,综上, tin = 2/1 7.依题意，得鬲=(一 1畑=(一 1 )”(2一7),则 乃”+i =53+1 +1 -3+5+(1)2"(4“一7)+( 1尸汁12(加+1)7= 5-(2 +2 + + 2)二-= 5-2n.2. 已知数列伽, 亦满足“1 = 1, bi=2, 2如+1 =如+尹儿2/?“+1 =严”+/?".(1) 证明：数列為+加, an-bn为等比数列；(2) 记S“为数列伽的前"项和，证明:S<y.懈(1)依题意得s

11、2bn+1 =+ bn两式相加得:如+1 +伤】+i=4(«n+bn), 伽+ %为等比数列， 两式相减得：an+ibn+= &(如一b"),:.an-bn为等比数列.由可得：伽+=,Cln bn =,两式相加得:3-4r4zr1 - 4<3- 41-1 - 4-11O113-43. 设数列如的前n项和为S”已知Si = 2, an+l=Sn+2.(1) 证明：/为等比数列；记久=log2如 数列|盘计的前口项和为几，若T&10恒成立，求2的取 值范用.解证明由已知，得6/i=Si=2, «2=5i+2=4,当心2 吋，an=S-i+2t所以

12、伽+1 g = (Sh+2)(S/j-i42)=伽，所以(In -t-1 = 2i7/i(7? ±2)又 a2 = 2al9 所以=2(7zeN'),所以伽是首项为2,公比为2的等比数列.(2) 由可得如= 2”，所以b=n.2 _ A_Q则 /+i=h(h+1)=V _ n +1 丿，r i,i 1 , 11 a ( i、7；=1J,因为几Dio,所以-从而久D,77+1H因为忡 R0(l+器2。，所以2的取值范囲为20, +8).4. 已知数列為的各项都为正数，6/1=2,且诗=严+1.(1)求数列如的通项公式；设九=lg(log2伽),其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0, lg 99 =,求数列如的前2 020项和.解1（1）由题意,伽+1 2(ln=I5為+11,即加+】一如+伽一加请=0, 整理 9 何（如 +1 + ）（如 +12（in） = 0.数列伽的