2021年全国高考数学模拟试卷(含答案和解析)

1、高三数学试卷考生注意：1 .本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2 .请将各题答案填写在答题卡上。&本试卷主要考试内容：高考全部内容.一选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.L 已知集合4=|三一4z5V|川>/?,则 AfB=A （5,+8） B. （1,72）C （一区5）2 .如图，在复平面内，复数小对应的向量分别是成,加,则复数功十§ 金2 的虚部为A.1B.3 C.T D.23 .“净拣棉花弹细，相合共雇王孀.九斤十二是张昌，李德五斤四两.纺讫织成布匹

2、，一百八尺曾 量.两家分布要明彰,莫使些儿偏向.”这首古算诗题出自算法统宗中的棉布均摊，它的意 思如下:张昌拣棉花九斤十二两,李德拣棉花五斤四两,共同雇王孀来帮忙细弹、鲂线、织布. 共织成布匹一百零八尺长，则（注:古代一斤是十六两）A.按张昌37. 8尺，李德70. 2尺分配就合理了R按张昌70.2尺，李德37.8尺分配就合理了G按张昌42.5尺，李德65.5尺分配就合理了D.按张昌65. 5尺，李德42. 5尺分配就合理了4 .已知直线/U平面。，则“直线小，平面小是“加JU”的A充分不必要条件B.必要不充分条件Q充分必要条件D,既不充分也不必要条件5 .在AABC中，角A,凡C所对的边分别

3、为明瓦c,若B,A,C成等差数列，且b=acos C+accos A, 则AABC外接圆的面积为A费B."C. kD.竽JJJ6 .若函数 /(二)=m-3，且 /(2r-l)=/(l-2x),J?!j /<ln 3)+/(】n 3)=AOB.9e+aC.12D. 18e7 .曲线a=ei1 +h在Z=一1处的切线与曲线)=/+加相切，则m=A.4B.3G2D.1 8,巳知某正三梭锥侧棱与底面所成角的余弦值为49,球。为该三棱锥的内切球,若球QJL9与球01相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球Q与球Q的表面积之比为A 生r-1-n 9均 9U 2525二、选择题:本题共4小

4、题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5分，有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下图为某城市2017年2019年劳动力市场供求变化统计图.O 需求人数 求职人数求职倍率占率是劳动力市场需求人数与求职人数之比，即求职倍率=需求人数+求职人数.它 表明了劳动力市场中每个岗位需求所对应的求职人数，数值越接近1,劳动力供需关系越 稳定.根据统计图可知，该城市在2017年2019年中A.该市求职人数最多的时期为2019年第三季度a该市劳动力市场供需差最大的为2017年第三季度C.每年的第一季度，该市劳动力市场的供需人数都位于全年最低D.通过求职倍率曲线，我们

5、可以推出该市的劳动力市场劳动力供儒比例失调的局面正逐 步得到改善10.已知F是抛物线C：，= 16m的焦点,M是C上一点.FM的延长线交）轴于点N,若M为 FN的中点，贝jA. C的准线方程为了=-4R F点的坐标为（0,4）C. |FN| = 12D,三角形ONF的面积为16花（O为坐标原点）11 .设工，）为实数，满足一l44Z.OVryCL则人工+3，的取值范围是（一：1,3：1巳一的取值范围是|：-2,2）C xy的取值范围是一，2D. §的取值范围是口, +8）12 .定义:M表示函数y=/（力在I上的最大值，已知奇函数f（M）满足f（1+4）=八4一力,且当nW（0,41

6、时,/0）=h,正数a满足M5，则A. M 0抵=2R M 也力=4C.a的取值范围为4.91D. a的或值范围为6,9三、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.13 .已知向量加= .14 .将函数/（N）=sin（4N+Q/V0）的图象向左平移管个单位长度，得到奇函数g（力的图象, 则p的最大值是.15 .某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场 主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻,则不同的站法 共有 种.16 .已知居为双曲线，一£ = 1（。0,纪0）的左焦点,P是双曲线右支上一点，线段PFi与以

7、 该双曲线实轴为直径的圆相交于两点，且耳左二屈=毋，则该双曲线的离心率为 一,四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步舞.17. （10 分）在%+c=2acos C,三角形ABC的面积为魂（二 一¥），csin A = 3asin B这三个4一条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求ABC的周长;若问题中 的三角形不存在，说明理由.问题:是否存在/MBC,它的内角力,&C的对边分别为a,6.c,且0=宿6"=1,? 注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18 .（12 分）已知数列&满足5=*,且

8、对于任意m,小N，都有。小,=呢所（1）求储.的通项公式;（2）设儿=匕产'求数列&的前n项和7.19 . （12 分）如图，在直三棱柱4BC-A出C中,AABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,O,M分别 为BC,AAi的中点.（D证明:。M平面CBiA.（2）若四边形B81GC为正方形,求平面MOB】与平面CBiA所成二面角的正弦值.数学试题第3页（共9页）20 , (12 分)已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同,现从甲 盒中任取三个球放入乙盒中.(1)求乙盒中红球个数X的分布列与期望；(2)求从乙盒中任取一球是红球的概率.21 . （1

9、2 分）已知椭圆E号+g=lQ>6>0)的右顶点为4斜率为MV0)的直线2交E于A ,8两 点.当4点时 |AB| ="，且AOAB的面积为竽,(O为坐标原点) (I)求椭圆E的方程j(2)设F为E的右焦点,垂直于I的直线与I交于点M,与N轴交于点H,若BFJLHF,且 |MA| = |MO|,求 A 的值.22 .(12 分)已知函数 /(x) = (x2 +4x+3)In(x+l) 1*工2+(&-3)工Q)当。=一8时，求人工)的单调性；(2)如果对任意40,八公)0恒成立，求a的取值范围.数学试题第4页(共9页)高三数学试卷参考答案LD【解析】本题考查集合

10、的交集运算考查运算求解能力.因为 A=L1.5）,B=（-8,一四）U（&+8）,所以人。8=（疙,5）.2.B【解析】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力.由图知山= l+2i,zz = 2i,则与+孑= l+2i+同=l+3i,所以复数为+3的虚部为&3.B【解析】本题考查统计，考查数据处理与运算求解能力.九斤十二两等于9. 75斤,五斤四两等于5. 25斤,所以按张昌及祟aX 108=70. 2尺,李德巧舞 108=37. 8尺分前就合理了.4. A【解析】本题考查线面垂直的判定,性质定理以及充分必要条件,考查送辑推理能力.;宜线平面a," 垂直于平面a内所

11、有直线，又直线NU平面a, 直线mJL直线I.反之不成立.5A【解析】本题考查正弦定理以及三角恒等变换,考查运算求解能力.因为B,A,C成等差数歹”,所以2A=B+C,则'由正弦定理可知,sinB=sin Acos C+asin Ceos A,易 o得a=l.所以"BC外接圆的半径为鼎5=亨，从而ABC外接网的面积为6.D【解析】本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想.由/（2工-1）=/（1一"）,可知函数/（力=9”用的图象关于丁轴对称,则号=0,得加=0,故八/=卅1, /（In 3）+/（-ln 3）=2/（ln 3）=2e3 = 18.7B【解析

12、】本题考查导数的几何意义,考查运算求解能力.封户_尸1-1=0,；/=j1+1,力-1=2,因此曲线y=£e+工在工=一1处的切线方程是=2工+2.将 /=21+2与y=/+m联立，得/-2/+帆一2=0=4-4（帆-2）=0,则m=3.& C【解析】本题考查三棱锥内切球的应用，考查空间想敛能力，漫辑推理能力.P如图，取ZXABC的外心O,连接PO,AO,则PO必过Oi Q,且PO_L平面ABC,可知/PAO 为侧棱与底面所成的角，即cosNPAO=/支取AB的中点M,连接PM,MC.设圆Q。/伟尽的半径分别为Rr,令3=2,则PA=G，AB=2居,AM=",QW=

13、1,所以函=既='京陟/ /，即PQ=4厂，从而P°=4r十r+R=5r+R所以急=肃示，则"，所以球 'Q与球O1的表面积之比为19 .AD【解析】本题考查统计的知识，考查数据处理能力.通过图明显可以看出2019年第三季度求职人数最多,A正确；2017年第二季度求职人数远高于岗位需求贵,B错误；2019年第一季度供需人数高于2019年第二季度,C错误；通过求职倍率曲线可以看出，劳动力供需比例从0. 65上升到最高0. 90,并且自2018年第四季度至2019年 第四季度求职倍率非常稳定. D正确.故选AD.10 .ACD【解析】本题考查抛物线的标准方程与几

14、何性质,考查数形结合的数学思想以 及运算求解能力.如图.不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线2与彳轴交于点F'，作MB±l于点 B.NAJJ于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为H=-4.F点的坐标为（4,0）,则 |八可|=4,3门=8,在直角梯形4"产中，中位线|引刈=5:用空=6,由抛 物线的定义有|MF| = |MB|=6,结合题意，有|MN| = |MF|=6,故|FN| = |FM| + |NM|=6 + 6 = 12, ON| = J122-42 = 8氏 Sgw =需 X 8夜 X 4= 16夜故选 ACD.11 . ABC【解析】本迪考查不等式的

15、基本性质，考查逻辑推理能力.由已知可得u+y的取值范围是（- 1,31广一丁的取值范围是-2,2）.当一1<彳<0时工y的取值范围是- 1,0）;当工=0时,q = 0;当0Vi42时,；r«y的取值范围是（0,21综 上，工y的取值范围是- 1,2?的取值范围是0,+8）.故选ABC12 . BD【解析】本题考查对新定义以及函数的性质的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力.由已知画出函数fCr）的图象，如图所示.数学试题第6页（共9页）当。V4时,M s司=%显然正数a不满足M小力22M 5勾，所以4,故M “同=4因为M卜>2M g，所以22M a如即3=

16、/（工）在a&lt的最大值不大于2,故干;。所以6<a<9.故选BD.1.4 4【解析】本题考查平面向员的数员积公式,考查运算求解能力.因为（0+bJ_（a-8）所以（a+b） （ab）=0贝Q|a| =；引，1+报=1+4,所以热=4.H.-f【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查数形结合的数学思想及逻辑推理能力.因为N（/） = sin4Gr+搂）+a1= sin（4jr+粤+p）为奇函数,所以萼+3=垢（氏£2）,所以夕=粤+萩（为 000<5WZ）,则夕的最大值是一手1.16 6【解析】本题考查计数原理,考查逻辑推理能力.农场主在中间共有8=2

17、4种站法，农场主在中间，两名男生相邻共有2A1 Af=8种站法，故所求站法共 有 24-8= 16 种.16 .噂 【解析】本题考查双曲线与圆的几何性质,考查数形结合的数学思想.设F2为双曲线/一%=1的右焦点，取AB的中点M,则OMLPFx,因为芭才=处 二环，所以M尼PB 的中点，则（WPF2"OM|=|PF2l/|AB|=MJ|PB| =3£,出氏|=3/一0.|4=母.因为|。|2 + |府|2=|3|2,所以2=4,则|尸片|=彘，产西|=鲁.又因为1尸居|2 +也2|2=旧叼2,所以=祟即该双曲线的离心率6=缚.17 .解:方案一:选条件 因为 26+c=2ac

18、osC,所以 2sinB+sinC=2sinAcosC, 1 分即 2sin(A+C) +sin C=2sin Acos C 整理得 sin C(2cos A+l) =0. 3 分因为 sin C#0,所以 cos A=- 4 分解得A=券5分又因为片商,所以sinA=WsinB,即sinB=+,B=*，7分所以。=弥，则士=号，得=四,6=1, 9分6 sin A sin C所以AABC的周长为2+4. 10分方案二:选条件田 41c_ 1 . . A_j3(aib c2)1人因为 S&wc /Krsm A-. 1 分所以J加sin A二二等,3分即 tan A=一£, 4

19、 分因为A£(0,#,所以A=组J又因为 所以 sin A=/sin B,即 sin 7 分所以C=小则总=.，得“=而力=1，10分4分所以zMBC的周长为2十迎 方案三，选条件csin A = 3astn B> 则 u=3n6,得 6=-y = - , 因为同，所以kg又因为。+方=警+。一则问题中的三角形不存在.10分00评分细则:(1)选择条件得出A=，得5分，求得周长得5分，也可以采用余弦定理求出%6的值,正确得5分. 0选择条件,求出b得4分，求出R得3分,说明三角形不存在得3分，未说明不存在不得分.(3)其他方法按步骤酌情给分.18.解式1)丁对于任意切都有也=。

20、桁a,成立.:令 m=,£=1,得。/即。什1=得，速£!9 3分4分6分8分1。分12分二数列&是首项和公比都为义的等比数列，二4=+弓)i =±,"N«. (2)V6.= (1>- = (-1)-> 2” "| = (一1 )i 22"、 .%7； = 2i-2$+27-2 + + (-l)J 2叱2口一(一2?)叮 8,2加心=i-(-2n =y-(-n k评分细则1(L)第一间共6分,写出等比数列的递推关系得3分，写出通项公式得3分,未得出递推关系,直接写出逋项 公式不得分.(2)第二问共6分，求

21、出&的通项公式得2分，列出7；的等式得2分，准确算出结果得2分，算出7；= 8口一/4尸也得2分.(3)其他方法按步骤酌情给分，19 .证明:如图，连接BC»交CB】于点N,连接ARQN,则N为CB.的中点.因为O为BC的中点所以ONBBi,且ON=4bJ3i , * 2分又=所以ONAM为平行四边形，即CMAN. 4分因为OMU平面C5A-所以0M平面C3A1.5分(2)解:连接0A,令BC=2,因为AB=AC.O为BC的中点，所以A0JJ3C.午, Im4又三极柱ABC-A闰G是直三极柱,ONBB空夫水所以3,OBQN互相垂直,分别以逾，限司的方向为工轴。轴、z轴的正方4

22、/.一；7向,建立如图所示的空间直角坐标系O-ryz. 6分 总匿串式也必因为 AB=A6=g.8C=AAi =2,所以 0(0, 0,0),以 (1,2, 0) ,M(0,1,1),空不田春号事， 。(-1.0,0).所以威=丽=(0/，1),砒=(1,2,0),西=(2,2,0).7分*设平面MQB1的法向员为血=,则株二二:'即二屋j, 令之=1,可得)=-11=2所以平面MOB】的一个法向址为加=(2. 1.1). 8分设平面CBA的法曲皿，则爵二二:理肠盒,9分11分12分令C=l,可得4-1“=1,所以平面CBAi的一个法向独为”=(1,一1,1),所以 cos<m,

23、n>=2X1-1X(-1> + 1X1/22丁(-1)2+尸 X s/P+(-l)2 + P所以平面M3&与平面CIMi所成二面角的正弦值为上评分细则：第一问共5分.证出ON硒 和ON=2BB得2分,证出QWA|N得2分,未说明OMU平面 乙CB A1，直接证出0M平面CB Al，扣1分.(2)第二问共7分,建立空间直角坐标系，并正确写出坐标得2分，写出平面MOBt的法向量与平面CBi A的法向量各得1分.(3)其他方法按步骤酌情给分.20 .解“D由题意知X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=",P<X=D=雪一12分P(X=2)=普段,P(X=3)

24、=晋=* 4分所以X的分布列为X0123P120920920120所以 E(X)=0X表+ 1X/+2X4+3X+ = |. 6分(2)当乙盒中红球个数为。时,R = 0. 7分当乙盒中红球个数为1时,？2=4乂卷=今，8分当乙盒中红球个数为2时,R=得X=泵 9分当乙盒中红球个数为3时目=*><得=上.10分所以从乙盒巾任取一球是红球的概率为Pi + Pz+P"P=十. 12分评分细则：(1)第一问中,正确算出产(乂=0)加9=1)#(*=2)/(*=3)各得1分9列出分布列得1分,求出期望得 1分.(2)第二问中，分类讨论,每种情况各占1分.(3)其他方法按步骤酌情给

25、分.21 .解：由当£=亨时,QAB的面积为%可知此时B为他圆的下顶点.2分所以丘=互二§, |AB| = &*+62 =&，得 / =4,4=3, 4 分CL 4所以椭圆E的方程为(+着=1. 5分(2)设Bizq %),直线I的方程为(上+止=1,由方程组4 3'消去山整理得(4/+3)/ 16d上+16/ 12=0,y=k(x2解得M= 2或N=第+；.由题意得刈=笔不从而门=示端. 7分因为|M/M = |MQ|,所以M的坐标为(L-A), 8分因此直线MH的方程为3一趴则H的坐标为(0,小一幻. 9分FC由得价耳"O.由知F(LO),则而=(一1,卷一由前 =(%¥，N),五芹”4小9 221 人11 zk即以疑？+3 1靖+3, k k)""解得=一件或木=李，所以直线/的斜率£=一呼或=年. 12分4444评分细则：(D第一问共5分,由上=噂的条件确定点B为椭圆的下顶点，得2分,求出a,b各得1分，正确写曲椭圆方程得1分，也可采用直线与椭圆联立的方法求出B点的坐标9得2分9利用Q4I3的面积和区a=0,列 出关系式并求出a法各得1分,正确写