2022年2022年高三理数一轮复习第四章平面向量

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载第四章平面对量高考导航考试要求重难点击命题展望1.平面对量的实际背景及基本概念精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 明白向量的实际背景；2 懂得平面对量的概念,懂得两个向量相等的含义；3 懂得向量的几何表示.本章重点：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.向量的线性运算(1) 把握向量加法.减法的运算,并懂得其几何意义；(2) 把握向量数乘的运算及其几何意义,懂得两个向量共线的含义；1. 向量的各种运算；2. 向量的坐标运算 及 数 形 结 合 的 思想；向量为近代数学中重要和基本的数学概念

2、之一,它为沟通代数.几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 明白向量线性运算的性质及其几何意义.3.平面对量的基本定理及其坐标表示1 明白平面对量的基本定理及其意义；2 把握平面对量的正交分解及其坐标表示；(3) 会用坐标表示平面对量的加法.减法与数乘运算；4 懂得用坐标表示的平面对量共线的条件. 4.平面对量的数量积1 懂得平面对量数量积的含义及其物理意义；2 明白平面对量的数量积与向量投影的关系；(3) 把握数量积的坐标表达式,会进行平面对量数量积的运算；(4) 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判定两个平面对量的垂直关系.5.

3、向量的应用(1) 会用向量方法解决某些简洁的平面几何问3. 向量的数量积在 证 明 有 关 向 量 相等.两向量垂直.投 影.夹角等问题中的 应用 .本章难点：1. 向量的直角坐标运算在证明向量垂直和平行问题中的应用；2. 向量的夹角公式和距离公式在求解平面上两条直线的夹角和两点间距离中的应用 .背景,同时又为数形结合思想运用的典范,正为由于向量既具有几何形式又具有代数形式的“双重身份”,所以它成为中学数学学问的一个交汇点.在高考中,不仅留意考查向量本身的基础学问和方法,而且常与解析几何.三角函数.数列等一起进行综合考查 .在考试要求的层次上更加突出向量的实际背景.几何意义.运算功能和应用价值

4、 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题；(2) 会用向量方法解决某些简洁的力学问题及其他一些实际问题.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学问网络4.1平面对量的概念及线性运算典例精析题型一向量的有关概念【例 1】 以下命题：向量 ab 的长度与ba 的长度相等；向量 a 与向量 b 平行,就a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点的单位向量,其终点必相同；向量 ab 与向量 cd 为共线向量,就a.b.c.d 必在同始终线上.其中真命题的序号为.【解析】 对；零向量与任一向量为平行向量,但零向量的方向任意,故错；明显错；ab 与 cd为共线向量, 就 a.b.c.

5、d 可在同始终线上,也可共面但不在同始终线上,故错 .故为真命题的只有.【点拨】 正确懂得向量的有关概念为解决此题的关键,留意到特殊情形,否定某个命题只要举出一个反例即可 .【变式训练1】以下各式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 |a|aa ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 abc abc； oa ob ba ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在任意四边形abcd 中, m 为 ad 的中点, n 为 bc 的中点,就ab dc 2 mn ； a cos , sin , b cos , sin ,且 a 与 b 不共线,就 a b ab .其中正确

6、的个数为a.1b.2c.3d.4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【解析】 选 d.| a |aa 正确； abc abc ；oa ob ba 正确；如下图所示,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mn = md + dc + cn 且 mn = ma + ab + bn ,两式相加可得2 mn ab dc ,即命题正确；由于 a, b 不共线,且 |a|b| 1,所以 a b, a b 为菱形的两条对角线, 即得 ab a b.所以命题正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例 2】如图, abcd 为平行四边形,ac .bd 交于点 o,点 m 在线段 do精品学习资料

7、精选学习资料 - - - 欢迎下载1上,且 dm=do31,点 n 在线段 oc 上、 且 on =oc3、 设 ab =a、ad = b、 试用精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.b 表示 am , an , mn .【解析】 在.abcd 中, ac ,bd 交于点 o,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 do 1 db 1ab ad 1 b,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2ao oc 122ac 122 aab ad 1a b.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 dm 1 do ,on 1 oc ,331所以 am ad dm

8、 b 3 do b1 115× a b a b,3 266an ao on oc 1 oc3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 3 oc 4 1× a b 3 223a b.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 mn an am精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 2a b 1 5 1a 1 abb.36626【点拨】 向量的线性运算的一个重要作用就为可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示,即平面对量基本定理的应用,在运用向量解决问题时,常常需要进行这样的变形.【变式训练2】o 为平面 上一点, a.b.c 为平面 上不共线的

9、三点,平面 内的动点p 满意 op 2oa ab ac ,如 1时,就 pa pb pc 的值为.【解析】 由已知得 op oa ab ac ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 ap ab ac ,当 1时,得2ap 1 ab ac , 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 2 ap ab ac ,即 ap ab ac ap , 所以 bp pc ,所以 pb pc pb bp 0,所以 pa pb pc pa0 0,故填 0.题型三向量共线问题【例 3】 设两个非零向量a 与 b 不共线 .1如 ab a b,bc 2a 8b,cd 3 a b,求证： a,

10、b, d 三点共线； 2试确定实数k,使 ka b 和 akb 共线 .【解析】 1 证明：由于ab a b,bc 2a 8b,cd 3 a b,所以 bd bc cd 2a 8b3a b 5a b 5 ab ,所以 ab ,bd 共线 .又由于它们有公共点b, 所以 a, b,d 三点共线 .2由于 ka b 和 a kb 共线,所以存在实数,使 ka b a kb,所以 k ak1b.由于 a 与 b 为不共线的两个非零向量,所以 k k 1 0,所以 k2 1 0,所以 k ±1.【点拨】 1 向量共线的充要条件中,要留意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向

11、量,要留意待定系数法的运用和方程思想.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应留意向量共线与三点共线的区分与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.【变式训练3】已知 o 为正三角形bac 内部一点, oa +2 ob +3 oc =0,就oac 的面积与 oab 的面积之比为（）32a. 2b. 31c.2d. 3【解析】 如图,在三角形abc 中,oa 2 ob 3 oc 0,整理可得oa oc 2 ob oc 0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令三角形 abc 中 ac 边的中点为e, bc 边的中点为f,就点

12、o 在点 f 与点 e 连线的1处,即 oe 2of . 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1hh1设三角形abc 中 ab 边上的高为h,就 soac soae soec 2oe2 22oe· h,111soab 2ab2h 4ab· h,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ef由于 ab 2ef ,oe 23,所以 ab 3oe,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载soac所以soab1 oe21 ab4h2 3.应选 b.h精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载总结提高1.向量共线

13、也称向量平行,它与直线平行有区分,直线平行不包括共线即重合 的情形,而向量平行就包括共线 即重合 的情形 .2.判定两非零向量为否平行,实际上就为找出一个实数,使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量 a 与 b 共线同向时,|a b| |a| |b|；当向量 a 与 b 共线反向时, |a b| |a| |b|； 当向量 a 与 b 不共线时, |a b| |a| |b|.4.2平面对量的基本定理及其坐标表示典例精析题型一平面对量基本定理的应用【例 1】如图 .abcd 中 、m 、n 分别为 dc ,bc 中点 .已知 am =a、 an =b、试用 a,b 表示 a

14、b , ad 与 ac【解析】 易知 am ad dm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ad 1 ab ,2an ab bn ab 1 ad ,2ad1 aba、即2ab1 adb.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 ab 22b a,ad 2 b.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3所以 ac ab ad 2 2a3 b.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a3【点拨】 运用平面对量基本定理及线性运算,平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得认真领会.【变式训练1】已知 d 为 abc 的边 bc 上的中点, abc 所

15、在平面内有一点p,满意 pa bp cp精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 0,就| pd | 等于 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. 13| ad |b. 12c.1d.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【解析】 由于 d 为 bc 边上的中点,因此由向量加法的平行四边形法就,易知pb pc 2 pd ,因精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载此结合 pa bp cp 0 即得 pa 2 pd ,因此易得p,a, d 三点共线且d 为 pa 的中点,所以| pd |精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| ad | 1,即选 c.题

16、型二向量的坐标运算【例 2】 已知 a 1, 1, b x, 1,u a 2b, v 2ab.1如 u 3v,求 x； 2如 uv,求 x.【解析】 由于 a 1, 1, b x, 1,所以 u 1, 1 2x, 1 1, 1 2x, 2 2x 1, 3,v 21, 1 x, 1 2x, 1. 1u 3v. 2x1, 3 32 x, 1. 2x 1,3 6 3x, 3, 所以 2x 1 63x,解得 x 1.2u v . 2x1, 3 2 x, 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2x1.32x、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载. 2x 1 32 x0. x 1.【点

17、拨】 对用坐标表示的向量来说,向量相等即坐标相等,这一点在解题中很重要,应引起重视.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【变式训练2】已知向量a nn* b|2 |a b|2 |a b|2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n |a141 b|2 的最大值为.cos 7 , sin 7 nn, |b| 1.就函数 y |a123精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【解析】 设 b cos , sin ,所以 y |a b|2 |a b|2 |a b|2 |a b|2 a 2 b2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12314112cos ,7精品学习资料

18、精选学习资料 - - - 欢迎下载,sin a2 b2141 141 , sin 282 2cos,所以 y 的最大值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin7cos1412cos7,sincos 77精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为 284.题型三平行 共线 向量的坐标运算【例 3】已知 abc 的角 a,b,c 所对的边分别为a, b,c,设向量 ma,b,n sin b, sin a, p b2, a 2.1如 m n,求证： abc 为等腰三角形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2如 m p,边长 c 2,角 c,求 abc 的面积 . 3精品

19、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【解析】 1 证明：由于m n,所以 asin a bsin b.由正弦定理,得a2 b2,即 ab.所以abc 为等腰三角形 .2由于 m p,所以 m· p 0,即ab 2 ba2 0,所以 a b ab.由余弦定理,得4 a2 b2 aba b2 3ab,所以 ab2 3ab 4 0.所以 ab 4 或 ab 1舍去 .113所以 sabc 2absin c2×4×2 3.【点拨】 设 m x1, y1, n x2, y2,就 m n. x1 y2 x2y1； m n. x1 x2y1 y2 0.【变式训练 3】已知

20、 a,b,c 分别为 abc 的三个内角 a,b, c 的对边,向量 m2cosc1, 2, ncos c, cos c 1. 如 m n,且 a b10,就 abc 周长的最小值为 a.10 53b.10 53c.10 23d.10 23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载或【解析】由 m n 得 2cos2c 3cos c 2 0,解得 cos c 12cos c 2舍去 ,所以 c2 a2 b2 2abcos精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c a2 b2 ab a b2 ab 100 ab,由 10a b 2ab. ab 25,所以 c275,即 c 53,所以a

21、 b c 10 53,当且仅当a b5 时,等号成立.应选 b.总结提高1.向量的坐标表示,实际为向量的代数表示,在引入向量的坐标表示后,即可使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合起来.向量方法为几何方法与代数方法的结合体,许多几何问题可转化为熟知的向量运算.2.向量的运算中要特殊留意方程思想的运用.3.向量的运算分为向量形式与坐标形式.向量形式即平行四边形法就与三角形法就,坐标形式即代入向量的直角坐标.4.3平面对量的数量积及向量的应用典例精析题型一利用平面对量数量积解决模.夹角问题【例 1】 已知 a, b 夹角为 120°,且 |a| 4, |b| 2,求： 1|a b|；2

22、 a 2b · a b；3a 与a b的夹角 .【解析】 1 a b2 a2 b2 2a· b1 164 2×4×2× 12,2所以 |a b| 23.2 a 2b · a b a2 3a· b 2b2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 163×4×2× 2×4 12.23a· a b a2 a·b 16 4×2 112.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载× 2a ab123精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

23、所以 cos | a | ab |4×23,所以 .26精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【点拨】 利用向量数量积的定义.性质.运算律可以解决向量的模.夹角等问题.【变式训练1】已知向量a,b,c 满意：|a|1,|b| 2,c a b,且 c a,就 a 与 b 的夹角大小为.【解析】 由 c a. c· a 0. a2 a· b 0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 cos1,所以 2120°.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型二利用数量积来解决垂直与平行的问题【例 2】 在 abc 中, ab 2 ,3

24、 ,ac 1, k,且 abc 的一个内角为直角,求k 的值 .【解析】 当a 90°时,有 ab · ac 0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 2×1 3· k0,所以 k 2；3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当b 90°时,有 ab · bc 0,；又 bc ac ab 1 2, k 3 1, k 3, 所以 2×1 3×k 3 0. k 113当c 90°时,有 ac · bc 0,所以 1 k· k 3 0,所以 k2 3k 1 0. k 3

25、± 13.22113± 13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 k 的取值为3, 3 或2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【点拨】 由于哪个角为直角尚未确定,故必需分类争论.在三角形中运算两向量的数量积,应留意方向及两向量的夹角.【变式训练2】 abc 中, ab 4, bc 5,ac 6,求 ab · bc bc · ca ca · ab .【解析】 由于 2 ab · bc 2 bc · ca 2 ca · ab ab · bc ca · ab ca 

26、3; ab bc · ca bc · ca bc · ab ab · bc ca ca · ab bc bc · ca ab ab · ba ca · ac bc · cb 426252 77.2所以 ab · bc bc · ca ca · ab 77.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型三平面对量的数量积的综合问题【例 3】数轴 ox,oy 交于点 o,且 xoye ,e分别为与ox,oy 同向精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ,构成一个平面斜坐标系,123的单位向量,设p 为坐标平面内一点,且op xe1 ye2,就点 p 的坐标为 x, y,已知 q1, 2.1求| oq |的值及 oq 与 ox 的夹角；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2过点 q 的直线 l oq ,求 l 的直线方程 在斜坐标系中.【解析】 1 依题意知, e · e112 ,2且 oq e1 2e2,所以 oq 2 e1 2e22 1 4 4e1· e2 3.所以 | oq