2022年2022年高三数学复习概率知识点、题型方法

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载绵阳市开元中学高2021 级高三二轮复习计数原理与概率及其分布列学问点.题型与方法归纳制卷：王小凤同学姓名：【计数原理学问梳理】一.分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：假如完成某事有几种不同的方法,这些方法间为彼此独立的,任选其中一种方法都能达到完 成此事的目的,那么完成此事的方法总数就为这些方法种数的和；分步计数原理：假如完成某事,必需分成几个步骤,每个步骤都有不同的方法,而个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接,只有依次完成全部各步,才能达到完成此事的目的, 那么完成此事的方法总数就为这些方法种数的积；区分： 假如任何一类方法中的任

2、何一种方法都能完成这件事,就选用分类计数原理,即类与类之间为相互独 立的,即“分类完成” ；假如只有当n 个步骤都做完,这件事才能完成,就选用分步计数原理,即步与步之间为相互依存的,连续的,即“分步完成”；二.排列与组合：1 排列与组合的区分和联系：都为讨论从一些不同的元素中取出n 个元素的问题；区分：前者有次序,后者无次序；5 解排列.组合题的基本策略与方法：整体排除法：对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的全部情形去掉；这为解决排列 组合应用题时一种常用的解题方法；分类处理： 某些问题总体不好解决时,经常分成如干类,再由分类计数原理得出结论；这为解排列组合问题的基本策略之；留意

3、的为：分类不重复不遗漏；即：每两类的交集为空集,全部各类 的并集为全集；分步处理： 与 分类处理类似,某些问题总体不好解决时,经常分成如干步,再由分步计数原懂得决；在处理排列组合问题时,经常既要分类,又要分步；其原就为先分类,后分步；插入法（插空法） ：某些元素不能相邻采纳插入法；即先支配好没有限制条件的元素,然后再将有限 制条件的元素按要求插入排好的元素之间；“捆绑”法： 要求 某些元素相邻 ,把相邻的如干特别元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“一般元素”全排列,最终再“松绑”,将特别元素在这些位置上全排列,即为“捆绑法”；【计数原理题型应用】15 位同学报名参与两个课外活动小组,每位同

4、学限报其中的一个小组,就不同的报名方法共 有a 10 种b 20 种c25 种d 32 种2从 6 位男同学和 3 位女同学中选出4 名代表,代表中必需有女同学,就不同的选法有 a 168b45c60d111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载an2 排列数的公式：mnn1 n2nm1n.mnnm.3用 1、2、3、4、5 这 5 个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数共有a 30 个b 36 个c40 个d 60 个精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载an留意：全排列：nn. ；camn n1n2nm1n.4某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个

5、新节目,假如将这两个节目插入原节目单中,那么不同方法种数为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n组合数的公式：mnammm.m. nmnm.a 42b30c20d12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载组合数的性质： c mc n m c mc mc m 15停车场上有一排七个停车位,现有四辆汽车需要停放,如要使三个空位连在一起,就停放精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn3 排列.组合的应用：nn 1n 1方法数为（）4a a3b a5c a53d a a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解排列组合应用

6、题时主要应抓住为排列问题仍为组合问题,其次要 搞清需要分类,仍为需要分步切记 ：排组分清 有序排列.无序组合 ,分类分步明确解排列组合的应用题,通常有以下途径：775536有 4 位同学和 3 位老师站在一排拍照,任何两位老师不站在一起的不同排法共有（）a 4.2 种b 4. ·3.种c a3 ·4.种d a3 ·4.种精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载45以元素为主,即先满意特别元素的要求,再考虑其他元素特别元素优先法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以位置为主,即先满意特别位置的要求,再考虑其他位置特别位置优先法先不考虑附加条件,运算出

7、排列或组合数,再减不合要求的排列数或组合数间接法4 对解组合问题,应留意以下三点：对“组合数”恰当的分类运算,为解组合题的常用方法；为用“直接法”仍为“间接法”解组合题,其前提为“正难就反”；命题设计“分组方案”为解组合题的关键所在；7用数字 1,2,3,4, 5 可以组成没有重复数字,并且比20000 大的五位偶数共有（）a.48 个b.36 个c.24 个d.18 个8某市拟从 4 个重点项目和6 个一般项目中各选2 个项目作为本年度启动的项目,就重点项目 a 和一般项目 b 至少有一个被选中的不同选法种数为（）a 15b45c60d75精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1精品

8、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【概率学问梳理】一.随机大事的概率1.大事1在条件 s 下,肯定会发生的大事,叫做相对于条件s 的必定大事 2在条件 s 下,肯定不会发生的大事,叫做相对于条件s 的不行能大事 3在条件 s 下,可能发生也可能不发生的大事,叫做相对于条件s 的随机大事2.概率和频率1用概率度量随机大事发生的可能性大小能为我们决策供应关键性依据二.古典概型1.基本领件的特点（ 1）任何两个基本领件为互斥的（ 2）任何大事 除不行能大事 都可以表示成基本领件的和2.古典概型的两个特点（ 1）试验中全部可能显现的基本领件只有有限个,即有限性（ 2）每个基本领件显现的可能性相

9、等,即等可能性 提示 确定一个试验为古典概型应抓住两个特点：有限性和等可能性a包含的基本领件的个数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2在相同条件s 下重复 n 次试验,观看某一大事a 为否显现,称n 次试验中大事a 显现的次数na 为3.古典概型的概率公式 : pa 基本领件的总数.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载大事 a 显现的频数,称大事a 显现的比例fnaa 显现的频率精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载na n 为大事3对于给定的随机大事a,由于大事a 发生的频率fna随着试验次数的增加稳固于概率pa,因此 可以用频率fna来估量概率pa3.大事的关

10、系与运算【题型应用】1 某小组共有a,b,c,d, e 五位同学,他们的身高 单位：米 及体重指标 单位：千克 /米精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载包含关系文字表示符号表示假如大事 a 发生,就大事b 肯定发生,这时称大事b 包含大事 a或称大事 a 包含于大事bb. a 或 a. b2如下表所示：abcde精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载相等关系如 b. a,且 a. b,那么称大事a 与大事 b 相等a b身高1.691.731.751.791.82精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载并大事 和事件交大事 积大事如某大事发生当且仅当大事a 发生或大事b

11、 发生,就称此大事为大事a 与大事 b 的并大事 或和大事 ab或 ab如某大事发生当且仅当大事a 发生且大事b 发生,就称此大事为大事a 与大事 b 的交大事 或积大事 ab或 ab体重指标19.225.118.523.320.91从该小组身高低于1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载互斥大事如 a b 为不行能大事,就大事a 与大事 b 互斥a b .如 a b 为不行能大事, a b 为必定大事,那么称对立大事大事 a 与大事 b 互为对立大事4.概率的几

12、个基本性质1概率的取值范畴： 0 pa . 12必定大事的概率pe1. 3不行能大事的概率pf 0.4概率的加法公式：假如大事a 与大事 b 互斥,就 pa b papb 5对立大事的概率：如大事 a 与大事 b 互为对立大事,就a b 为必定大事 pa b 1,pa 1 p b【题型应用】2从该小组同学中任选2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 18.5、23.9中的概率【变式 1】袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球.2 个白球和 3 个黑球 从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载互斥大事

13、与对立大事的概率1从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取3 个球,那么互斥而不对立的大事为 1b 2a55c34d55精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 至少有一个红球与都为红球b 至少有一个红球与都为白球c至少有一个红球与至少有一个白球d恰有一个红球与恰有二个红球【总结】：要判定两大事为互斥而不对立的大事：只需判定交大事为不行能大事,和大事为必定大事；2袋中有12 个小球,分别为红球.黑球.黄球.绿球,从中任取一球,得到红球的概率为1,得到黑球或【变式 2】在变式 1 条件下,就两球不同色的概率为 2 任意抛掷三枚硬币 、 恰有两枚硬币正面对上的概率为 1 3 3 248

14、43精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4【变式】 同时掷两颗骰子,向上点数之和为7 的概率为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载黄球的概率为5 ,得到黄球或绿球的概率为1,试求得到黑球.黄球.绿球的概率各为多少？ 122a 1b 3c 1d 1411611精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三.几何概型1几何概型的定义假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度面积或体积 成比例,就称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型2几何概型的概率公式构成大事 a的区域长度面积或体积pa 试验的全部结果所构成的区

15、域长度面积或体积.（一）与长度.角度有关的几何概型【离散型随机变量的概率分布学问梳理】1离散型随机变量的相关概念（ 1）随机变量：假如随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用字母 x . y .等表示；（ 2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值,可以按肯定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量；如为随机变量,ab （ a . b 为常数）,就也为随机变量；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 在等腰直角 abc 中,过直角顶点c 在 acb 内作一条射线 cd（ 3 ）离散型随机变量的分布列

16、: 设离散型随机变量x 可能取的值为x1.x2xi, x 取每一个值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载与线段 ab 交于点 d,就 ad<ac 的概率为 .xi1、2、的概率为 p xxp ,就称 表精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 已知圆 c：x2y2 12,直线 l： 4x3y25.iiix1x2xi精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1圆 c 的圆心到直线 l 的距离为 ；2圆 c 上任意一点 a 到直线 l 的距离小于 2 的概率为 为随机变量x 的概率分布,简称x 的分布列；（ 4）离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：pp1p2pi精

17、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) pi0, i1、2、；(2) p1p2l1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（二）与面积有关的几何概型1（与线性规划交汇）如不等式组yx, y x,2xy 3 0表示的平面区域为m,x2 y21 所表示的2两点分布： 如随机变量 x 的分布列为 :x01p1pp精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载平面区域为 n,现随机向区域m 内抛一粒豆子,就豆子落在区域n 内的概率为（）就称随机变量 x 听从两点分布 .而称 pp x3超几何分布 ：1 为胜利概率 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 12b10c6d2

18、4一般地,在含有 m 件次品的 n 件产品中,任取 n 件,其中恰有 x 件次品,就c k c n k精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4 秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同p xkmn m 、 kcnn0、1、m、 mmin m 、 n、 其中、 nn、 mn.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2 秒的概率为 即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 14b 12c341d78x01lm精品

19、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【变式】在区间0、1内任取两个实数,就这两个实数的和大于的概率为 0n 0lmn m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab1771893c291d18pcm cn mcln ncm cn mcn n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（三）与体积有关的几何概型1在棱长为 2 的正方体 abcda1b1c1d1 中,点 o 为底面 abcd如随机变量x 的分布列如上表,就称随机变量x 听从超几何分布.4条件概率 ：对任意大事a 和大事 b ,在已知大事a 发生的条件下大事b 发生的概率,叫做条件概率；精品学习资料精选学习资料 - -

20、 - 欢迎下载的中心,在正方体abcda1b1c1d1 内随机取一点 p,就点 p 到点 o 的距离大于 1 的概率为记作 pb a ,读作 a 发生的条件下b 发生的概率；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n abp ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载66a 12b1 12cd1条件概率运算公式p b an ap a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载性质：（ 1） 0p b a1（ 2）如 b 与 c 为互斥大事,就p b u c ap b ap c a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3精品学

21、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5相互独立大事定义：大事a 或 b 为否发生对大事b 或 a 发生的概率没有影响、这样的两个大事叫做相互独立大事 注：（ 1）互斥大事为指不行能同时发生的两个大事；相互独立大事为指一大事的发生与否对另一大事发生的概率没影响 .（ 2）假如 a . b 为相互独立大事,就a 与 b . a 与 b . a 与 b 也都相互独立 .（ 3）两个相互独立大事a . b 同时发生的概率p abp a p b 此公式可推广到多个相互独立大事 6独立重复试验及二项分布定义：在 同等条件下 进行的,各次之间相互独立 的一种试验在一次随机试验中,某大事可能发生也可能不发

22、生,在n 次独立重复试验中这个大事发生的次数x 为二题型训练考点一 . 随机变量及其分布列1抛掷两颗骰子,所得点数之和记为,那么 =4 表示的随机试验结果为（）a 一颗为 3 点,一颗为 1 点b两颗都为 2 点c两颗都为 4 点d一颗为 3 点,一颗为 1 点或两颗都为 2 点 2袋中有大小相同的5 个球,分别标有1,2,3,4,5 五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量,就全部可能取值的个数为（） a 5b9c10d 253已知随机变量的分布列为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一个随机变量 假如在一次试验中某大事发生的概率为p ,那么在n

23、 次独立重复试验中这个大事恰好发生k12345p0.10.20.40.20.1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载次的概率为p xk c k p k q n k , k0、1、2、 l 、 q1p就为奇数的概率为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n于为得到随机变量x 的概率分布如下：x01kn4 设 随 机 变 量 x的 分 布 列 为pxkc, k k k11、2、3, c 为 常 数 , 就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载npc 0 p 0q nc 1 p 1 qn 1c k pk q n kc n p n

24、q 0p 0.5x2.5.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn由于 c k p k q n k 恰好为二项式绽开式：n pq nc 0 p 0q nc 1 p1q n 1lc k p k q n klc n pn q0 中考点二 .两点分布与超几何分布精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nnnnn5如 p x01p , p x1) p ,就e3 x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的各项的值,所以称这样的随机变量x 听从二项分布,记作7期望与方差x : b n、 p

25、 .6某 12 人的爱好小组中,有5 名“三好生”,现从中任意选 6 人参与竞赛,用表示这 6 人中c 3c 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数学期望 :一般地,如离散型随机变量x 的概率分布为“三好生”的人数,就概率等于57 的为c612精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx1x2xna p 2b p 3c p2d p3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pp1p2pn7在 10 件产品中,有 3 件一等品, 4 件二等品, 3 件三等品,从中任取3 件,求：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就称

26、 exx1 p1x2 p 2xn p n为 x 的数学期望,简称期望(1) 取出的 3 件产品中一等品件数x 的分布列；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载称 dxnxie xi 12pi 为 x 的方差；(2) 取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载意义： 数学期望为离散型随机变量的一个特点数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差描述了xi 相精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对于均值 e x 的偏离程度注（ 1）如

27、 yaxb ,就 e yae xb（ 2）如 x 听从两点分布,就exp , dxp 1p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）如 x :b n、 p,就 e xnp , dxnp 1p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点三 .条件概率a. 2 3b. 1 3c. 1 9d 118精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8. 以下正确选项（）a pb a = p a bb p a b = n abn b16假设每一架飞机的引擎在飞行中显现故障率为1p ,且各引擎为否有故障为独立的,如有至少 50%的引擎能正常运

28、行,飞机就可以胜利飞行,如使4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全,就p 的取值范畴为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c 09已知pb ap b 10 , a iad p a a = 0,就以下式子成立的为（）a 2 、1b.0、 2c.1 、1d 0、 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12a p a1 b0b p a1a2 bpa1 b+ pa2 b3334111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c p a1 a2 b0d p a1 a2 b117甲乙丙射击命中目标的概率分别为中的概率为（）.2412,现在三人射击一个目标各一次,目标被击精品学习资料

29、精选学习资料 - - - 欢迎下载10已知p b a3 , p a 101 ,就 p ab5a. 196b. 47 96c. 21 32d. 5 6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 1b 3c 2d 318甲.乙.丙.丁4 个足球队参与竞赛, 假设每场竞赛各队取胜的概率相等,现任意将这 4 个精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22350精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11某地区气象台统计,该地区下雨的概率为4 ,刮三级以上风的概率为2,既刮风又下雨队分成两个组（每组两个队）进行竞赛,胜者再赛,就甲.乙相遇的概率为（）精品学习资料精选学习资料 - - -

30、 欢迎下载15151111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的概率为 110,就在下雨天里,刮风的概率为（）a b6cd432精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 8b 1c3d 3考点五 .独立重复试验与二项分布225284精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12一个袋中有 9 张标有 1、2、3,9 的票,从中依次取两张,就在第一张为奇数的条件下第19某人射击一次击中目标的概率为0.6 ,经过 3 次射击,此人恰有两次击中目标的概率为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二张也为奇数的概率（）20每次试验的胜利率为p 0p1 ,就在 3 次重复试验

31、中至少失败1次的概率为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b 1c 1d 3a 1p 3b 1p 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5527c 31pd 1p 3p1p 2p 2 1p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点四 .相互独立大事同时发生的概率1 1121加工某种零件需经过三道工序；设第一.二.三道工序的合格率分别为9 . 8 . 7 ,且各精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13有一道题, a.b.c 三人独自解决的概率分别为. . ,三人同时独自解这题,就只有1098精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一