吴忧学数学-无锡市太奇教育培训中心—无锡成人高考无…

1、吴忧学数学高等数学(-)必考公式1预备知识知识冋顾芳价关庚： 结论：指数运算法则0 am,an=a,n4n<=> a" / an=am n« (ara)"=amn(1)常用对數：以loglhn=lgn/心二产”(m,nwr)m二广如wr) an(/)"二产 omwr)1讪)呻|1邸 logay =1081-10 io訓fl。驯公式籬(2)自然对致：以lognnne=2.71«2x )(ah)n =an bn(ne r)积变和;商变差；乘方变为积正扭数指数界的性质:底指数a1(a#0)含义：n个a相柬常用三角函数值0jt6二jjtft

2、22x：sii a01272210-10cos a1422120101tan ct031ji80oc0cotcr751j500x概念:因式分解一个多项式匚几个整式的乘积整式乘法提公因式法： ma + mb me = m（a +b- c）运用公式法平方'差公式：/ 夕=a +b）a b） 完全平方公式：a彳土 2ab +b2 = a ±i）j因式分解二次三项式因式分解'工 +（去+q）x+/>0 = （x + f）（x+g）as，+（g +色6）兀+暂2= 仏兀+6）依2兀+巾）手段:分组2. 极限与连续等价无穷小册只能在乘除中件换准加减中不能瞽换jarcsinx

3、x, aivtanx_七 irt +乂）也一1 x,1cx»x x2 ax lxinw,2（1+乂）"一lg求极限的右決/、直根代亠（召対勿矛后千弋八）n、孙丸曲4sl祕哄冷蜕3、矛段虽4bl3机陆4、两十壬奕机陕5、等讣毛专、赵/替才矣<5. 海还込注则一、。型及久型未定式解法:洛必达法则 0 oo定义 如果出x ta （或x-> oo）时，两个函数 /（工）与flr）都趙于零或都趋于无穷大，那末 极限lim 小可能存在、也可能不存在通 常把这种极限称为:或"型未定式.0 00函数在一点极限存在的充分必要条件定理 lim/(x) = a <=&

4、gt; lim/(x) = lim f(x) = a.分较函数连续性的判定 広右极限存琏且湘等, 还要等于函教值3. 导数及应用定义11 (导数)设函数 = /“)在n(x.)内有定义.xt + ax ng 如果极限ar-w ar a»-oar存在.则称函数“ej处町导，并称该极限们为应。处的导数.记作clr若极限不存在，则称/在x。处不可导(1) (cf = o(2)(3) (</')* = «' in a(4)(r* / = «'/aliri >、" b°c lxfxina< 111 a /x(7)

5、 (sin= cos x(8)11(、(cos xy =3 rill <tcos* xsin x(11) (see xy = sec a tan x(12)> (csc a )* 二 一 cnc a cot a(13) (arcsin xy « i (14)(arccos xy « 目'；r i1 4-x2t v/1 + “导数公贞及口诀伞*家林对倒教，翡不埶 正吏余，余吏正，切割方，割素切, 反分衣=v">=/z<jt>- v<jr>-+-#/<jt> vx(at>務=5“(小"=八心

6、3=广(“5)*("chidxdudx2.四则运算心列2.1设函枚"x人女"，苕2点*处可导则函数/<at>± v(ath ux>-巩 x 人(v(x)* <>)v( jr )在点x处也啰吁lr >j/*< at > f vx< at >3.复合函数的求导法则定却2.3(链式法则设函数" =)在工处nj 旳数y = /(/)在对应的" =)处可导则奴介函数j = /(af(x)在x 口导且不救方程的求寻曲趺方仪为e),时救红理尸供"dx 0曲线的切线方稈点p(xol

7、 f(xq)在曲fy=f (x)上.且f(x)在(xo f (x0) 处存在导数，曲线尸f(x)在点p处的切线方程为 y- f (x0) =f' (xq) (x-xp)龙理 函数y -上连tft 在gh、内可 再> 如杲在> <»= /*»在“上单tw坦力m <2>如祟内/"工v <>. 那未阖数，/(jt柱“小上牛调派少.第一充分条件(f(x)在x。连续)第二尢分条件(/u)=0)在x。两侧,f(x)左正右货,勺为极大值点；若门廟>0,则勺为极小值点；+/ f(x)左负右正,x。为极小值点若厂仇)<&

8、#176;，则勺为极大值点. 公2曲线凹凸的判定定理 如果/(刃在7内具有二阶导数，(1) 若在/内，/"(x) > 0,则/(“)在/内是凹弧;(2) 若在/内，厂(x)< 0,则/(x)在/内是凸弧.拐点删别方法设函如x)在心的邻域内二阶可导(1) x。两近弼u)变号点(几j(x0)即为拐虑旺两近离不变号点仇,/(切)不是拐点4. 不定积分3、基本积分表(1)<2)(3)<4(5)<>)7-lx = arcsin jr + ivl - jt2j kdx = kx + c (ar 是倦数)5 = f sec2 xdx = tan x +c cos

9、* x j(io > j sec x tan xdx = sec jr + ccos xdx = sin x + c94直接积分法由定义直接利用皐本积分衣与积分的性质求不 定积分的方法.5、第一类换元法定理1 设/(“)具有原函数，” =0(兀)可导，则有换元公式(凑微分法)j./tax)咕(兀皿=6、分部积分法j udv = wv j vdu (分部积分公式)5. 定积分及应用3.常见求定积分的公式l-i1jccl rj a1ct clrzri|<< >>* rt'cj: j£>匸定积分的儿何意义材o）足仙函数贝|j j' /（乂

10、）厶 =2：/（乂）厶f xdx =()若/（x）足命函数.wijy = cos 乂足f禺函数.y ="m%足命函数.1 + tan 亠 x曲边梯形 y = fmy 討(x)a3=-£ f(x)dxo ab x体积元素:y=/wdv=/(x)2(k旋转体的体积为a(x)=4/(x)2思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值:图2如图>>v= far*主旋转体的体积般地，如果旋转体是由连瓢线尸 念）、 直细二"、“方及x轴所围成的曲边梯形验 轴旋转-周而成的立体，体积为多少？6. 多元函数微积分（1） 一阶偏导数定义：人（心儿）=忠詁&汽罟沁/

11、a(x*j)=/xx(j)=|4=dxhm几wo上企如jttx.x-x0刁2/；vuj) = a,(x,j) = 小和加=lime血二血迦74）tt0ay计算方法：求偏导时,只须对所讨论的变量 求导,而把其余的变量看作常数.处k，刃专鳴（劄m 全微分全增量为az = /（% + ar。+ 3）-/'（乂00） 全微分为dz =芟dx +芟dyox sv午极債（1）无条件极值极值存在的必藝条件设疋=户乂）在（工具有偏导效且在（乂仆0取.符 极值，则刀r（hoo）= 0£（*00）= o极值存在的充分条件设z = 7*（斗刃在7（凡，5）内连续有 -阶及二阶连续偏导数，又zr 0

12、（0）= 6 /y=，令山=ar*«兀o= j'xy（x（l«j?oc'则（“当ac-q2ao时，有极值，a vot时自极大血时伺极小值二重积分的几何意义当被积函数/（x,y）no时，z 二重积分是曲面z=/（x）为顶,（ 其投影d为底曲顶柱体的体积.f（x9y）da=vz=f(x.y)v若在dj丁（工）二1,则有d（y=d的面积宜旳邯标系卜讥并:車枳分（儿何怠文：ittl绒村“悴81）物理©jg t ikirftv如陨枳分区域为：axb卩三卩/jtlm卸中函数ejz）、例3 金区何【”上1匕连纹. ff 八 z "=f"

13、63;：八 f 心7.无穷级数如來积分区域为：丫一熨jj f(x,y)db = 匚；f(x.y)dx.i、偏导数（2）高阶偏导数m)yaq p+ag+a扌+“彳 +g 二对 s.=iwtx级jft发歆?=1时$.0-o+a-i 极限不存在jr0发iftm（ +m? + + "” + 艺叫 你为数项无穷赢、倚、竜顽i q l> lsn >oo级数发散总之：gkl.级数收敛级数发散8 10傅:p级数的敛故件1+穆+ 解卩“时，级数显煞发故.11 二 i定理2（比较审敛法）设和都是正项级数，”1 ”1且以叮“12）若办撤敛，则立j收敛；”1 ”1/t若zm-发散则zv-发散.定

14、理6（莱布尼兹定理）若交错级数满足：”1（i）2/n>ufl+i;（n = u.） （n）.limz/n =0n-k©则级数收敛,且其和s*,其比匕怙4+%（r）+q（f f+"芒严）"+（i） 件例 on +中+心？ +y於+二1系敎j （2） lr豪忖论（2讷为可uimii变gt代謝爾x = 0时（2败敛9股的用级数帔域e 区间.例=i + x+fi+/+4由等比级（的枷bkl时收敛i论i时发散则做敘域（71）内1+"+*+i-x定理3（比较审敛法极限形式）设£心和£匕都是止项级数,如果lirn=/（0</<-k

15、o） 则乞叫和£匕同时收敛或同时发故.*1-1i2.绝对收敛与条件收敛，殛够）对于i般的任,6:项级数£“考虑£|“88m-i£“收敛则绝对血 a-l几）收敛而£“发散.则丈“釦t收鉉"一i2收敛半径的求法（证期略）m求收敘*松和收敛域£（-1严二收敛域是（一 1. 1）/i 41“i时（“>7匚收勿 “一1时y（-）发散2 间接展开法利用已知的基本展开式和年级数的性质（1）逐项积分逐项求导法（2）变量替换法（3）四则运算法&常微分方程可分离变量定义设有数列旳，叫严将及/项依次累加所得的式子一、可分离变量的微分

16、方程dy =(p(x)(y)或= f(x)dx 可分离变昴 生j的微分方程.f44例如亠=2x2y5 => y sdy = 2x2dx dx解法 设函数刊叭和f(x)是连续的(炽$妙=j/(x心分离变鱼法(2) 一阶线性微分方程-阶线性微分方程的-般式(3)二阶线性微分方程例1朋解微分方程？ = 8丫侦驸.ux解_v*oih.分离变常鸟=2皿 咿5枳分j心町2；如ini j 1= x2 +c| n y=q (c =)同时y"也是方理的解，包含在y = cex «|为所(2一阶线性井齐次微分方种dy1) 他弋n + n = a”)2解法常数变易法3迪解公式，="

17、;2叮 0""5认+6y"+”/+q=o二阶常系数齐次线性方程，"+砂'+0=/(*)二阶常系数非齐次线性方程其中卩彳为常数< jr- x + fr - q= <1me t f jf-2 tt jrr- -4- <y otie方理去g，=心“.柯玮化入zi «£也筛!执 k :特征方程的根与通解的关系方程円pr+e)的根的情况方程)+"竹尸0的通解有两个不相等的实a：rp r2严c严+c2凸有两个相等的实根:刊y=c/ht+c2iz,1有一对共艇复根:/*二加m)尹(c|cos/?r+c2sinjf

18、tr)1、f=pm(x)e gy :结论二阶常系数非齐次线性微分方程 y"+py'+册竄(兀)0 有形如y*=*q加戶高等数学(-)必考题型1.极限与连续(1)直接代入求极限；(2)利用等价无穷小极限;如吧号亠(c) a. 1 ；b.0 ； c. 1； d.2.利用重要极限极限;$nlim(l-r =(28 3%d ) a. /；b.d.(4)利用罗必达法则;如lim so %-sinx)a. 6； b.c. 0；d. 1.分段函数的极限(6)分段函数的连续性;如果函数f(x)=«“+二，x<02处处连续，则k = ( cln(l+兀)+ 匕 x>03x

19、6) a.76b.； c77 ；d.62导数及应用(1)利用导数定义求导；如果/'(3) = 6,则limxto/(3兀)一/(3)2xa一6 ； b. 一3 ； c. 3 ； d. 6 利用导数公式求导;如利用连锁法则求导;如如果y = sin(3x1 2),则=(c ).a. cos(3x2) ； b. -cos(3x2) ； c. 6xcos(3x2)；d. -6xcos(3x2)隐函数求导;如如果+ ey =ex ,则y'= ( d ).c.参数方程确定的函数求导；ex + y ey - xd.ex - y ey + x(6)切线方程；曲线y二丄在点(3,丄)处的切线方

20、程为(b ).1) y = x +x3(7 求)微分;如如果 y = ln(sin2 x)，则 dy = (c ).a. 2 tan xdx ； b. tan xdx ； c. 2 cot xdx ； d. cot xdx. 确定单调区间，极值;如函数y = x3-6x24- 4的单调增加区间为(b).a. (-oo,0和4,+oo)； b. (-oo,0)和(4,+00)； c. (0,4)； d. 0,4.再如函数 /(x) = x3-9x2+15x + 3( b ).a. 在兀=1处取得极小值10,在x = 5处取得极大值22；b. 在兀=1处取得极大值10,在x = 5处取得极小值22

21、；c. 在兀=1处収得极大值-22,在x = 5处取得极小值10；d. 在兀=1处取得极小值-22,在x = 5处取得极大值10. 凹凸区间，拐点;如求曲线y = 10 + 5扌+¥丘的凹凸区间与拐点.解：函数的定义域为(-00,+00), y = 10x + 10x2, y" = 10+20x,令 y" = 0, 用 x = - +把(-co,+00)分成(y0,-*) , (-,400)两部分.当xg (-<x)，一丄)时，y"vo,当兀丘(一丄,炖)时，y"0,2 2曲线的凹区间为(,+°0),凸区间为(-8,斤)，拐点为

22、(1，竽)2 2 2 6(10)证明不等式;如试证当xh1时，ev > er .证明：令 f(x) = e' -ex,易见 /(兀)在(-00,+oo)内连续，且 /(1) = 0 /x) = ea-e.当xvl时，/x) = ea - e< 0可知/g)为(-o,l ±的严格单调减少函数，即/(x) > /(i) = 0.当兀1时，广(兀)= ev-e>0,可知/(%)为1,+8)上的严格单调增加函数,即 /(%)>/(1) = 0.故对任意 "1,有/(兀)>0,即 er-er>0. ev > ex3.不定积分(1

23、)原函数的概念;如如果cosx是/(x)在区间/的一个原函数，则/(%)= ( b ).a. sinx: b. -sinx ； c sinx+c ； d. 一sinx+c. o 不定积分的公式;如fsin5x d(sinx)=竺丄+ c.6(3)换元法;如= jev d(x2)=丄e" +c2 2分部积分法;如cxde* 二丄xe4” -fe4vclr j 44414 x 14 y c= -xee +c.4164. 定积分及应用积分上限函数;如设f(x)= xsintdt，则fx)= ( b ).j aa. sin/；b sinx ；ccost ;dcosx定积分的几何意义；(3)n

24、-l 公式;如积分 丄c& = (b ). a. li12 ；b.in 2 ； c. in 3 ；d. in 3 .换元法;如积分jo，+ _ v dx = ( d).a.71371兀b. ； c.；4671d.12分部积分法;如积分jcosaza* = ( a).a.-2;b. 2； c. -1；d. 0.+00反常积分;如广义积分j xe2xdx = ( b).a.$b. : c. : d.456”(刀求面积;如求曲线y = xy = (x-2)2与兀轴阖成的平面图形的面积. y = x解：如图，由丿 。得两曲线交点(1, 1). b = (x-2)2,解一収x为积分变量，xg0,

25、2z所求面积2 1 2 2 f 1 2i f2 zx(无一2)2a = i x dx +1 (x 2)dx = h=j o j1qq2求体积;如用定积分求由y = x2 -ky = o,x = tx = 0所围平而图形绕x轴旋转一周所得旋转体的 体积.解：如右图，所求体积v = £，)7r(x2+l)2ck28 it0155. 多元函数微积分偏导数;如z = w,求頁，二，密dx dx2 dy解：=8x7e',= (sxjj(100+ x += f dyj ；)(100+ % + y)drd ey = 56x('cy, = x8e-'.dxdx2xdy(2)全

26、微分;如设z = xyny f求dz.解： ' = yn y, = xn y + xy =兀(in y + 1), dxdyy/. dz = dr + dy = ylny-cu + %(ln y + l)dy. dx dy多元函数的极值;如二元函数/(x, y) = x2+xy + y2 -3x-6y的().ca.极小值为/(0,0) = 0；b.极大值为/(0,0) = 0；c.极小值为/(0,3) = -9； d.极大值为/(0,3) = -9 .重积分的几何意义;如.计算jj loodcr = 200,其中d = (x,y)|0<x<l-l<<l.d计算重积分;如计算jj