经济决策课件系列 第七章 马尔可夫预测法

1、经济预测与决策方法第七章第七章 马尔可夫预测法马尔可夫预测法1.1.基本概念与基本理论基本概念与基本理论 一、马尔可夫过程一、马尔可夫过程当随机过程在当随机过程在 tK 所所处的状态为已知条件时，过程处的状态为已知条件时，过程在时刻在时刻 t tK 所所处的状态仅与处的状态仅与 tK 时的时的状态有关，而与状态有关，而与 tK 以前的状态无关，这以前的状态无关，这种随机过程为马尔可夫过程。种随机过程为马尔可夫过程。 用分布函数来描述：若在条件用分布函数来描述：若在条件 Y(ti)=Yi(i=1,2,n) 下的下的 Yn 的的分布函数恰分布函数恰好等于条件好等于条件 Y(tn-1)=Yn-1 下

2、的分布函数，即下的分布函数，即F(Yn；tn/Yn-1 Yn-2 Y1；tn-1 tn-2 t1) =F(Yn；tn/Yn-1；tn-1)则称则称 Y(t) 为马尔可夫过程。为马尔可夫过程。 马马尔可夫尔可夫链：离散化的马尔可夫过程就是马尔可夫链。它具有无后效链：离散化的马尔可夫过程就是马尔可夫链。它具有无后效性的特征，即它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什性的特征，即它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值无关。么值无关。经济预测与决策方法二、状态概率向量：二、状态概率向量：设马尔可夫链在设马尔可夫链在 tK 时取状态时取状态E1 E2 En的概率分别为的概率

3、分别为p1 p2 pn 而而0Pi1， 则向量则向量P1P2 Pn称为称为tK时的时的状态概率向量。状态概率向量。NiiP11三、状态转移概率三、状态转移概率 设系统可能出现设系统可能出现N个个状态状态E1 E2 En，则则系统由系统由tK时刻从时刻从Ei转移到状态转移到状态tk+1时刻的概率就称为从时刻的概率就称为从i到到j的转移概率，也称一步转移概率，记为的转移概率，也称一步转移概率，记为)(jiijEEpp四、状态转移概率矩阵四、状态转移概率矩阵 在一定条件下，系统只能在可能出现的状态在一定条件下，系统只能在可能出现的状态E1 E2 En中转移，系统所中转移，系统所有状态之间转移的可能性

4、用有状态之间转移的可能性用P表示，定义表示，定义P为状态为状态NNNNNNPPPPPPPPPP212222111211转移概率矩阵。转移概率矩阵。经济预测与决策方法3、定理、定理1：设马尔可夫链在初始状态的设马尔可夫链在初始状态的(一步一步)转移概率矩阵为转移概率矩阵为 p(1) =p 则由则由初初始状态经过始状态经过 n 个时间间隔个时间间隔( n 步步)转移到新的状态的转移概率为：转移到新的状态的转移概率为：nnnPPPPP 个个)(即即n步转移概率等于一步转移矩阵的步转移概率等于一步转移矩阵的n次方。次方。定理定理2：若记若记Pn的元素为的元素为Pij(n) 则有则有j(n)ijnppl

5、im系统处在系统处在 j 状态的概率与它在很元的过去处在什么情况无关。状态的概率与它在很元的过去处在什么情况无关。经济预测与决策方法例例 已知市场上有已知市场上有A，B，C三种牌子的洗衣粉，上月的市场占有分布为三种牌子的洗衣粉，上月的市场占有分布为(0.3 0.4 0.3)，且已知转移概率矩阵为，且已知转移概率矩阵为8 . 01 . 01 . 02 . 07 . 01 . 02 . 02 . 06 . 0P试求试求本月份和下月份的市场占有率？本月份和下月份的市场占有率？解：解：1、求本月份市场占有率、求本月份市场占有率38. 037. 025. 08 . 01 . 01 . 02 . 07 .

6、 01 . 02 . 02 . 06 . 03 . 04 . 03 . 01S经济预测与决策方法2、求下月份市场占有率、求下月份市场占有率228 . 01 . 01 . 02 . 07 . 01 . 02 . 02 . 06 . 03 . 04 . 03 . 0S68. 017. 015. 032. 053. 015. 032. 026. 04 . 03 . 04 . 03 . 0428. 0347. 0225. 0 计算结果说明，在顾客计算结果说明，在顾客( (或用户或用户) )购买偏好改变不大情况下，下个月购买偏好改变不大情况下，下个月A A牌牌洗衣粉市场占有率洗衣粉市场占有率22.5%2

7、2.5%，B B牌洗衣粉市场占有率为牌洗衣粉市场占有率为34.7%34.7%，C C牌洗衣粉的市场牌洗衣粉的市场占有率为占有率为42.8%42.8%。经济预测与决策方法例例 设东南亚各国主要行销我国大陆、日本、香港三设东南亚各国主要行销我国大陆、日本、香港三个产地的味精。对目前市场占有情况的抽样调查表明，个产地的味精。对目前市场占有情况的抽样调查表明，购买中国大陆味精的顾客占购买中国大陆味精的顾客占40%40%，购买日本、香港味精，购买日本、香港味精的顾客占的顾客占30%30%。顾客流动转移情况如下表所列：。顾客流动转移情况如下表所列：中国大陆中国大陆日日 本本香香 港港中国大陆中国大陆40%

8、30%30%日日 本本60%30%10%香香 港港60%10%30%试试预测第预测第4 4个月味精市场占有率和预测长期的市场占个月味精市场占有率和预测长期的市场占有率。有率。经济预测与决策方法解：解：1 1、预测第、预测第4 4个月的市场占有率，即求三步转移后的市场占有率。个月的市场占有率，即求三步转移后的市场占有率。 已知已知 S0=(0.4 0.3 0.3) 及转移概率矩阵及转移概率矩阵P 为：为：3 . 01 . 06 . 01 . 03 . 06 . 03 . 03 . 04 . 0333231232221131211PPPPPPPPPP三步三步转移概率矩阵为：转移概率矩阵为：252.

9、 0244. 0504. 0244. 0252. 0504. 0252. 0252. 0496. 03 . 01 . 06 . 01 . 03 . 06 . 03 . 03 . 04 . 023P于是，于是，4 4个月市场占有率为：个月市场占有率为：252. 0244. 0504. 0244. 0252. 0504. 0252. 0252. 0496. 03 . 03 . 04 . 0304PSS 即预测第即预测第4 4个月，中国大陆味精的市场占有份额为个月，中国大陆味精的市场占有份额为50.08%50.08%，日本、香港，日本、香港各为各为24.96%24.96%经济预测与决策方法2 2、预

10、测长期的市场占有率、预测长期的市场占有率 由定义由定义4 4知，本例的一步转移概率矩阵知，本例的一步转移概率矩阵P是标准概率矩阵。所以，长期是标准概率矩阵。所以，长期的市场占有率将趋向稳定状态。的市场占有率将趋向稳定状态。设：设：a=(x1 x2 x3)根据标准概率矩阵的性质，有根据标准概率矩阵的性质，有aP=，即即3213213 . 01 . 06 . 01 . 03 . 06 . 03 . 03 . 04 . 0 xxxxxx又又有有 x1+x2+x3=1于是得线性方程组于是得线性方程组13 . 01 . 03 . 01 . 03 . 03 . 06 . 06 . 04 . 0321321

11、332123211xxxxxxxxxxxxxxx解之解之得：得： x1=0.5 x2=0.25 x3=0.25于是，终极用户点有率为：中国大陆产的味精占于是，终极用户点有率为：中国大陆产的味精占50%，日本、香港产的，日本、香港产的味精均各占味精均各占25%。经济预测与决策方法例例某某商店在最近商店在最近2020个月的商品销售量统计记录如下：个月的商品销售量统计记录如下：商品销售量统计表商品销售量统计表 单位：千件单位：千件时间时间123456789101112131415 16 17 181920销售量销售量 40 45 80 120 110 38 40 50 62 90 110 130 1

12、40 120 55 70 45 80 110 120试试预测第预测第2121月的商品销售量。月的商品销售量。解：依上述步骤解：依上述步骤1 1、划分状态、划分状态接盈利状况为标准选取接盈利状况为标准选取(1)(1)销售量销售量6060千件千件 属滞销；属滞销；(2)60(2)60千件千件销售量销售量100100千件千件 属一般；属一般；(3)(3)销售量销售量100100千件千件 属畅销。属畅销。2 2、计算初始概率、计算初始概率P： 为了使问题更为直观，绘制销售量散点图，并画出状态分界线，如图为了使问题更为直观，绘制销售量散点图，并画出状态分界线，如图所示。所示。经济预测与决策方法销售量散点

13、图销售量散点图由图可算由图可算出处于出处于 滞销状态的有滞销状态的有M1 1=7=7 一般状态的有一般状态的有M2 2=5=5 畅销状态的有畅销状态的有M3 3=8=8经济预测与决策方法3 3、计算状态转移概率矩阵、计算状态转移概率矩阵 在算转移概率时，最后一个数据不参加计算，因为它究竟在算转移概率时，最后一个数据不参加计算，因为它究竟转到哪个状态尚不清楚。转到哪个状态尚不清楚。由上图可得：由上图可得：M11=3 M12=4 M13=0 M22=1 转转22=3M31=2 M32=0 M33=5从而从而75707253517074733332312321131211PPPPPPPP750725351510747