[理学]量子力学导论ppt课件

1、多电子原子及分子光谱性多电子原子及分子光谱性( )( )ip rE tikrtA e A e问题问题:(1) 如何描画微观粒子的形状如何描画微观粒子的形状 ？ (2) 微观粒子的形状变化时应微观粒子的形状变化时应 遵照什么样的运动规律遵照什么样的运动规律 ？ 量量子子力力学学经经典典力力学学研研究究对对象象质质点点微微观观粒粒子子状状态态描描写写位位置置和和动动量量波波函函数数自自由由粒粒子子有有确确定定的的动动量量与与能能量量有有确确定定的的频频率率与与波波长长且且波波的的传传播播方方向向不不会会变变化化平平面面波波运运动动定定律律牛牛顿顿定定律律薛薛定定格格方方程程( , )r t量子力学

2、与经典力学量子力学与经典力学经典力学中，体系运动形状随时间的变化遵照牛顿力学。和经典力学类似，我们也应建立一个决议 随 变化规律的方程式。从物理上，这个方程式必需满足下述条件：t由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描画波函数随时间变化的方程应该是线性方程。方程的系数仅含有质量、电荷等内禀量，不应含有和个别粒子运动形状特定性质有关的量，如动量。、由于波函数 的自变量是 ，因此它必然是关于 和 的偏微分方程。、由于经典力学是量子力学的极限情况，因此这个方程必需满足对应原理， 当 时，它能过渡到牛顿方程。、对于自在粒子，这个方程的解应该是平面波。,r trt0h()()ipr

3、E tikr tA eA e方程的寻觅 对平面波式 分别对 和 求微商后得： 由上两式可以看出能量与动量作用在波函数上的结果与算符 及 作用在波函数上的结果一样，即存在对应关系：rt2 . 1i Et2 222 .2p ;2 .3Eipit iti 22(,)2HUrtm 1926年，薛定谔推行上述规那么到普通情况，找到了描画波函数演化规律的薛定谔方程，设单个粒子体系的哈密顿量为： 得到薛定谔方程：22(,)2iUrtHtm 22( , )2iU r ttm 薛定谔方程式量子力学的根本假设之一，但必需指出，我们并未建立薛定谔方程，由于只知道微分方程的解是缺乏以建立微分方程的。 以上对应关系式2

4、.3式，只是在直角坐标系中的对应关系，在其他坐标系中不一定成立。U下面我们讨论一下定态情况：假设 不显含时间 ，那么薛定谔方程可用分别变量法求解，此时可令 ：t( , )( ) ( )2 . 4r tr f t 221()2id fUrfd tm()( )rft将上式代入薛定谔方程并用 遍除等式两边，可得：t显然上式左边只和 有关，右边只和 有关，故两边都只能等于一个常数，用 表示这个常数，有rE2 . 5d fi E fd t22( )2.62U rEm222()()02.7mrEUr和上式可改写为：()iE tftc e此即定态薛定谔方程。方程2.5的解可直接给出为c代入 2.4 并将 吸

5、收入 中去，并有归一化条件来确定，有 () r(,) ()2 .8iE trt re (,)rt又具有这种方式的波函数描画的形状称为 。定态而满足 (2.8)式的波函数 和 ，()r2 .5d fiE fd t称为定态波函数。nE以 表示体系的能量算符的第 个本征值， 是与 相应的波函数，那么体系的第 个定态波函数是nnnnE(,) ()ni Etnrt re ( , )( )niEtnnnr tcr e含时的薛定谔方程的普通解，可以写成这些定态波函数的线性叠加：pE粒子势能粒子势能 满足边境条件满足边境条件pEaxxEax, 0,0, 0p (1)是固体物理金属中自在电子的简化模型；是固体物

6、理金属中自在电子的简化模型； (2)数学运算简单，量子力学的根本概念、原理数学运算简单，量子力学的根本概念、原理在其中以简约的方式表示出来在其中以简约的方式表示出来 .3. 一维定态问题讨论aapExo) , 0 ( , 0a x x axxE, 0,p228hmEkaxE 0, 0p08dd2222hmEx0dd222kxkxBkxAxcossin) (aapExo) , 0 ( , 0a x x 0, 0, 0BxkxBkxAxcossin) (波函数的规范条件：单值、有限和延续波函数的规范条件：单值、有限和延续 .kxAxsin)(, 0sinnkakaaapExo) , 0 ( , 0

7、a x x 228hmEk2228mahnE , 3 , 2 , 1,nank0sin,kaAax量子数量子数0sinkakxAxsin)(aapExo) , 0 ( , 0a x x xanAxsin)(, 3 , 2 , 1,nank1dd0*2xxa 归一化条件归一化条件1dsin022xxanAaaA2)0 ( ,sin2) (axxanaxaapExo) , 0 ( , 0a x x kxAxsin)(ankaA20 8dd2222hmEx得得xanaxsin2)(22 动摇方程动摇方程aapExo) , 0 ( , 0a x x 2228 mahnEn 概率密度概率密度)0 (,s

8、in2axxana 能量能量)( x), 0(, 0axx )1(,8221nmahE 波函数波函数aapExo) , 0 ( , 0a x x a 粒子能量量子化粒子能量量子化讨论讨论1：基基 态态 能能 量量), 3 , 2(,812222nEnmahnEn)0 (,sin2axxana 能能 量量 激发态能量激发态能量)(sin2)(22xanax 一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 .aapExo) , 0 ( , 0a x x b 粒子在势阱中各处出现的概率密度不同粒子在势阱中各处出现的概率密度不同概率密度概率密度xanaxsin2)(0 x

9、波波 函函 数数 例如，当例如，当 n =1时，时， 粒子在粒子在 x = a /2处出处出现的几率最大现的几率最大 c 波函数为驻波方式，阱壁处为波节，波函数为驻波方式，阱壁处为波节，波腹的个数与量子数波腹的个数与量子数 n 相等相等a1n2n3n4nn2nxanAxsin) ( 0pE2228 mahnEn)(0) , (xpEtixet r1n16E19E14E1E1atEinnnex tx)(),(tinexanapnp2)sin(2驻波驻波 ？A)A)思索思索 时间因子时间因子 是沿是沿 x 轴正向、负向传播的波，构成轴正向、负向传播的波，构成 驻波驻波。两端为波节。只需某些波长的波

10、才干构成驻波。两端为波节。只需某些波长的波才干构成驻波。n的取值不同的取值不同 , 能量不同，腹的数目不同。波腹的能量不同，腹的数目不同。波腹的数目等于数目等于 n的数目。的数目。a 为半波长的整数倍为半波长的整数倍.ieeii2sinqqq讨论讨论2 2：B) 束缚态与扩展态束缚态与扩展态:束缚态束缚态: 在在 r 波函数为零的形状称为束缚态波函数为零的形状称为束缚态. n( x ) = 0 x 0 x a) xanAx npsin)(束缚态束缚态扩展态扩展态: 如对自在粒子的波函数如对自在粒子的波函数常数202),( tr有有: :0),(2xtr因此普通有因此普通有: :)(2sin1)

11、(axanaxnp所以自在粒子的所以自在粒子的形状为扩展态形状为扩展态.可以证明对势阱可以证明对势阱的势能函数为的势能函数为: :axxU-a0)( a xxxU 或或-a )(势阱宽度势阱宽度2a的一维无限深势阱中粒子其定态波函数为的一维无限深势阱中粒子其定态波函数为: :222122022xxxphhxapExamphEEmm aD) 宇称宇称: xxnnC ) 基态能量与测不准关系基态能量与测不准关系:该波函数具有以下性质该波函数具有以下性质: :当当n n 为偶数时为偶数时: :当当n 为奇数时为奇数时: xxnn xxP这来源于势函数这来源于势函数U(x)U(x)对对x=0 x=0处

12、的对称性处的对称性U(x)=U(-x)U(x)=U(-x)宇称算符宇称算符: : )(2xxPxPP P称为宇称算符称为宇称算符. . 以以P P表示把表示把X X变为负变为负X X的运算的运算, ,那么有那么有: : P P的本征值的本征值: : 由由 xxP11知知 P2P2的本征值为的本征值为1, 1, 因此因此 P P的本征值为的本征值为+1+1或或-1, -1, 即有即有: : xxP22(,)rt偶宇称偶宇称 奇宇称奇宇称 量子力学处置问题的根本步骤：量子力学处置问题的根本步骤：1)写出哈密顿量及哈密顿算符写出哈密顿量及哈密顿算符.4)由初始条件和边境条件由初始条件和边境条件,并根

13、据波函数的并根据波函数的 规范化条件的要求规范化条件的要求,求出能量本征值求出能量本征值.3)解出通解解出通解,其中包含待定常数其中包含待定常数: 能量本征值及一些待定常数能量本征值及一些待定常数.5)求出与本征值相应的本征波函数求出与本征值相应的本征波函数.6)进展必要的讨论进展必要的讨论.2)建立薛定格方程建立薛定格方程. 本节我们将进一步讨论粒子在一定区域内出现的几率将怎样随时间变化。 设描画粒子形状的波函数是 ，在 时辰 在 点周围单位体积内粒子出现的几率是： 几率密度随时间的变化率为：rt*(,) (,)(,)rt rtrt *ttt212iUtmin由薛定谔方程及其共轭：*2*12iUtmi*22*()2()2 .4 .12itmimn可得：*()2iJm 令：称为概率流密度，由2.4.1式得：2.4.2式就是概率流守恒定律。02.4.2JtV对上式两边同时对恣意空间体积 积分VSdd V J d Sd t V这是概率流守恒定律的积分表示此式阐明，在空间某体积 内发现粒