[理学]第08章 相量法ppt课件

1、第八章第八章 相量法相量法8.1 8.1 复数复数8.2 8.2 正弦量正弦量8.3 8.3 相量法的根底相量法的根底8.4 8.4 电路定律的相量方式电路定律的相量方式8.1 8.1 复数复数 一、复数的方式一、复数的方式1、代数方式、代数方式 F = a + jb1j为虚单位为虚单位复数复数F 的实部的实部ReF = a复数复数F 的虚部的虚部ImF = b复数复数 F 在复平面上可以用一条从在复平面上可以用一条从原点原点O 指向指向F 对应坐标点的有向对应坐标点的有向线段表示。线段表示。+1+jOFab2、三角方式、三角方式)sin(cosjFF22baFabarctan模模辐角辐角+1

2、+jOFab5 /-53.1 3、指数方式、指数方式根据欧拉公式根据欧拉公式sincosjej)sin(cosjFFjeFF 4、极坐标方式、极坐标方式F =|F| /3+j4= 5 /53.1-3+j4=5 /126.9 10 /30 =10(cos30 + jsin30 ) =8.66+j5计算器上的复数运算操作计算器上的复数运算操作-3+j4 = 5 /126.95126.8698975留意选择角度留意选择角度DEG辐角辐角模模代数式代数式极坐标方式极坐标方式计算器上的复数运算操作计算器上的复数运算操作10 /60 = 5 + j8.6658.66025405留意选择角度留意选择角度DE

3、G虚部虚部实部实部极坐标方式极坐标方式代数式代数式二、复数的运算二、复数的运算1、加法、加法用代数方式进展用代数方式进展,设设111jbaF222jbaF)()(221121jbajbaFF+1+jO1F2F21FF )()(2121bbjaa几何意义几何意义2、减法、减法用代数方式进展，用代数方式进展，设设111jbaF222jbaF)()(221121jbajbaFF+1+jO1F2F2F21FF 21FF )()(2121bbjaa几何意义几何意义3、乘法、乘法用指数方式比较方便用指数方式比较方便设设111| FF222| FF221121FFFF2121/FF4、除法、除法21FF11

4、|F22|F2121/FF三、旋转因子三、旋转因子je/1是一个模等于是一个模等于1，辐角为，辐角为的复数。的复数。等于把复数等于把复数A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度，而而A的模值不变。的模值不变。2jej2je-jje-1因此，因此，“j和和“-1都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。恣意复数恣意复数A乘以乘以e j？jejjej2sin2cos,22jjej )2sin()2cos(,221)sin()cos(, jej故故 +j, j, -1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。几种不同几种不同值时的旋转因子值时的旋转因子ejq ReIm0II j I j I 一个复数乘以

5、一个复数乘以j，等于把该复数逆时针旋转等于把该复数逆时针旋转/2，一个复数除以一个复数除以j， 等于把该复数乘以等于把该复数乘以-j，等于把它顺时针旋转等于把它顺时针旋转/2 。虚轴等于把实轴虚轴等于把实轴+1乘以乘以j而得到的。而得到的。例如例如2jej,2je-j,je-1例：设例：设F1=3-j4，F2=10 /求求 : F1+ F2 和和 F1/ F2 。解：求复数的代数和用代数方式：解：求复数的代数和用代数方式：F2 = 10 /=10cos+jsin)= -7.07 + j7.07F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 ) = - 4.07

6、 + j3.07 = 5.1 /143F1F2=3-j410 /=5 /-53.1 10 /= 0.5 /-188.1 = 0.5 /171.9 辐角应在主值范围内辐角应在主值范围内求两复数的比求两复数的比,用指数方式或极坐标方式：用指数方式或极坐标方式：8.2 8.2 正弦量正弦量一、正弦量一、正弦量电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。正弦量。对正弦量的描画，可以用对正弦量的描画，可以用sine，也可以，也可以cosine。用相量法分析时，不要两者同时混用。用相量法分析时，不要两者同时混用。 本书采用本书采用cosine。二、正弦量的三要素

7、二、正弦量的三要素:i+- -u)cos(imtIi瞬时值表达式：瞬时值表达式：振幅振幅Im,角频率角频率,初相位初相位(角角)i1、振幅、振幅ImiIm2tiO2正弦量在整个振荡过程中到达的最大值。正弦量在整个振荡过程中到达的最大值。2、角频率、角频率反映正弦量变化的快慢反映正弦量变化的快慢单位单位 rad/sT=2,=2ff=1/T频率频率f 的单位为赫兹的单位为赫兹Hz周期周期T的单位为秒的单位为秒sf =50Hz,T = 0.02s =314 rad/s3、初相位角、初相位角i主值范围内取值主值范围内取值 180iiIm2tiO2)(it称为正弦量的相位，或称相角。称为正弦量的相位，或

8、称相角。dttdi)( 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。平均效果工程上采用有效值来表示。l 周期电流、电压有效值周期电流、电压有效值(effective value)(effective value)定定义义R直流直流IR交流交流ittiRWTd)(20 TRIW2 电流有效电流有效值定义为值定义为 TttiTI02defd)(1有效值也称均方根值有效值也称均方根值(root-meen-square)物物理理意意义义三、正弦量的有效值三、正弦量的有效值同样，可定义电压有效值：同样，可定义电压有效值： T

9、ttuTU02defd)(1l 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imcos( t+ ),ttITITd ) (cos1022m TtttttTTT2121d2) (2cos1d ) (cos 0002 mm2m707. 0221 IITITI ) cos(2) cos()(mtItIti II2 m 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：UUUU2 21mm 或或假设一交流电压有效值为假设一交流电压有效值为U=220VU=220V，那么其最大值为，那么其最大值为UmUm311V311V；U=380V， Um537V。1 1工

10、程上说的正弦电压、电流普通指有效值，如设工程上说的正弦电压、电流普通指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘程度、耐压值备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘程度、耐压值指的是最大值。因此，在思索电器设备的耐压程度时应按指的是最大值。因此，在思索电器设备的耐压程度时应按最大值思索。最大值思索。2 2丈量中，交流丈量仪表指示的电压、电流读数一丈量中，交流丈量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。般为有效值。3 3区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。I,I, im注注例：例：i = 10 sin(314t+30) A u= 5

11、cos(314t-150) V求电压和电流的相位差。求电压和电流的相位差。180)150(30i = 10 sin(314t+30) = 10 cos(314t+30-90) = 10 cos(314t-60)90)150(60i = 10 sin(314t+30)例例计算以下两正弦量的相位差。计算以下两正弦量的相位差。)15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2(0201 ttitti )2 100cos(10)( )43 100cos(10)( )1(21 ttitti)45 200cos(10)( )30 100cos(10)( )3(0201 ttuttu )3

12、0 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4(0201 ttitti 解解045)2(43 43452 000135)105(30 000120)150(30 )105100cos(10)(02 tti 不能比较相位差不能比较相位差21 )150100cos(3)(02 tti 两个正弦量进展相位比较时应满足同频率、同函数、同符两个正弦量进展相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。号，且在主值范围比较。 8.3 8.3 相量法的根底相量法的根底一、正弦稳态电路一、正弦稳态电路在线性电路中，假设鼓励是正弦量，那么在线性电路中，假设鼓励是正弦量，那么电路中各支路的

13、电压和电流的稳态呼应将是电路中各支路的电压和电流的稳态呼应将是同频正弦量。同频正弦量。假设电路有多个鼓励且都是同一频率的正假设电路有多个鼓励且都是同一频率的正弦量，那么根据线性电路的叠加性质，电路弦量，那么根据线性电路的叠加性质，电路全部稳态呼应都将是同一频率的正弦量。全部稳态呼应都将是同一频率的正弦量。处于这种稳定形状的电路称为正弦稳态电处于这种稳定形状的电路称为正弦稳态电路，又可称正弦电流电路。路，又可称正弦电流电路。根据欧拉公式可展开为根据欧拉公式可展开为)sin()cos()(tFjtFeFFtj显然有显然有)cos(RetFF所以正弦量可以用上述方式的复指数函数描画，所以正弦量可以用

14、上述方式的复指数函数描画，使正弦量与其实部一一对应起来。使正弦量与其实部一一对应起来。)cos(2itIi如以正弦电流如以正弦电流为例为例2RetjjeIeii,|teFFj中的辐角如果复数那么那么F 就是一个复指数函数。就是一个复指数函数。二、正弦量的相量二、正弦量的相量对于恣意一个正弦时间函数都有独一与其对应的复数函数对于恣意一个正弦时间函数都有独一与其对应的复数函数1、定义：、定义： ijIIeIi正弦量的有效值相量正弦量的有效值相量 ) cos(2)(iiIItIti ) cos(2)(UUtUtu称称 为正弦量为正弦量 i(t) i(t) 对应的相量。对应的相量。 iII相量的模表示

15、正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：知知例例1 1试用相量表示试用相量表示i, u .)V6014t311.1cos(3A)30314cos(4 .141oo uti解解V60220A30100oo UI ) cos(2)(iiIItIti ) cos(2)(UUtUtu可直接写出正弦量的相量可直接写出正弦量的相量相量是一个复数相量是一个复数其在复平面上用向量表示相量的图其在复平面上用向量表示相量的图 IItosIti) (c2)(UUtosUtu ) (c2

16、)( 例例2试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解 A)15314cos(250 ti. 50Hz A,1550 fI已知已知l 相量图相量图 U I正弦量的振幅相量正弦量的振幅相量 imjmmIeIIi相量图相量图+1+jOmIi三、正弦波与旋转相量三、正弦波与旋转相量+1+jOmI1t1t2t2tRetjmeIitO正弦电流正弦电流 i 的瞬时值等于其对应的旋转相的瞬时值等于其对应的旋转相量在实轴上的投影。量在实轴上的投影。1、同频正弦量的代数和、同频正弦量的代数和如设如设)cos(2111tIi)cos(2222tIi.这些正弦量的和设为正弦量这些正弦量的和设为正弦量

17、i 21iii 2Re2Re21tjtjeIeI)(2Re21tjeII 四、正弦量的运算转换为相对应的相量运算四、正弦量的运算转换为相对应的相量运算而而2RetjeIi有有2RetjeI)(2Re21tjeII 21III上式对于任何时辰上式对于任何时辰 t 都成立，故有都成立，故有 21iii 2Re2Re21tjtjeIeI)(2Re21tjeII 故同频正弦量相加减运算变故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。成对应相量的相加减运算。i1 i2 = i3321 III 2、正弦量的微分、正弦量的微分)cos(2itIi设正弦电流设正弦电流对对 i 求导，有求导，有2RetjeI

18、dtddtditjeIdtd2Redtdi)(2RetjeIj即表示即表示 di/dt 的相量为的相量为Ij2/iI)(2Re)2/(itjeI)2/cos(2itI3、正弦量的积分、正弦量的积分),cos(2itIi设那么那么idtdteItj2Re)2(RedteItj)(2RetjejI)2/cos(2itI即表示即表示 idt 的相量为的相量为jI2/iI例：知例：知A)3/314cos(2101tiA)6/5314cos(2222ti求：求：21ii 解：设解：设)cos(221itIiii其相量为其相量为iII/21III=10 /60+ 22 /-150 =(5 + j8.66)

19、 + ( -19.05 - j11)= -14.05 - j2.34= 14.24 /-170.54 Ai = 14.24 cos(314t - 170.54 )A2正弦量相应符号的正确表示正弦量相应符号的正确表示瞬时值表达式瞬时值表达式 i = 10 cos(314 t + 30)A变量，小写字母变量，小写字母有效值有效值I = A210常数，大写字母常数，大写字母最大值最大值常数，大写字母常数，大写字母最大值相量最大值相量mI有效值相量有效值相量A /3010I30/ 210A 30/ 25常数，大写字母加点常数，大写字母加点常数，大写字母加点常数，大写字母加点Im=10AA 25相量法的

20、优点：相量法的优点：1 1把时域问题变为复数问题；把时域问题变为复数问题；2 2把微积分方程的运算变为复数方程运算；把微积分方程的运算变为复数方程运算；3 3可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；注注 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域 相量法只适用于鼓励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法只适用于鼓励为同频正弦量的非时变线性电路。 相量法用来分析正弦稳态电路。相量法用来分析正弦稳态电路。N线性线性N线性线性1122非非线性线性 不适用不适用正弦波形图正弦波形图相量图相量图8.4 8.4 电路定律的相量方式电路定律的相量方式一、基尔霍夫定律一、

21、基尔霍夫定律正弦电流电路中的各支路电流和支路电正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都是同频正弦量，所以可以用相量法将压都是同频正弦量，所以可以用相量法将KCL和和KVL转换为相量方式。转换为相量方式。1 1、基尔霍夫电流定律、基尔霍夫电流定律 对电路中任一点，根据对电路中任一点，根据KCLKCL有有 i = 0其相量方式为其相量方式为0I2、基尔霍夫电压定律、基尔霍夫电压定律 对电路任一回路，根据对电路任一回路，根据KVL有有 u = 0其相量方式为其相量方式为0U1、电阻元件、电阻元件 瞬时值表达式瞬时值表达式+- -R+- -RRiRuRRRiu 相量方式相量方式RIRURRIRURIRU

22、iu+1+jO相量图相量图二、电阻、电感和电容元件的二、电阻、电感和电容元件的VCR相量方式相量方式2、电感元件、电感元件L+- -LiLudtdiLuL相量方式相量方式LLILjUL+- -LILULILUiu+1+jO相量图相量图瞬时值表达式瞬时值表达式3、电容元件、电容元件瞬时值表达式瞬时值表达式C+- -CiCudtduCiCC相量方式相量方式C+- -CICUCCUCjI)1(CCICjU或CICUiu+1+jO相量图相量图假设受控源线性的控制电压或电流是正弦量，假设受控源线性的控制电压或电流是正弦量，那么受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。那么受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。kU0kIjIjU4、受控源、受控源ku0kijiju例：正弦电流源的电流，其有效值例：正弦电流源的电流，其有效值IS=5A，角频率，角频率=103rad/s， R=3