2022年2022年等差数列综合复习

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载一.等差数列1.数列的概念 ： 数列为一个定义域为正整数集n* （或它的有限子集1、2,3, n）的特别函数,数列的通项公式也就为相应函数的解析式；例 1依据数列前4 项,写出它的通项公式：（ 1） 1, 3, 5,7；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（ 2） 22132142,341521,；5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）11*21,2*313*41,；4*5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 ：（ 1） an =2 n n1；（2） an

2、 =121；（ 3） an =1n；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1nn1点评 ：每一项序号与这一项的对应关系可看成为一个序号到另一个数集的对应关系,这对考生的归纳推理才能有较高的要求；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载*如（ 1） 已知 ann2nn ,就在数列 an 的最大项为 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n156精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） 数列 an 的通项为ana n,其中a 、b 均为正数,就a n 与 an1 的大小关系为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bn1 ；精品学习资料精选学习资料 -

3、 - - 欢迎下载2（ 3） 已知数列 an 中, annn ,且 an 为递增数列,求实数的取值范畴；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.等差数列的判定方法 ： 定义法an 1and d为常数 ）或 an 1ananan1 n2) ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2设 sn 为数列 an 的前 n 项和,且sn=n2,就 an 为（）a. 等比数列,但不为等差数列b. 等差数列,但不为等比数列c.等差数列,而且也为等比数列d. 既非等比数列又非等差数列答案： b ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s

4、1解法一 ： an=snsn 1 n1an n212n1n1 n2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 an=2n 1（ n n） 又 an+1 an=2 为常数,an 1an2n12n1常数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 an 为等差数列,但不为等比数列.解法二 ：假如一个数列的和为一个没有常数项的关于n 的二次函数, 就这个数列肯定为等差数列；点评 ：此题主要考查等差数列.等比数列的概念和基本学问,以及敏捷运用递推式an=snsn 1 的推理才能 .但不要忽视a1,解法一紧扣定义,解法二较为敏捷；精品学习资料精选学习资

5、料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练一练 ：设 an 为等差数列；a1a 2为等差数列, 求证：以 bn=na nnn *为通项公式的数列 bn 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.等差数列的通项 ： ana1 n1d 或 anamnmd ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.等差数列的前 n 和： sna1an , snann1d ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn122例 3：等差数列 an 的前 n 项和记为 sn,如 a2 a4 a15 的值为

6、一个确定的常数,就数列 an中也为常数的项为a s7b s8cs13d s15解析 ： 设 a2 a4a15 p常数 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 3a1 18d p,解 a17p.3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 s1313× a1 a132 13a7133 p.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案： c3例 4等差数列 an 中,已知a1 1, a2 a5 4, an 33,就 n 为 a 48b 49c 50d 51精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 ： a2 a5

7、2a1 5d 4,就由 a11得 d 2令 an 33 1 n 1× 2n50.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载33,33,可解得应选 c.答案： c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如1 等差数列 an 中,a1030 , a2050 ,就通项 an；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） 首项为 -24 的等差数列,从第10 项起开头为正数,就公差的取值范畴为 ；例 5：设 sn 为等差数列 an 的前 n 项和, a12 8,s9 9,就 s16 .解析 ： s9 9a5 9, a5 1, s16 8a5a12 72.精品学习资料精选学习

8、资料 - - - 欢迎下载答案： 72例 6：已知数列 aa11 为等差数列,如 1,且它们的前n 项和 s有最大值,就使s >0 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n<nna10n 的最大值为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 11b 19c20d 21解析 ： a11<1,且 s有最大值,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a10n a10>0, a11<0,且 a10 a11<0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 s1919 a1 a1

9、92 19·a10>0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s2020 a1 a202 10a10 a11<0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以使得 sn>0 的 n 的最大值为19,应选 b.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案： b如（ 1） 数列 an 中, anan 11 n22、 n*n , an3,前 n 项和 sn215,就 a12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载, n ；（2） 已知数列 an 的前 n 项和 sn12nn 2 ,求数列 |an |

10、的前 n 项和tn .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.等差中项： 如 a、 a、 b 成等差数列,就a 叫做 a 与 b 的等差中项,且aab ；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载提示 ：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中, 涉及到 5 个元素：a1 . d .n . an 及精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sn ,其中 a1 . d 称作为基本元素；只要已知这5 个元素中的任意3 个,便可求出其余2 个,即知 3 求 2；（ 2 ） 为 减 少 运 算 量 , 要 注 意 设 元 的 技 巧 , 如 奇 数 个 数 成 等 差 , 可 设

11、 为,a2d 、ad 、a 、 ad 、 a2d（ 公 差 为 d ）； 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为,a3d 、 ad 、 ad 、 a3d 、（公差为2 d ）6. 等差数列的性质：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）当公差 d0 时,等差数列的通项公式ana1 n1ddna1d 为关于 n 的一次函精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数,且斜率为公差d ；前 n 和 snan n1 dd n 2ad n 为关于 n 的二次函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载且常数项为0.n11222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（

12、2）如公差 d就为常数列；0 ,就为递增等差数列,如公差 d0 ,就为递减等差数列,如公差 d0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3 ） 当 mnpq 时 、 就 有 a mana pa q, 特 别 地 , 当 mn2 p 时 , 就 有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aman2a p .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4 ） 如 an . bn 为 等 差 数 列 , 就 kan. kanpbn k . p 为 非 零 常 数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a p、 qn* .s 、 ss 、 ss, 也成等差数列,

13、而 aan 成等比数列； 如 a p nqn2 nn3n2nn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为等比数列,且an0 ,就 lgan为等差数列 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练一练：等差数列的前n 项和为 25,前 2n 项和为 100,就它的前3n 和为；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 5） 在等差数列 an 中,当项数为偶数2n 时, s偶 s奇nd ；项数为奇数2n1时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s奇s偶a中 , s2n12 n1 a中 （这里 a中 即 an

14、 ）； s奇 :s 偶k1:k；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练一练 ：项数为奇数的等差数列 an 中间项与项数 .中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 6 ） 如 等 差 数 列 an. bn 的 前 n 和 分 别 为an .anbn , 且 bf n , 就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载an2nbn2 n1an 1bna2n 1b2n 1f 2 nn1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练一练：设 a n 与 bn 为两个等差数列,它们的前

15、n 项和分别为sn 和tn ,如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s n3 nt n4 n1 ,那么3an ；bn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7 “首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值为全部非负项之和；“首负”的递增等差精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数列中, 前 n 项和的最小值为全部非正项之和；法一： 由不等式组an0或an 10a n0确a n 10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项为关于 n 的二次函数,故可转化精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为求二次函数的

16、最值,但要留意数列的特别性nn *；上述两种方法为运用了哪种数学思精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载想？（函数思想） ,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练一练： 等差数列 an 值；中, a125 , s9s17 ,问此数列前多少项和最大？并求此最大精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 7（ 1）设 an（ n n* ）为等差数列,sn 为其前n 项的和,且s5 s6,s6 s7 s8,就以下结论错误的为（）a. d0b.a7 0c. s9 s5d.s6 与 s7 均为 sn 的最大值（2）等差数列 an 的前 m 项

17、和为 30,前 2m 项和为 100,就它的前3m 项和为（）a.130b.170c.210d.260解析 ：（ 1）答案： c；由 s5<s6 得 a1+a2+a3+a5<a1+a2+a5+a6, a6>0,又 s6=s7, a1 +a2+a6=a1+a2+a6+a7, a7=0,由 s7>s8,得 a8<0,而 c 选项 s9>s5,即 a6+a7+a8+a9>02（ a7+a8） >0,由题设 a7=0, a8<0,明显 c 选项为错误的；（ 2）答案： c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法一 ：由题意得方程组ma1m

18、m21 d30,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2ma12m2m21) d100精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载视 m 为已知数,解得d402 、 a1m10 m2,m2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 s3m3ma13ma1 3m21 d3m10m2m23m3m21 40m2210 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载解法二 ：设前 m 项的和为b1 ,第 m+1 到 2m 项之和为b2 ,第 2m+1 到 3m 项之和为b3,就

19、b1, b2,b3 也成等差数列；于为 b1=30, b2=100 30=70,公差 d=70 30=40 ； b3=b2+d=70+40=110前 3m 项之和 s3m=b1 +b2+b3 =210.解法三 ：取 m=1,就 a1=s1=30, a2=s2 s1=70,从而 d=a2 a1=40 ；于为 a3=a2+d=70+40=110. s3=a1+a2+a3=210；等 差 数 列 课 后 练 习一.挑选题：在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1如 a b、数列 a、x1、x 2 、b 和

20、数列 a、y1 、y2 、b 都为等差数列,就x2x1（）y2y1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载32a b 434c 1d3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2在等差数列a n中,公差 d 1, a 4a17 8,就 a 2a4a 6a 20 （）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 40b 45c 50d 55精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3等差数列a n的前三项为x1、x1、2x3 ,就这个数列的通项公式为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a an2n1b an2n1c a

21、n2n3d an2n5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4在等差数列 a n 中a100、 a110、且a11| a10|,就在 sn 中最大的负数为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a s17b s18c s19d s205已知等差数列的首项为31、如此数列从第16 项开头小于1,就此数列的公差d 的取值范畴为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载15a 、 2b 715、 2c 2、+d 7、 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6在等差数列 a n 中,如 s918、 sn240、a n 430 ,就 n 的值为（）精品学习资料精选学习

22、资料 - - - 欢迎下载a 18b17c 16d 15精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7等差数列 a n 中, a1a2a50200、 a51a52a1002700、 就a1 等于（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 20 5b 21 5c 1221d 20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8已知某数列前n 项之和n3 为,且前 n 个偶数项的和为n2 4n3 ,就前 n 个奇数项的和精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 3n2 n1b n 24n3c3n 2d1 n 32精品学习资料精

23、选学习资料 - - - 欢迎下载9一个只有有限项的等差数列,它的前5 项的和为34,最终 5 项的和为146 全部项的和为234,就它的第七项等于（）2a 22b 21c 19d 18精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10 等差数列2a中, aaaa0 0 ,如 1 且 aaa0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nnm 1mm 1m 1mm 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s2 m138 ,就 的值为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 10b 19c 20d 38二.填空题： 请把答案填在题中横线上；精品学习资料精选学习资料 - -

24、 - 欢迎下载11已知 an 为等差数列,且a4a7a1057、 a4a 5a6a1477、如a k13、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 k=.12在 abc 中, a , b, c 成等差数列,就tan a2tan c23 tana tan c.22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13在等差数列 a n 中,如 a4a6a8a10a12120 ,就2a10a12.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载14sn 为等差数列 an 的前 n 项和, a52、an 430 n 5,*nn , sn

25、=336,就 n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的值为.三.解答题：解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载15己知 a n 为等差数列,a12、a23 ,如在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载列的数构成一个新的等差数列,求：（ 1）原数列的第12 项为新数列的第几项？（ 2）新数列的第29 项为原数列的第几项？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载16数列a n为首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）求数

26、列公差； （ 2）求前 n 项和sn 的最大值； （ 3）当 sn0 时,求 n 的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载17设等差数列 a n 的前项的和为s n 、且 s 4 =62、 s 6 =75、求：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） an 的通项公式a n 及前项的和s n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） |a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+|a 14 |.18已知数列an,首项 a 1 =3 且 2a n+1 =s n · s n 1 n 2.1精品学习资料

27、精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）求证： 为等差数列 、并求公差； （2）求 a n 的通项公式；sn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）数列 a n 中为否存在自然数k0、使得当自然数k k 0 时使不等式a k>a k+1 对任意大于等于 k 的自然数都成立、如存在求出最小的k 值、否就请说明理由.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载一. 挑选题： abccbdabda二. 填空题： 118；123 ；1324；1421.三. 解答题：15分析：应找到原数列的第n 项为新数列的第几项,即找出新.旧数列的对应关系；精品学习资料精选学习

28、资料 - - - 欢迎下载解：设新数列为bn 、就b1a12、 b5a 23、依据 bnb1 n1) d 、有b5b14d 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 3=2+4d, d1, bn2 n11n7精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载444精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又aan1 1n14 n37 , anb4 n 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n14即原数列的第n 项为新数列的第4n3 项（1）当 n=12 时, 4n3=4×123=45,故原数列的第12 项为新数列的第45 项；（2）由 4n3=29、 得 n=8

29、,故新数列的第29 项为原数列的第8 项；说明： 一般地, 在公差为 d 的等差数列每相邻两项之间插入m 个数 、构成一个新的等差数列,就新数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载列的公差为d. 原数列的第n 项为新数列的第n+n 1m=m+1n m 项m1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载16解：（1）1aa15da16d23 ,a600n n10 , a 70 ,23d2356d 为整数,d4 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） sn23n4 =23 n22nn1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载= 2 n 225n= 2n25 246252精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 n6 时 sn 最大 =78精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3） sn2 n 225n0 时, 0n25 ,故 n 最大值为 12.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载17分析：通过解方程组易求得首项和公差,再求an 及 sn；解答的关键在于判定项的变化趋势；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：设等